Στοιχειώδη Σωμάτια ΙΙ (8ου εξαμήνου, εαρινό ) Χ. Πετρίδου & Κ. Κορδάς Μάθημα 2c Ενεργός διατομή, μέση ελεύθερη διαδρομή και ρυθμός διασπάσεων Λέκτορας Κώστας Κορδάς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στοιχειώδη ΙΙ, Αριστοτέλειο Παν. Θ/νίκης, 28 Φεβρουαρίου 2013

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων2 Μετρήσιμες ποσότητες Παρατηρώντας τη φύση για να καταλάβουμε ποιά είναι τα στοιχειώδη σωμάτια και πώς αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, έχουμε τα εξής πειραματικά εργαλεία (μετρήσεις):  Pacticle scattering (σκέδαση σωματιδίων)  Particle decays (π.χ., π - → μ - ν μ )  Bound states of particles: “δέσμιες καταστάσεις”, π.χ., άτομο, μεζόνιο J/ψ (=c c)

Θ/νίκη - 7-Μαρ-2013Κ. Κορδάς - Σκέδαση - Χρυσος κανόνας Fermi - παράγοντας φάσεων3 Ενεργός διατομή αλληλεπίδρασης και ρυθμός αλληλεπιδράσεων

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων4 Τι μπορεί να πάθουν δυό σωματίδια που περνά το ένα από τη γειτονιά του άλλου; Ή δεν θα “αισθανθεί” κανείς την παρουσία του άλλου Ή θα αλληλεπιδράσουν  Η “ενεργός διατομή” της αλληλεπίδρασης δίνει ένα μέτρο της πιθανότητας αλληλεπίδρασης  Βιβλίο Cottingham & Greenwood (C&G): Παράρτημα Α.1- Α.3  Σκέδαση Rutherford : (C&G): Παράρτημα Α.4

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων5 Αλληλεπιδράσεις και ενεργός διατομή Όταν έχουμε σκέδαση δύο σωματιδίων, μιλάμε για την ενεργό διατομή της αλληλεπίδρασης Έστω ένα σωματίδιο α που προσεγγίζει από κάποια απόσταση έναν ακίνητο πυρήνα Χ, και προσπίπτει τυχαία οπουδήποτε σε μια επιφάνεια π R 2 με κέντρο τον πυρήνα Πιθανότητα αλληλεπίδρασης = σ t o t = Ενεργός διατομή της αλληλεπίδρασης μονάδες επιφανείας, σε mb = (10 fm) 2 [ α X R

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων6 Ενεργός διατομή Όταν έχουμε σκέδαση δύο σωματιδίων, μιλάμε για την ενεργό διατομή της αλληλεπίδρασης Η ενεργός διατομή μπορεί να θεωρηθεί σαν την “ενεργός επιφάνεια” που παρουσιάζει ο πυρήνας Χ σε σημειακό επερχόμενο σωματίδιο α → Αλλά δεν είναι το ίδιο! Δεν έχουμε “hit or miss” στην αλληλεπίδραση σωματιδίων. [ α X R σ t o t Βέβαια, η ενεργός διατομή δεν είναι γεωμετρικός παράγοντας, αλλά συλλογική ιδιότητα των δύο σωματιδίων που αλληλεπιδρούν. Εξαρτάται και από τον τύπο των σωματιδίων και από την ενέργειά τους

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων7 Μιά αίσθηση μεγέθους ενεργών διατομών Ας πάρουμε τη γεωμετρική θεώρηση μιας σκέδασης Σωματίδιο α σκεδάζεται από πυρήνα με ακτίνα r =6 fm. Αν θεωρήσουμε το α σημειακό που πέφτει τυχαία οπουδήποτε στον μεγάλο κύκλο R, και επίσης θεωρήσουμε την επιφάνεια σ που παρουσιάζει ο πυρήνας σαν την “ενεργό” επιφάνεια αλληλεπίδρασης, τότε η ενεργός διατομή αλληλεπίδρασης είναι σ = π * r 2 = 113 fm 2 = 1.13 mb πιθανότητα το α να πέσει πάνω στον πυρήνα = π * r 2 / π * R 2 = σ / (π * R 2 ), με σ=1.13 mb, που είναι σωστή τάξη μεγέθους για ισχυρές αλληλεπιδράσεις. [ α X R σ

