Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 4) 1 Από κοινού κατανομή πολλών ΤΜ Ορίζεται ως από κοινού συνάρτηση κατανομής F(x 1, …, x n ) n τυχαίων μεταβλητών X 1, …, X n η πιθανότητα του ενδεχομένου Ορίζεται ως από κοινού συνάρτηση κατανομής F(x 1, …, x n ) n τυχαίων μεταβλητών X 1, …, X n η πιθανότητα του ενδεχομένου H από κοινού συνάρτηση πυκνότητας ορίζεται σε αναλογία με την περίπτωση των δύο ΤΜ ως: H από κοινού συνάρτηση πυκνότητας ορίζεται σε αναλογία με την περίπτωση των δύο ΤΜ ως:

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 4) 2 Γραμμική εξάρτηση Έστω ότι δίνονται n ανεξάρτητα διανύσματα ΤΜ X 1, …, X n σε ένα χώρο Hilbert Η. Έστω ότι δίνονται n ανεξάρτητα διανύσματα ΤΜ X 1, …, X n σε ένα χώρο Hilbert Η. Τα διανύσματα αυτά μαζί με τους γραμμικούς συνδυασμούς τους ορίζουν έναν υποχώρο h του αρχικού χώρου. Τα διανύσματα αυτά μαζί με τους γραμμικούς συνδυασμούς τους ορίζουν έναν υποχώρο h του αρχικού χώρου.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 4) 3 Γραμμική εξάρτηση Σύμφωνα με τα ανωτέρω, κάθε διάνυσμα Χ του h μπορεί να γραφεί ως: Σύμφωνα με τα ανωτέρω, κάθε διάνυσμα Χ του h μπορεί να γραφεί ως: όπου Χ Τ =[Χ 1,..., Χ n ] o πίνακας των διανυσμάτων και Α Τ =[a 1,..., a n ] o πίνακας των πραγματικών αριθμών a 1,..., a n.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 4) 4 Πίνακας συνδιασποράς Για τα n ανωτέρω διανύσματα ΤΜ Χ 1,..., Χ n ορίζεται ο πίνακας συνδιασποράς C n ως: Για τα n ανωτέρω διανύσματα ΤΜ Χ 1,..., Χ n ορίζεται ο πίνακας συνδιασποράς C n ως: όπου Cov ij =Cov(X i,X j ) όπου Cov ij =Cov(X i,X j ) O πίνακας αυτός είναι αντίστοιχος με την συνδιασπορά δύο ΤΜ, εφόσον περιγράφει την σχετική θέση αλλά και τα μήκη των n διανυσμάτων Χ 1,..., Χ n.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 4) 5 Πίνακας τανυστής Ο ανωτέρω πίνακας είναι και ένας τανυστής ο οποίος σε οποιοδήποτε διάνυσμα πραγματικών αριθμών Α Τ =[a 1,..., a n ] αντιστοιχεί την διασπορά, δηλαδή το τετράγωνο του μήκους, οποιουδήποτε γραμμικού συνδυασμού Χ=Α Τ Χ των n ΤΜ Χ 1,..., Χ n με συντελεστές βάρους τους ανωτέρω αριθμούς ως εξής: Ο ανωτέρω πίνακας είναι και ένας τανυστής ο οποίος σε οποιοδήποτε διάνυσμα πραγματικών αριθμών Α Τ =[a 1,..., a n ] αντιστοιχεί την διασπορά, δηλαδή το τετράγωνο του μήκους, οποιουδήποτε γραμμικού συνδυασμού Χ=Α Τ Χ των n ΤΜ Χ 1,..., Χ n με συντελεστές βάρους τους ανωτέρω αριθμούς ως εξής:

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 4) 6 Μη αρνητικά ορισμένος Το πρώτο μέλος της προηγούμενης σχέσης είναι πάντα θετικό ή μηδέν ως τετράγωνο πραγματικού αριθμού, άρα το ίδιο πρέπει να ισχύει και για το δεύτερο. Για να είναι πάντοτε μη αρνητικό το δεύτερο μέλος θα πρέπει ο C n να ικανοποιεί την συνθήκη: Το πρώτο μέλος της προηγούμενης σχέσης είναι πάντα θετικό ή μηδέν ως τετράγωνο πραγματικού αριθμού, άρα το ίδιο πρέπει να ισχύει και για το δεύτερο. Για να είναι πάντοτε μη αρνητικό το δεύτερο μέλος θα πρέπει ο C n να ικανοποιεί την συνθήκη: Α Τ C n A≥0 για οποιονδήποτε πίνακα-στήλη Α Όταν ισχύει η ανωτέρω σχέση ο πίνακας ονομάζεται μη αρνητικά ορισμένος. Η σημασία της ιδιότητας αυτής είναι βασική και θα φανεί περισσότερο στο επόμενο κεφάλαιο.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 4) 7 Παράδειγμα Χρησιμοποιήστε την διάταξη του σχήματος για να υπολογίσετε το γινόμενο Α Τ C n A. Πειραματιστείτε για διάφορες τιμές του Α. Δοκιμάστε C 12 =3 με το αρχικό Α. Τι παρατηρείτε και γιατί; Χρησιμοποιήστε την διάταξη του σχήματος για να υπολογίσετε το γινόμενο Α Τ C n A. Πειραματιστείτε για διάφορες τιμές του Α. Δοκιμάστε C 12 =3 με το αρχικό Α. Τι παρατηρείτε και γιατί;