Ενδεικτικές Ασκήσεις Αστρονομίας Εισαγωγή στην Αστρονομία Γιάννης Σειραδάκης

Η ετήσια παράλλαξη ενός αστέρα π [rad] = 1 AU/r π [″] = 206265×(1 AU/r) r = 206265×(1 AU)/ π [″] Ορίζω: 1 pc = 206265×(1 AU) π [″] = 1/r [ το r σε parsec] ? Σημ.: 1 pc = 206265×150×106 km Δηλ.: 1 pc = 3.086 1018 cm = 3.26 ly

Αστρικά Μεγέθη - Φωτομετρία Ιστορικός δείκτης χρώματος CI = mpg -mv Δείκτες χρώματος B-V = mB – mV U-B = mU - mB

Ο νόμος των Stefan-Boltzmann Ολική φωτεινότητα: Ροή × επιφάνεια Αν ο αστέρας ακτινοβολεί ως μέλαν σώμα: L = 4πR2×σΤeff4 Νόμος Stefan-Boltzmann

Το διάγραμμα των δύο χρωμάτων EB-V = (B-V) – (B-V)o EB-V: Υπεροχή χρώματος AV = 3 EB-V και ΑΒ = 4 EB-V

Απόλυτα μεγέθη M – m +Α = 5 – 5 log(r) Απόλυτο μέγεθος, Μ, ενός αστέρα είναι το φαινόμενο μέγεθος που θα είχε εάν βρισκόταν σε απόσταση 10 pc! Αλλά ισχύει: ℓ = L/4πr2 και προφανώς ℓΑ = L/4πrA2 Άρα: M – m = 2.5 log(ℓ/ ℓΑ) = 5 – 5 log(r) Λαμβάνοντας υπόψη και τη μεσοαστρική απορρόφηση, Α M – m +Α = 5 – 5 log(r)

1. Κεφάλαιο 3+13 Άσκηση Η φαινόμενη ημιδιάμετρος ταυ υπολείμματος υπερκαινοφανούς Μ1 (νεφέλωμα ταυ Καρκίνου) είναι φ = 3.3′ και αυξάνει κατά 0.21″ ανά έτος. Είναι γνωστό ότι αρχαίοι Κινέζοι αστρονόμοι κατέγραψαν στην περιοχή του υπολείμματος την έκρηξη ενός υπερκαινοφανούς. Από φασματοσκοπικές μετρήσεις βρέθηκε ότι η ταχύτητα διαστολής ταυ υπολείμματος είναι 1300 km/s. (α) Να υπολογίσετε, από τα στοιχεία που σας δίνονται, πριν από πόσα χρόνια έγινε η έκρηξη. (β) Θεωρώντας ότι το νεφέλωμα διαστέλλεται συμμετρικά, ποιά είναι η απόστασή του; (γ) Αν το απόλυτο απτικό μέγεθος ταυ υπερκαινοφανούς ήταν Μv = – 18, να βρεθεί πόσο ήταν το φαινόμενο μέγεθος που παρατήρησαν οι Κινέζοι αστρονόμοι. Δίνονται: εφ(3.3′) = 0.00096, log(1656) = 3.219 Απάντηση (α) Η ηλικία του υπολείμματος είναι 3.3' / 0.21″ = 198″/0.21 ή t = 942 έτη (Σημ. Ως γνωστόν οι Κινέζοι αστρονόμοι κατέγραψαν τις παρατηρήσεις τους το 1054 μ.Χ. 1054 + 942 = 1996). (β) Θεωρώντας σταθερή ταχύτητα διαστολής, η φυσική διάμετρος του υπολείμματος είναι 1300×60×60×24×365×942 = 3.86 1013 km = 1.25 pc. Επομένως η απόστασή του είναι r = 1.25/εφφ = 1.25 / 9.6 10‑4 pc ή r = 1656 pc. (γ) M – m = 5 –5lοgr ή m = M –5 + 5×lοgr = –18 –5 +5×log1656 = –23 +5 × 3.219 = –7.01, δηλαδή m = –7.01, δηλ. πολύ φωτεινότερος από την Αφροδίτη. (Σύμφωνα με τα κινέζικα αστρονομικά αρχεία, ήταν ορατός και κατά τη διάρκεια της ημέρας).

2. Κεφάλαιο 3+4 Άσκηση Στις 21 Μαρτίου και στις 21 Σεπτεμβρίου του ίδιου έτους φωτογραφίζουμε έναν κοντινό αστέρα δύο φορές: (α) χρησιμοποιώντας το φίλτρο Β, όπου το μέγεθος του αστέρα βρέθηκε ότι ήταν mB = 8.5 και (β) χρησιμοποιώντας το φίλτρο V, όπου το μέγεθος του αστέρα βρέθηκε ότι ήταν mV = 7.9. Από τις μετρήσεις στις δύο εποχές βρέθηκε ότι η παράλλαξη του αστέρα είναι π = 0.01″. Μπορείτε να βρείτε (κατά προσέγγιση) την τάξη φωτεινότητας του αστέρα και, αν ναι, πώς; Υποθέστε ότι δεν υπάρχει μεσοαστρική απορρόφηση. Δίνεται το διάγραμμα H-R   Απάντηση Από την παράλλαξη υπολογίζω την απόσταση του αστέρα, r = 100 pc. Από τις φωτογραφίες στα δύο διαφορετικά φίλτρα υπολογίζω το δείκτη χρώματος B-V = mB – mV = +0.6 (και άρα τη θερμοκρασία Teff ~6×103 K). Από τη σχέση MV – mV = 5 – 5×log(r) υπολογίζω το απόλυτο οπτικό μέγεθος, MV = 2.9. Από τα ΜV και B-V τοποθετώ τον αστέρα στο διάγραμμα H-R και βρίσκω (προσεγγιστικά) την τάξη φωτεινότητάς του. Από το διάγραμμα συνάγεται ότι ο αστέρας ανήκει στην Κύρια Ακολουθία, Άρα η τάξη φωτεινότητάς του είναι V.

3. Κεφάλαιο 3+11 Άσκηση Θεωρητικοί υπολογισμοί και παρατηρησιακά δεδομένα υποστηρίζουν τη θεωρία ότι στο κέντρο του Γαλαξία υπάρχει μια ευμεγέθης μελανή οπή. Ένα νέφος υδρογόνου παρατηρείται να περιφέρεται γύρω από το κέντρο του Γαλαξία. Με ραδιοαστρονομικές παρατηρήσεις βρέθηκε ότι η ακτινοβολία της υπέρλεπτης υφής του υδρογόνου (συχνότητα ηρεμίας = 1420.41 MHz) παρατηρείται σε συχνότητα 1421.23 MHz. Αν αυτό το νέφος αερίου βρίσκεται σε απόσταση R = 0.2 pc από την μελανή οπή και περιφέρεται σε κυκλική τροχιά, (α) να βρείτε την ταχύτητα του νέφους, (β) να βρείτε αν πλησιάζει ή απομακρύνεται από μας και (γ) να υπολογίστε την μάζα της μελανής οπής.   Απάντηση Η διαφορά μεταξύ της συχνότητας ηρεμίας και της παρατηρούμενης συχνότητας είναι: Από τη σχέση Doppler έχουμε: (β) Επειδή η ταχύτητα είναι αρνητική, το νέφος μας πλησιάζει. Η μάζα, Μ, της μελανής οπής δίνεται από τη σχέση: , όπου R είναι ακτίνα της τροχιάς του νέφους και ν, η ταχύτητά του. Άρα: (γ)

4. Κεφάλαιο «Αποστάσεις – Μεγέθη» Άσκηση Ένας αστέρας βρίσκεται πίσω από μεσοαστρικό νέφος που προκαλεί απορρόφηση ΑV = 0.4 αστρικά μεγέθη. Ο αστέρας έχει παράλλαξη π = 0".05 και είναι μόλις ορατός με γυμνό μάτι. Να εξετάσετε αν ο αστέρας είναι φωτεινότερος ή όχι από τον Ήλιο στο οπτικό τμήμα του φάσματος (M = +4.8). Απάντηση Επειδή είναι μόλις ορατός με γυμνό μάτι, έχει φαινόμενο μέγεθος 6. Από τη σχέση M – m + A = 5 – 5lοgr βρίσκω, M = m – A + 5 – 5 lοg(20) επειδή παράλλαξη 0".05 αντιστοιχεί σε απόσταση 20 pc. Για m = 6 και A = 0.4 βρίσκουμε Μ = 4.1. Άρα ο αστέρας είναι φωτεινότερος από τον Ήλιο.

5. Κεφάλαιο «Ήλιος - Γενικά» Άσκηση Η πυκνότητα ενός χαρακτηριστικού αστέρα της κύριας ακολουθίας ελαττώνεται από το κέντρο προς την επιφάνειά του σύμφωνα με τη σχέση: όπου ρc είναι πυκνότητα στο κέντρο του και R η ακτίνα του αστέρα. Να βρεθεί (α) η σχέση m(r), (β) η μάζα Μ(R) των αστέρων της κύριας ακολουθίας ως συνάρτηση της ακτίνας τους και (γ) να αποδειχθεί ότι η μέση πυκνότητα των αστέρων αυτών δίνεται από τη σχέση <ρ> = 0.4×ρc Απάντηση (α) Αντικαθιστώντας στη σχέση dm(r) = ρ 4πr2dr το ρ που δίδεται, βρίσκουμε: (β) Μ(R) = m(R) = 8πρcR3/15 (γ) <ρ> = Μ/(4π/3)R3. Αντικαθιστώντας το Μ από το (β), βρίσκουμε <ρ> = 0.4×ρc.

6. Κεφάλαιο «Ήλιος - Περιστροφή» Άσκηση Αν υπερθέσουμε τα φάσματα που παίρνουμε από το ανατολικό και το δυτικό χείλος του ισημερινού του Ήλιου, βρίσκουμε ότι η γραμμή Ηα του υδρογόνου (λ = 6563 Ǻ) εμφανίζεται διπλή, με διάκενο 0.087 Ǻ. Πόση είναι η περίοδος περιστροφής του Ήλιου στην περιοχή του ισημερινού του; Απάντηση Από το χείλος που πλησιάζει προς εμάς έχουμε -Δλ1/λ = V1/c (1) ενώ από το χείλος που απομακρύνεται έχουμε Δλ2/λ = v2/c (2) όπου v1 και v2 είναι, αντίστοιχα, οι γραμμικές ταχύτητες, ως προς παρατηρητή στη Γη, του ηλιακού Ισημερινού στο ανατολικό και το δυτικό χείλος. Αυτές, προφανώς, πρέπει να έχουν αντίθετα πρόσημα, δηλαδή v1 = -v2. Αφαιρώντας τη σχ.(1) από τη σχ.(2) κατά μέλη βρίσκουμε (Δλ1 + Δλ2)/λ = Δλ/λ = (ν 1 +v2)/c = 2v/c (3) όπου Δλ = 0.087 Ǻ. Επειδή όμως Ρ = 2πR  /v, η σχ.(3) μας δίνει Ρ = 2πR/2λ/(Δλc)] = 25.5 d

7. Κεφάλαιο «Αστρικά Μεγέθη» Άσκηση Η μέγιστη φωτεινότητα ενός υπερκαινοφανή τύπου Ia είναι ίση με 5.8 × 109 L. Παρατηρώντας ένα τέτοιο υπεrκαινοφανή σε ένα μακρινό γαλαξία βρέθηκε ότι η λαμπρότητά του είναι 1.6 × 10–7 φορές την λαμπρότητα του γνωστού αστέρα Vega. Η μετατόπιση προς το ερυθρό του μακρινού γαλαξία είναι γνωστή και ίση προς z = 0.03. Υπολογίστε την απόσταση του γαλαξία (σε Μpc). Απάντηση Η λαμπρότητα του Vega είναι: ενώ του υπερκαινοφανή: Σύμφωνα με την εκφώνηση: lSN = 1.6 × 10−7lV ή ή ή ή rSN = 130 Μpc

8. Κεφάλαιο «Εξέλιξη» Άσκηση Το παράπλευρο σχήμα περιγράφει την εξελικτική πορεία ενός αστέρα. (α) Ποια είναι η τελευταία, χρονικά, θέση του αστέρα; (β) Σε ποια θέση ο αστέρας απομακρύνεται από την κύρια ακολουθία; (γ) Σε ποια θέση σχηματίζεται το πλανητικό νεφέλωμα; (δ) Σε ποια θέση έχει ο αστέρας την ελάχιστη φωτεινότητα; (ε) Ποια είναι η θέση της ελάχιστης επιφανειακής θερμοκρασίας; Απάντηση (α) Η θέση 5 (μεμονωμένος λευκός νάνος). (β) Η θέσεις 1→2 (έχει εξαντληθεί τα υδρογόνο στον πυρήνα του και οδεύει προς την περιοχή των γιγάντων). (γ) Η θέση 4 →5 (ο αστέρας έχει διέλθει από το στάδιο των γιγάντων, όπου δημιουργήθηκε κέλυφος αερίου λόγω αστρικού ανέμου και στον πυρήνα του έχουν εξαντληθεί τα πυρηνικά καύσιμα. Ο πυρήνας αποτελείται από εκφυλισμένη ύλη: λευκός νάνος) (δ) Η θέση 5 (ο λευκός νάνος έχει πολύ μικρή επιφάνεια, έτσι, παρά τη μεγάλη θερμοκρασία του έχει πολύ μικρή φωτεινότητα. (ε) Η θέση 3 (οι ερυθροί γίγαντες έχουν τη μικρότερη ενεργό θερμοκρασία).

9. Κεφάλαιο «Ήλιος» Άσκηση Υπολογίστε πόσο θα έχει αυξηθεί μετά από 100 χρόνια η ακτίνα της τροχιάς της Γης εξ αιτίας της ελάττωσης της μάζας του Ήλιου κατά τη θερμοπυρηνική σύντηξη του υδρογόνου στο κέντρο του. Υποθέστε ότι η τροχιά της Γης διατηρείται κυκλική. Απάντηση Η ελάττωση της μάζας του Ήλιου παράγει ενέργεια σύμφωνα με την εξίσωση του Einstein: Σύμφωνα με το 2ο νόμο του Νεύτωνα: (1) όπου υ και r είναι η τροχιακή ταχύτητα και ακτίνα της περιφορά της Γης γύρω από τον Ήλιο. Η στροφορμή, l, της Γης (μάζας m) δίνεται από τη σχέση: (2) Από τις εξισώσεις (1) και (2) έχουμε: ή . Και τελικά: Δr = –3.21×1010×100×86400×365.24 ή Δr = –1.01 m (στα 100 χρόνια)

10. Κεφάλαιο «Τελικές καταστάσεις» Άσκηση Υπολογίστε τη μέση πυκνότητα μιας μελανής οπής μάζας 1×108 M η οποία βρίσκεται στο κέντρο ενός γαλαξία. Θεωρείστε ότι ο σφαιρικός όγκος που καταλαμβάνει έχει ακτίνα ίση με την ακτίνα Schwarzschild αυτής. Απάντηση Η ακτίνα Schwarzschild δίνεται από τη σχέση: . Επομένως η πυκνότητά της δίνεται από: ή ή ρ = 2×103 kg/m3.

11. Κεφάλαιο «Γαλαξίες» Άσκηση Στον quasar 3C273 παρατηρήθηκαν φασματικές γραμμές στα εξής μήκη κύματος: 2212 Å, 3240 Å, 3967 Å και 4316 Å. Από εργαστηριακές μετρήσεις γνωρίζουμε τις εξής γραμμές: άνθρακα 1910 Å, μαγνησίου 2798 Å, νέου 3426 Å και οξυγόνου 3727 Å. (α) Γνωρίζοντας, ότι η φασματική μετάθεση δεν μεταβάλλει τη σχετική θέση δύο γραμμών, είναι δυνατό τα παραπάνω στοιχεία να βρίσκονται σ’ αυτόν τον quasar και γιατί; (β) Αν ναι, τότε ποια είναι η απόσταση του quasar 3C273; (Θεωρήστε ότι H0 = 73 km/sec/Mpc) Απάντηση (α) Αν οι παρατηρούμενες φασματικές γραμμές ανήκουν στα προαναφερθέντα στοιχεία και έχουν μετατεθεί προς το ερυθρό λόγω της διαστολής του Σύμπαντος, θα πρέπει η φασματική μετάθεση, z = (λ-λο)/λο = Δλ/λ, και των τεσσάρων γραμμών να είναι ίδια. Πράγματι, οι υπολογισμοί δίνουν και για τις τέσσερις: z = 0.158. Άρα η απάντηση είναι ότι και τα τέσσερα αυτά στοιχεία υπάρχουν στον quasar. (β) Από τη σχέση z = v/c βρίσκω για τον quasar v = zc = 0.158×3 × 105 km/sec = 4.74 × 104 km/sec. Από τη σχέση του Hubble, v = Hor, βρίσκω ότι r = v/Ho = 47 400/73 = 649 Mpc.

12. Κεφάλαιο «Γαλαξίες» Άσκηση Η μέγιστη φωτεινότητα ενός υπερκαινοφανή τύπου Ia είναι ίση με 5.8 × 109 L. Παρατηρώντας ένα τέτοιο υπερκαινοφανή σε ένα μακρινό γαλαξία βρέθηκε ότι η λαμπρότητά του είναι 1.6 × 10–7 φορές την λαμπρότητα του γνωστού αστέρα Vega. Η μετατόπιση προς το ερυθρό του μακρινού γαλαξία είναι γνωστή και ίση προς z = 0.03. Υπολογίστε την απόσταση του γαλαξία (σε Μpc). Η απόσταση του Vega είναι 7.76 pc και η φωτεινότητά του είναι 130 L. Απάντηση Η λαμπρότητα του Vega είναι: ενώ του υπερκαινοφανή: Σύμφωνα με την εκφώνηση: FSN = 1.6 × 10−7FV . Επομένως ή ή ή dSN = 130 Μpc.