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων8 Ενεργός διατομή: επί μέρους και ολική Η ενεργός διατομή δεν είναι γεωμετρικός παράγοντας Εξαρτάται από τα σωματίδια που αλληλεπιδρούν και τις ενέργειές τους  π.χ. σ(π+p) > σ(e+p) > σ(ν+p) Ανάλογα με την ερώτηση που θέλουμε να απαντήσουμε, μπορεί να εξαρτάται επίσης και από τα παραγόμενα σωματίδια και τα χαρακτηριστικά τους  Mπορούμε να ορίσουμε τις “επί μέρους ενεργές διατομές” = “exclusive cross section”) = σ i π.χ., σ(pp → W), σ(pp → Z)  “ολική ενεργός διατομή” = “inclusive cross section” = σ t o t = Σ σ i π.χ., σ tot (pp) = σ(pp → W) + σ(pp → Z) +...

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων9 Παράδειγμα: ενεργός διατομή Η ενεργός διατομή είναι συλλογική ιδιότητα των δύο σωματιδίων που αλληλεπιδρούν: εξαρτάται από τον τύπο των σωματιδίων και την ενέργειά τους Σχήμα 3.1 στο βιβλίο σας (C&G) γ+d (d= 2 1 H= δευτέριο) γ+p

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων10 Ενεργός διατομή και ρυθμός αντίδρασης Δέσμη σωματιδίων α, προσπίπτει με ταχύτητα υ σε υλικό με πυρήνες Χ Επιφανειακή πυκνότητα της δέσμης α = ρ α = αριθμός σωματιδίων α, ανά μονάδα επιφάνειας Ροή των σωμματιδίων α = αριθμός σωματιδίων α, ανά επιφάνεια dA σε χρόνο dt = ρ α * dA * υ * dt. Αριθμός σωματιδίων α ανα μονάδα επιφάνειας, ανά μονάδα χρόνου; = ρ α * υ Αριθμός α που διέρχεται από επιφάνεια π R 2 γύρω έναν πυρήνα Χ, στη μονάδα χρόνου (dt=1) : ρ α * υ * π R 2 Πιθανότητα αλληλεπίδρασης ενός α με έναν πυρήνα Χ = Ρυθμός (dN/dt) αλληλεπίδρασης σωματιδίων α με έναν πυρήνα Χ: (ρ α *υ*π R 2 )*(σ/ π R 2 ) = ρ α *υ*σ tot = ροή * ενεργός διατομή α Χ υ*dt dA ρ α = επιφανειακή πυκνότητα δέσμης σωματιδίων α

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων11 Ενεργός διατομή και μέση ελεύθερη διαδρομή Δέσμη σωματιδίων α, προσπιτει με ταχύτητα υ σε υλικό με πυρήνες Χ Αντίστοιχα με την προηγούμενη σελίδα: Ρυμός αντίδρασης (dN/dt) ενός σωματιδίου α με τους πυρήνες Χ του στόχου: ρ x *υ * σ tot (σαν να είμαι πάνω στο α και να βλέπω τους πυρήνες Χ να έρχονται με ταχύτητα υ, oπότε έχω: ροή των σωματιδίων Χ * ενεργός διατομή αλληλεπίδρασης) Για μία αλληλεπίδραση απαιτείται κατά μέσο όρο χρόνος τ = 1/(ρ x *υ * σ tot ) Μέση ελεύθερη διαδρομή = τ*υ = 1/(ρ x * σ tot ) α υ*dt dA Χ ρ Χ = επιφανειακή πυκνότητα πυρήνων Χ

