1.7 Bilangan Kompleks BILANGAN KOMPLEKS Definisi : Gabungan antara bilangan riil dan imajiner   Bentuk Umum: Z= X + Yi Dengan : X = adalah bilangan riil, disebut bagian nyata atau X = R Y = adalah bilangan riil, disebut bagian imajiner atau Y = Im i = = Bilangan imajiner

1.7. Bilangan Kompleks Sifat-sifat Bilangan Imajiner : i3 = i2. i = ( -1 ) . i = -i i4= i2. i2 = ( -1) ( -1) = 1 Contoh : i203 = ( (i)4)50. i3 = ( 1 ) 50. –i = -i i102 = ( (i) 4)25. i2 = (1)25. (-1) = -1 Z = 5 - i X = 5 dan Y = - 1 Z = 23 + 5i X = 23 dan Y = 5

1.7. Bilangan Kompleks Aljabar Bilangan Kompleks Contoh : 1. Dua bilangan kompleks sama besar bila bagian nyata dan bagian imajiner kedua bil. sama Contoh : Z1 = X1 + Y1 i Z1 = Z2 X1 =X2 Z2 = X2 + Y2 i Y1=Y2   2. Jumlah / selisih bilangan kompleks adalah bilangan kompleks juga Z1 = X1 + Y1 i Z1 ± Z2 = (X1 ± X2 ) +(Y1 ± Y2) i Z2 = X2 + Y2 i

1.7. Bilangan Kompleks Z1 = X1 + Y1 i ; Z2 = X2 + Y2 i 3. Hasil kali bilangan kompleks adalah bil. kompleks Z1 = X1 + Y1 i ; Z2 = X2 + Y2 i Z1 . Z2 = (X1 + Y1 i )(X2 + Y2 i) = X1X2+X1Y2i +X2Y1i +Y1Y2 i2 = X1X2+X1Y2i +X2Y1i +Y1Y2 (-1) = (X1X2 - Y1Y2) + (X1Y2 +X2Y1)i Bagian Riil bagian Imajiner

1.7.Bilangan Kompleks 4. Pembagian dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks z1 = x1 + y1 i ; z2 = x2 + y2 i z1 / z2 = (x1 + y1 i ) / (x2 + y2 i) Pembilangan dan penyebut dikalikan dengan bilangan yang sama yaitu x2 - y2 i dan akan didapat :

1.7. Bilangan Kompleks ( jika z = x + yi maka = x – yi , adalah konjugasi ( sekawan )dari z ) dan pembagian di atas akan didapat :

1.7. Bilangan Kompleks Sifat-sifat Bilangan kompleks Jika z1, z2 dan z3 sebarang bilangan-bilangan komplek, maka berlaku : Hukum komutatif : z1 +z2 = z2 + z1 ; z1.z2 = z2. z1 Hukum asosiatif : (z1 +z2) + z3 = z1 +(z2 + z3) ; (z1 z2 ) z3 = z1 ( z2 z3) Hukum distributif : z1 (z2 + z3)= z1 z2 + z1 z3

1.7. Bilangan Kompleks Melukis Bilangan kompleks Bilangan-bilangan riil dilukis sebagai titik dalam sebuah garis yang disebut garis bilangan Bilangan kompleks dilukiskan pada bidang datar dimana didalamnya terdapat sistem koordinat Cartesian . Titik P(x,y) adalah suatu lukisan bilangan kompleks z = x+yi

1.7. Bilangan Kompleks Cara Melukis : Sb.imajiner Sb.y P(x,y) = x+yi r ᶿ Sb. riil 0 x Q sb.x

1.7. Bilangan Kompleks Perhatikan ∆OPQ Gambar di atas: a. b. Notasi baku Bilangan Kompleks : z = x+yi Jika x dan y disubstitusikan akan didapat z = r cos +r sin i = r (cos + i sin ) = r cis ( Notasi Modulus/argumen= Polar)

1.7. Bilangan Kompleks Contoh : Ubah menjadi notasi modulus argumen dari bilangan kompleks z = 1-i Penyelesaian : z = 1-i , maka x = 1 dan y = -1  

1.7. Bilangan Kompleks z = r ( Notasi Euler ) Menurut deret Mac Laurin , maka z = x+yi (Notasi baku ) bisa diubah menjadi bentuk z = r cis (Notasi Modulus/argumen )/Polar z = r ( Notasi Euler )

1.7. Bilangan Kompleks 5. Pangkat Bilangan Kompleks Contoh : Hitung Penyelesaian : 1-i diubah dalam Mod-Arg, didapat

1.7 Bilangan Kompleks 6. Akar Bilangan Kompleks Hitung semua nilai z dari persamaan : z3 +1 = 0 Penyelesaian : z3 +1 = 0 Bilangan -1 ditulis dalam bentuk Mod/arg , x = -1, y = 0 ,sehingga r =1, =180+k.360 Jadi : -1 = 1 cis (180+k.360) , k = bilangan bulat ( diambil yang berurutan)