Διάσωση Ηλιάδης Ιωάννης Κολοκούρη Ελένη Μ π άτσιαρη Μυρτώ Στεφανο π ούλου Ιωάννα Σ π υράκου Ευθυμία

Προβληματισμός Ένας ναυαγοσώστης στέκεται στην παραλία ακριβώς εκεί που σκάει το κύμα και παρατηρεί τους λουόμενους. Ξαφνικά ένας λουόμενος φωνάζει βοήθεια. Ο ναυαγοσώστης καλείται να σπεύσει προς βοήθεια. To ερώτημα που μας απασχολεί είναι ποια διαδρομή θα πρέπει να ακολουθήσει για να φτάσει στον λουόμενο στον συντομότερο χρόνο. Να πέσει αμέσως στην θάλασσα και να κολυμπήσει ως τον λουόμενο ή να τρέξει κάποια απόσταση στην άμμο και μετά να πέσει στο νερό και να κολυμπήσει ως τον λουόμενο; Δίνονται: η ταχύτητα του ναυαγοσώστη όταν τρέχει στην άμμο 6m/s και η ταχύτητα του ναυαγοσώστη όταν κολυμπάει 2m/s.

Επίλυση Αρχικά χρησιμοποιήσαμε το Excel για να υπολογίσουμε, με τη βοήθεια τύπων, την απόσταση που πρέπει να διανύσει ο ναυαγοσώστης στη στεριά και τη θάλασσα, προκειμένου να προσεγγίσει τον λουόμενο στον μικρότερο δυνατό χρόνο. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι επιτυγχάνει τον ελάχιστο δυνατό χρόνο διανύοντας 82 μέτρα στη στεριά και 53 μέτρα στη θάλασσα, σε χρόνο 40,24 δευτερόλεπτα.

Προκειμένου να αποκτήσουμε μια καλύτερη εικόνα για το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε, προχωρήσαμε στην δημιουργία γραφικών παραστάσεων. Οι γραφικές παραστάσεις μας βοηθούν να εντοπίζουμε με μεγαλύτερη ακρίβεια τις τιμές των αποστάσεων ΝΛ και ΛΑ με τις οποίες επιτυγχάνεται ο ελάχιστος δυνατός χρόνος. Έτσι, κατασκευάσαμε το διάγραμμα του t ολικό ως προς x, όπου x η απόσταση ΝΛ που διανύει ο ναυαγοσώστης στη στεριά και t ολικό ο συνολικός χρόνος στον οποίο ο ναυαγοσώστης προσεγγίζει το λουόμενο.

Σχεδιάγραμμα Υπόμνημα Ν= θέση ναυαγοσώστη Α= θέση λουομένου ΝΠ= 100 m ΝΛ= απόσταση που διανύει ο ναυαγοσώστης στη στεριά ΛΑ= απόσταση που διανύει ο ναυαγοσώστης στη θάλασσα ΠΑ= απόσταση του λουομένου από τη στεριά (=50m) Λ Α Π Ν

Τύποι που χρησιμοποιήθηκαν Χρόνος για τη διαδρομή (ΝΛ) μας δίνεται από τον τύπο της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης U=Δx / Δt τον οποίο επιλύσαμε ως προς t,δηλαδή t=Δx/U, άρα: t1= x/6 όπου x= ΝΛ, U1=6m/s Χρόνος για την απόσταση (ΛΑ) t2 = (1/2)*√[(100-x)^2 + 50^2] (από Πυθαγόρειο θεώρημα), όπου U2= 2m/s Συνολικός χρόνος toλ= t1+t2, toλ= x/6 + (1/2)*√[(100-x)^2 + 50^2] Tο γράφημα στο οποίο καταλήξαμε (μέσω του Excel) :

Για μεγαλύτερη ακρίβεια, χρησιμοποιήσαμε το λογισμικό Modellus και κάναμε την ίδια γραφική παράσταση. Με βάση τoν προηγούμενο τύπο για το συνολικό χρόνο: επίσης μέσω της ιστοσελίδας wolframalpha.com καταλήξαμε στην παρακάτω γραφική παράσταση: