Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 2) 1 Τι είναι η πιθανότητα Έστω ότι δίνεται ένα πείραμα τύχης το οποίο καθορίζεται από το σύνολο των ενδεχομένων του ζ i και το σύνολο Borel όλων των υποσυνόλων του. Σύμφωνα με την κατά Kolmogorov αξιωματική θεμελίωση της θεωρίας των πιθανοτήτων, ορίζεται ως συνάρτηση πιθανότητας P μία συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο ζ του συνόλου έναν πραγματικό αριθμό P(ζ) με τις ακόλουθες ιδιότητες: Έστω ότι δίνεται ένα πείραμα τύχης το οποίο καθορίζεται από το σύνολο των ενδεχομένων του ζ i και το σύνολο Borel όλων των υποσυνόλων του. Σύμφωνα με την κατά Kolmogorov αξιωματική θεμελίωση της θεωρίας των πιθανοτήτων, ορίζεται ως συνάρτηση πιθανότητας P μία συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο ζ του συνόλου έναν πραγματικό αριθμό P(ζ) με τις ακόλουθες ιδιότητες: P(ζ)≥0 P(ζ)≥0 P( )=1 P( )=1 Εάν τότε Εάν τότε

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 2) 2 Τι είναι η τυχαία μεταβλητή Εάν σε κάθε ενδεχόμενο ζ i του προηγούμενου πειράματος αποδώσουμε έναν αριθμό Χ(ζ i ), έχει ορισθεί μία συνάρτηση Χ με πεδίο ορισμού το σύνολο και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο του. Η συνάρτηση αυτή καλείται τυχαία μεταβλητή (ΤΜ). Εάν σε κάθε ενδεχόμενο ζ i του προηγούμενου πειράματος αποδώσουμε έναν αριθμό Χ(ζ i ), έχει ορισθεί μία συνάρτηση Χ με πεδίο ορισμού το σύνολο και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο του. Η συνάρτηση αυτή καλείται τυχαία μεταβλητή (ΤΜ).

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 2) 3 Ρίψη νομίσματος Έστω το πείραμα τύχης της ανεξάρτητης ρίψης δύο νομισμάτων. Είναι φανερό ότι η συνάρτηση της ΤΜ αποτελεί μετασχηματισμό του δειγματοχώρου σε υποσύνολο του με σκοπό την διευκόλυνση της ανάλυσης. Έτσι, πχ, το ενδεχόμενο χ={κορώνα στη δεύτερη ρίψη} περιγράφεται πλέον ως χ={x≤2}. Έστω το πείραμα τύχης της ανεξάρτητης ρίψης δύο νομισμάτων. Είναι φανερό ότι η συνάρτηση της ΤΜ αποτελεί μετασχηματισμό του δειγματοχώρου σε υποσύνολο του με σκοπό την διευκόλυνση της ανάλυσης. Έτσι, πχ, το ενδεχόμενο χ={κορώνα στη δεύτερη ρίψη} περιγράφεται πλέον ως χ={x≤2}.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 2) 4 Συνάρτηση κατανομής Tα στοιχεία του συνόλου τα οποία αποτελούν το ενδεχόμενο {χ≤x} αλλάζουν καθώς το x λαμβάνει διάφορες αριθμητικές τιμές. Δηλαδή, η πιθανότητα P{χ≤x} του ενδεχομένου είναι ένας αριθμός που εξαρτάται από το x. Ο αριθμός αυτός δίδεται από την F x (x) η οποία καλείται αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της ΤΜ Χ. Tα στοιχεία του συνόλου τα οποία αποτελούν το ενδεχόμενο {χ≤x} αλλάζουν καθώς το x λαμβάνει διάφορες αριθμητικές τιμές. Δηλαδή, η πιθανότητα P{χ≤x} του ενδεχομένου είναι ένας αριθμός που εξαρτάται από το x. Ο αριθμός αυτός δίδεται από την F x (x) η οποία καλείται αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της ΤΜ Χ. Η παράγωγος καλείται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, ή κατανομής της ΤΜ Χ. Η παράγωγος καλείται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, ή κατανομής της ΤΜ Χ.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 2) 5 Η κανονική κατανομή Συχνά η συνάρτηση πυκνότητας μίας ΤΜ εξαρτάται μόνον από δύο παραμέτρους: την μέση τιμή m και την διασπορά σ 2. Στο σχήμα φαίνεται η επίδραση της διασποράς στο σχήμα της κανονικής κατανομής. Συχνά η συνάρτηση πυκνότητας μίας ΤΜ εξαρτάται μόνον από δύο παραμέτρους: την μέση τιμή m και την διασπορά σ 2. Στο σχήμα φαίνεται η επίδραση της διασποράς στο σχήμα της κανονικής κατανομής.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 2) 6 Επίδραση μεγέθους δείγματος Δεδομένου ότι οι ΤΜ Χ 1,..., Χ n ακολουθούν την ίδια κατανομή με μέση τιμή μ και διασπορά σ 2, η ΤΜ θα έχει την ίδια μέση τιμή μ αλλά η διασπορά της θα είναι δηλαδή η κατανομή της θα είναι στενότερη. Δεδομένου ότι οι ΤΜ Χ 1,..., Χ n ακολουθούν την ίδια κατανομή με μέση τιμή μ και διασπορά σ 2, η ΤΜ θα έχει την ίδια μέση τιμή μ αλλά η διασπορά της θα είναι δηλαδή η κατανομή της θα είναι στενότερη.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 2) 7 Το κεντρικό οριακό θεώρημα Ιδιαίτερα σημαντικό είναι το «κεντρικό οριακό θεώρημα» (ΚΟΘ), σύμφωνα με το οποίο δεδομένων των ΤΜ Χ 1,..., Χ n και ανεξαρτήτως των κατανομών τους, η ΤΜ τείνει να ακολουθήσει την κανονική κατανομή όταν το n τείνει στο άπειρο. Στην πράξη αρκεί το n να γίνει μεγαλύτερο από το 5. Το σχήμα της προηγούμενης διαφάνειας επιβεβαιώνει το ΚΟΘ. Ιδιαίτερα σημαντικό είναι το «κεντρικό οριακό θεώρημα» (ΚΟΘ), σύμφωνα με το οποίο δεδομένων των ΤΜ Χ 1,..., Χ n και ανεξαρτήτως των κατανομών τους, η ΤΜ τείνει να ακολουθήσει την κανονική κατανομή όταν το n τείνει στο άπειρο. Στην πράξη αρκεί το n να γίνει μεγαλύτερο από το 5. Το σχήμα της προηγούμενης διαφάνειας επιβεβαιώνει το ΚΟΘ.