Διακριτά Μαθηματικά Ι Γιώργος Γεωργιάδης (σύμφωνα με τις παραδόσεις του Λευτέρη Κυρούση) Σημειώσεις του μαθήματος Διάλεξη 7η
Θεωρία Polya Αρχή της Αναδιάταξης Αθροισμάτων (Αρχή του Lebesque) – σύνολο από «πράγματα» (αντικείμενα) – σύνολο από αξίες (εφοδιασμένο με ιδιότητα πρόσθεσης) – απεικόνιση Έστω ότι έχω κάποια πράγματα με μια αξία αντιστοιχισμένη σε κάθε ένα από αυτά. Το άθροισμα των αξιών όλων των αντικειμένων ισούται με το άθροισμα των γινομένων κάθε αξίας με το πλήθος των αντικειμένων που έχουν αυτήν την αξία, για όλες τις αξίες. Πιο απλά, για να βρούμε την αξία ενός συνόλου από κέρματα που αποτελούνται, για παράδειγμα, μόνον από πενηντάλεπτα, εικοσάλεπτα και δεκάλεπτα, μπορούμε αφ’ ενός να προσθέσουμε τις αξίες όλων των νομισμάτων, ένα προς ένα, εναλλακτικά όμως μπορούμε να μετρήσουμε τα πενηντάλεπτα, έστω ότι είναι, τα εικοσάλεπτα, έστω ότι είναι,και τα δεκάλεπτα, έστω ότι είναι, και να υπολογίσουμε την συνολική αξία ως.
Λήμμα του Burnside Π.χ: χρώματα : συμμετρίες : ανακάτεμα κλάδων και φύλλων Να βρεθούν οι μη ισοδύναμοι χρωματισμοί των κορυφών του δέντρου.
Λήμμα του Burnside (συν.) Απόδειξη: –Βοηθητικό Λήμμα: Η συνάρτηση είναι: Ένα προς ένα Ισχύει: Τότε υπάρχει συνάρτηση: (πολ/ζω με από δεξιά) (η υπάρχει από τα αξιώματα) Επί Έστω: Όμως:
Λήμμα του Burnside (συν.) Απόδειξη (συν.):
Θεωρία Polya (συν.) Μεταβλητές (Όσα είναι τα στοιχεία του C) Μονώνυμο Αν, τότε (Το αντίστροφο δεν ισχύει) Π.χ.: άσπρο μαύρο πολυώνυμο Το πλήθος των μη ισοδ. χρωματισμών που δεν περιέχουν το χρώμα 13: πολυώνυμο Το πλήθος των μη ισοδ. χρωματισμών που περιέχουν το χρώμα 13 τουλάχιστον 2 φορές: πολυώνυμο