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων12 Πέρασμα δέσμης μέσα από υλικό με πολλούς πυρήνες Όταν μια δέσμη πολλών σωματιδίων α, πέφτει πάνω σε Ν X πυρήνες, τότε ο ρυθμός αλληλεπιδράσεων είναι Ν Χ φορές μεγαλύτερος απ' ότι η δέσμη των σωματιδιων α να πέφτει σε στόχο με έναν μόνο πυρήνα X: dN/dt = Ν Χ * ρ α * υ * σ Αν η δέσμη των σωματιδίων α έχει επιφάνεια Α, και πέφτει πάνω στο στόχο που έχει πάχος dx, Αν οι πυρήνες Χ έχουν πυκνότητα ρ X (=αριθμός πυρήνων / cm 3 ), τότε: Ν Χ = ρ X * όγκος = ρ X * Α * dx

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων13 Ενεργός διατομή και ρυθμός αλληλεπίδρασης - συμπυκνωμένα

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων14 Σκέδαση: α + b a b

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων15 Σκέδαση και ενεργός διατομή b σ=κάτι σαν την επιφάνεια που παρουσίαζει το σωματίδιο b στο επερχόμενο σωματίδιο α → Αλλά δεν είναι το ίδιο! Δεν έχουμε “hit or miss” στην αλληλεπίδραση σωματιδίων a

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων16 Σκέδαση και ενεργός διατομή Ισύει και για δέσμες σωματιδίων

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων17 Ενεργός διατομή: συνάρτηση πολλών παραγόντων Η ενεργός διατομή δεν είναι γεωμετρικός παράγοντας Εξαρτάται από τα σωματίδια που αλληλεπιδρούν  π.χ. σ(π+p) > σ(e+p) > σ(ν+p) Εξαρτάται επίσης και από τα παραγόμενα σωματίδια Επίσης, πού πάνε (γωνίες) και γενικά με τι 4-ορμή παράγονται τα σωματίδια αυτά Κάθε δυνατή τελική κατάσταση έχει μια πιθανότητα να συμβεί → σ = συνάρτηση πολλών παραγόντων (θ, φ, p, m...)

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων18 Rutherford scattering – σκέδαση vs. θ Σωματίδια α σκεδάζονται από πυρήνες χρυσού Μετράω σε κάθε θέση θ, πόσα σωματίδια α “βλέπω” μέσα σε χρόνο dt: Επειδή dN/dt = ροή * σ, έχω dN = ροή * dt * σ Επίσης μετράω τον αριθμό των σωματιδίων dN, ανά μονάδα στερεάς γωνίας dΩ: Δηλαδή μετράω dN/dΩ dθ=ds/r dΩ=dA/r 2 r θ dθ Γωνία: θΣτερεά γωνία: Ω r dA

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων19 Rutherford scattering - σκέδαση Αν ο πυρήνας είναι σημειακό φοτίο: Rutherford approximatιοn (σημείωση: dσ -> για αλληλεπίδραση που δίνει σκεδαζόμενα σωματίδια σε γωνία θ) 1. Μετράμε: 2. Βρίσκουμε:

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων20 Για συκγρουόμενα σωματίδια L = instantaneous luminosity (γνωρίζω) N = αριθμός γεγονότων (καταμετράω) σ = ενεργός διατομή της αλληλεπίδρασης  (υπολογίζω από την εξίσωση):

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων21 Αποσύνθεση και ρυθμοί μεταβολής

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων22 Decay (=disintegration, “αποσύνθεση”) Η πιθανότητα να διασπαστεί (“probability to decay”) ένα σωματίδιο στο αμέσως επόμενο χρονικό διάστημα dt είναι ανεξάρτητη από την ηλικία του σωματιδίου  Γ = πιθανότητα για decay ανά μονάδα χρόνου = decay rate = decay width N(t+dt) - N(t) = - Γ dt N(t) → N(t) = N(0) exp(-Γt) Μέσος χρόνος ζωής = mean lifetime = τ = 1/Γ → N(t) = N(0) exp(-t/τ)

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων23 Decay (=disintegration, “αποσύνθεση”) Μέσος χρόνος ζωής = mean lifetime = τ = 1/Γ Το Γ είναι αποτέλεσμα των αλληλεπιδράσεων που εμφανίζονται σε μας ως decay του σωματιδίου.  Eμείς μετράμε το lifetime ή το decay rate Γ. To Γ υπολογίζεται από τη θεωρία ως decay width = ανάλογο του (“quantum mechanical amplitude of a process”) 2 : Γ = ανάλογο του | | 2 | | = |M i f | = πλάτος της διαδικασίας ή martrix element Initial & final states Hamiltonian operator of the interaction

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων24 Decay (=disintegration, “αποσύνθεση”) Μέσος χρόνος ζωής = mean lifetime = τ = 1/Γ Αν ένα σωματίδιο μπορεί να κάνει decay με πολλούς (= n) τρόπους, τότε ο ολικός ρυθμός διασπάσεών του (= total decay rate) θα είναι: Γ Τ Ο Τ = Γ 1 + Γ 2 + Γ 3 + … + Γ n To lifetime είναι τ = 1/Γ Τ Ο Τ Το ποσοστό των σωματιδίων που κάνουν decay με τον τρόπο i, ονομάζεται “branching ratio” ή “branching fraction”  Branching ratio for decay mode “i” = B i = Γ 1 / Γ Τ Ο Τ  π.χ., φορτισμένο πιόνιο, π + (= u d) Μάζα π + = MeV, Lifetime = 2.6 x sec π + → μ + ν μ BR= % π + → e + ν e BR = 1.2 x BR → φυσική των αλληλεπιδράσεων

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων25 Κινηματική και Φυσική των αλληλεπιδράσεων Η ενέργεια και ορμή των προϊόντων ενός decay είναι θέμα κινηματικής Η πιθανότητα να συμβεί κάποιο decay και η κατανομή των προϊόντων στο χώρο υπολογίζεται από τη φυσική της αλληλεπίδρασης

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων26 Σε τρεις (3) διαστάσεις: στερεά γωνία Ω Π.χ. Ισότροπη κατανομή των προΪώντων = Isotropic distribution

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων27 Isotropic distribution of products

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων28 Μερικοί σχετικοί ιστότοποι Rutherford scattering: Ενεργός διατομή σκέδασης: Great experiments in Physics

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων29 Σχετικιστική κινηματική Σχετικιστική κινηματική: ενέργεια μάζα c = ταχύτητα του φωτός E = mc 2 = η ενέργεια πού έχω επειδή απλά και μόνο έχω μάζα m Η μάζα είναι μια μορφή ενέργειας → E [MeV], p [MeV/c], m [MeV/c 2 ]

Α.Π.Θ - 28 Φεβ. 2013Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 2c : ενεργός διατομή κ ρυθμός διασπάσεων30 Μονάδες Συνήθως χρησιμοποιούμε το MeV (= 10 9 eV) Σταθερά του Plank = h = x J s Μετράμε: Μάζα: MeV/c 2 (αφού Ε = mc 2 ) Ορμή: MeV/c (αφού p = mγβc) Χρόνο σε: 1/MeV (αφού η μονάδα δράσης = Ενέργεια * Xρόνος = 1) Μήκος σε: μονάδες χρόνου = 1/MeV (αφού η μονάδα ταχύτητας=1) 1 amu = 1/12 μάζας ουδέτρου ατόμου 12 C = MeV/c 2 Mάζα ηλεκτρονίου = MeV/c 2 Μάζα πρωτονίου = MeV/c 2, Μάζα νετρονίου = MeV/c 2 Θα χρησιμοποιούμε παντού: eV για ενέργεια (ή MeV στην πυρηνική), 1/4πε 0 = 1 σε όλους τους τύπους, και θα βάζουμε: α = η σταθερά λεπής υφής = 1/137