Μαθηματική Επαγωγή Mathematical induction Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισμός που αναφέρεται στους φυσικούς αριθμούς. Αν 1. Ο ισχυρισμός είναι αληθής για τον ακέραιο 1 δηλαδή ο Ρ(1) είναι αληθής. 2. Η αλήθεια του Ρ(ν) συνεπάγεται την αλήθεια του Ρ(ν+1) για κάθε ν, Τότε ο ισχυρισμός αληθεύει για όλους τους θετικούς ακεραίους ν. Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός

Μαθηματική Επαγωγή Mathematical induction Το πρώτο βήμα της παραπάνω μεθόδου καλείται και βάση της επαγωγής. Η βάση μπορεί να ξεκινήσει σε κάποιες περιπτώσεις και με κάποιον άλλον φυσικό αριθμό μεγαλύτερο της μονάδας. Το δεύτερο βήμα της μεθόδου καλείται και βήμα της επαγωγής. (υπάρχουν παραλλαγές της μεθόδου όπου μπορεί το βήμα της επαγωγής να είναι διαφορετικό) Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός

Γιατί είναι σωστή η μέθοδος; Από τη λογική γνωρίζουμε ότι (κανόνας απόσπασης – modus ponens) αν οι προτάσεις Α και Α=>Β είναι αληθείς, τότε επίσης αληθής θα είναι και η πρόταση Β. Η επαγωγή τώρα περιγράφεται με τα εξής βήματα: Ρ(1) αληθής και για κάθε φυσικό ν, Ρ(ν)=>Ρ(ν+1) αληθής, Τότε Ρ(ν) αληθής για κάθε φυσικό αριθμό ν. Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός

Γιατί είναι σωστή η μέθοδος; Αφού Ρ(1) αληθής και επίσης Ρ(1)=>Ρ(2) αληθής, από τον modus ponens θα έχουμε ότι και Ρ(2) αληθής. Αφού Ρ(2) αληθής και Ρ(2)=>Ρ(3) αληθής από τον modus ponens θα είναι και Ρ(3) αληθής. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο διαπιστώνουμε ότι η αρχική δήλωση Ρ(ν) θα είναι αληθής για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό ν>1. Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός

Μαθηματική Επαγωγή Mathematical induction Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός

Παράδειγμα 1 Μαθηματική Επαγωγή Να αποδειχτεί ότι 2ν>ν για κάθε φυσικό αριθμό ν>0.(Ρ(ν) είναι η ανίσωση 2ν>ν) απόδειξη (η βάση της επαγωγής) για ν=1, 21=2>1 δηλαδή η πρόταση Ρ(1) είναι αληθής. (το βήμα της επαγωγής) Έστω ότι η πρόταση Ρ(ν) αληθεύει για τον αριθμό ν, δηλ. 2ν>ν. Παρατηρούμε ότι 2ν+1=2 2ν>2ν=ν+ν>ν+1. Δηλαδή 2ν+1>ν+1, οπότε θα αληθεύει και η πρόταση Ρ(ν+1). Σύμφωνα με την αρχή της επαγωγής η 2ν>ν θα ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό ν. Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός

Παράδειγμα 2 Μαθηματική Επαγωγή Να αποδειχτεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό ν>0 ισχύει 1+3+5+. . .+(2ν-1)=ν2 (βάση) Για ν=1 έχουμε 1=12 που είναι αληθής. (επαγωγικό βήμα) Έστω ότι η παραπάνω ισότητα είναι αληθής για τον φυσικό αριθμό ν. Δηλαδή 1+3+5+...+(2ν-1)=ν2. Προσθέτοντας και στα δυο μέλη της ισότητας αυτής τον επόμενο περιττό 2ν+1 θα έχουμε: Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός

Παράδειγμα 2 Μαθηματική Επαγωγή 1+3+5+...+(2ν-1)+(2ν+1)=ν2+2ν+1=(ν+1)2 δηλαδή η ισότητα ισχύει και για τον φυσικό ν+1. Επομένως σύμφωνα με την αρχή της επαγωγής η ισότητα θα ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς ν>0. Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός

Παράδειγμα 3 Μαθηματική Επαγωγή   Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός

Παράδειγμα 3 Μαθηματική Επαγωγή   Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός

Παράδειγμα 3 Μαθηματική Επαγωγή   Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός

Μαθηματική Επαγωγή Mathematical induction Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός