Χρονικά μεταβαλλόμενες κυματομορφές 09. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ Χρονικά μεταβαλλόμενες κυματομορφές 09.2

ΣΤΟΧΟΙ Σ’ αυτό το μάθημα θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε και κατατάσσουμε τις κυματομορφές σε συνεχείς και χρονικά μεταβαλλόμενες κυματομορφές, να μπορούμε να κατατάσσουμε τις χρονικά μεταβαλλόμενες κυματομορφές σε περιοδικές και μη, και να κατανοούμε ότι η ημιτονοειδής κυματομορφή είναι μια μεταβαλλόμενη περιοδική κυματομορφή την οποία ονομάζει εναλλασσόμενη.

Κυκλική συχνότητα Για να εκφράσουμε τη γωνία φ σε συνάρτηση με το χρόνο, πρέπει να μετατρέψουμε τις μοίρες σε ακτίνια. Το ακτίνιο, που συμβολίζουμε με το rad, όπως βλέπουμε στο πιο κάτω σχήμα, είναι η γωνία, που περικλείει, ανάμεσα στα άκρα των πλευρών της, τόξο κύκλου ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Ως γνωστό μια περιφέρεια κύκλου αντιστοιχεί με 2π ακτίνια. Άρα ένα ακτίνιο είναι ίσο με 3600/2π=57,2950

e=Emσυνφ=Εmσυνωt=Emσυν2πt Όταν η γεννήτρια περιστρέφεται με σταθερή ταχύτητα, σε μια πλήρη περιοδική μεταβολή της η.ε.δ., η γωνία φ μεταβάλλεται κατά π ακτίνια. Άρα η γωνιακή ταχύτητα ω με την οποία περιστρέφεται η μηχανή είναι: ω=2π/Τ rad/s Η δε γωνία περιστροφής σε συνάρτηση με το χρόνο t είναι: rad Συνεπώς, τη σχέση e=Emσυνφ μπορούμε να τη γράψουμε ως εξής, σε συνάρτηση με το χρόνο: e=Emσυνφ=Εmσυνωt=Emσυν2πt Η γωνιακή ταχύτητα ω, που μελετήσαμε πιο πάνω ονομάζεται στην ηλεκτρολογία κυκλική συχνότητα και μετριέται σε rad/s (ακτίνια ανά δευτερόλεπτο)

Εναλλασσόμενο ρεύμα και χαρακτηριστικά του μεγέθη Ονομάζεται εναλλασσόμενο το ρεύμα του οποίου η φορά και η τιμή (ένταση) μεταβάλλονται περιοδικά με το χρόνο. Αν η ένταση του ρεύματος είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου, τότε έχουμε το ημιτονοειδές εναλλασσόμενο ρεύμα, το οποίο δίνεται από τη σχέση i=I0·ημφ = Ι0·ημωt = Ι0·ημ2πft = Ι0·ημ 2πt/T (9.1) όπου i : στιγμιαία ένταση, δηλαδή η ένταση του ρεύματος σε ορισμένη χρονική στιγμή t. Io : πλάτος, δηλαδή η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος. T : περίοδος, δηλαδή ο χρόνος που χρειάζεται για μια ολόκληρη μεταβολή της έντασης του ρεύματος. f : συχνότητα, δηλαδή ο αριθμός των πλήρων μεταβολών της έντασης του ρεύματος στη μονάδα του χρόνου (μονάδα συχνότητας το Ηz). ω=2πf : κυκλική συχνότητα (μονάδα κυκλικής συχνότητας το rad/s). φ=ωt : στιγμιαία φάση, δηλαδή η γωνία σε ορισμένη χρονική στιγμή t. Η γραφική παράσταση του εναλλασσόμενου ρεύματος φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα Παρατηρήσεις Στη συνέχεια το ημιτονοειδές εναλλασσόμενο ρεύμα θα αναφέρεται απλά ως εναλλασσόμενο ρεύμα. Αν τη χρονική στιγμή t =0 η φάση είναι φ0 τότε η μορφή του ρεύματος είναι i = Ι0ημ(ωt + φ0). Ημιτονοειδές εναλλασσόμενο ρεύμα

v = V0 · ημφ = V0 · ημωt = V0· ημ2πft= V0 ·ημ t 2π/Τ (9.2) Εναλλασσόμενη τάση και χαρακτηριστικά της μεγέθη Ονομάζεται εναλλασσόμενη τάση η τάση της οποίας η πολικότητα και η τιμή της μεταβάλλονται περιοδικά με το χρόνο. Αν η τάση είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου, τότε έχουμε την ημιτονοειδή εναλλασσόμενη τάση, η οποία δίνεται από τη σχέση v = V0 · ημφ = V0 · ημωt = V0· ημ2πft= V0 ·ημ t 2π/Τ (9.2) όπου v : στιγμιαία τάση, δηλαδή η τάση σε ορισμένη χρονική στιγμή t. V0 : πλάτος, δηλαδή η μέγιστη τιμή της τάσης. T : περίοδος, δηλαδή ο χρόνος που χρειάζεται για μια ολόκληρη μεταβολή της τάσης, f : συχνότητα, δηλαδή ο αριθμός των πλήρων μεταβολών της τάσης στη μονάδα του χρόνου (μονάδα συχνότητας το Ηz). ω=2πf : κυκλική συχνότητα (μονάδα κυκλικής συχνότητας το rad/s). φ=ωt : στιγμιαία φάση, δηλαδή η γωνία σε ορισμένη χρονική στιγμή t. Η γραφική παράσταση της εναλλασσόμενης τάσης φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα Παρατηρήσεις Στη συνέχεια η ημιτονοειδής εναλλασσόμενη τάση θα αναφέρεται απλά ως εναλλασσόμενη τάση. Αν τη χρονική στιγμή t =0 η φάση είναι φ0 τότε η μορφή της εναλλασσόμενης τάσης είναι ν = V0ημ(ωt + φ0). Ημιτονοειδής εναλλασσόμενη τάση

Παραγωγή εναλλασσόμενου ρεύματος - εναλλασσόμενης τάσης Έστω ότι μέσα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο (μαγνητικής επαγωγής Β) βρίσκεται ένα πλαίσιο με η σπείρες, το οποίο μπορεί να περιστραφεί με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Κατά την περιστροφή του πλαισίου μεταβάλλεται η μαγνητική ροή που το διαρρέει με αποτέλεσμα να δημιουργείται στα άκρα του επαγωγική ΗΕΔ. Η ροή που περνά από το πλαίσιο είναι: Φ = Β · S · συνφ (9.3) όπου φ : η γωνία μεταξύ των δυναμικών γραμμών και της κάθετης ευθείας στο πλαίσιο.

η σχέση (9.3) παίρνει τη μορφή Επειδή φ = ωt και S = α · b η σχέση (9.3) παίρνει τη μορφή Φ = Β · α · b · συνωt (9.4) Με εφαρμογή του νόμου του Faraday αποδεικνύεται ότι, η αναπτυσσόμενη ΗΕΔ είναι: Αλλά (9.5) Αν το πλαίσιο συνδεθεί με μια αντίσταση, ώστε να σχηματίζεται κλειστό κύκλωμα, τότε η στιγμιαία τιμή της έντασης του ρεύματος είναι: (9·6) αλλά Ανάλογα η στιγμιαία τιμή της τάσης στα άκρα της αντίστασης είναι: αλλά αλλά από τον τύπο (9.6) (9.7)

Ενεργός ένταση και ενεργός τάση Στο εναλλασσόμενο ρεύμα, η τάση και η ένταση μεταβάλλονται με το χρόνο, γι' αυτό δεν μπορούμε να χαρακτηρίσουμε ένα ρεύμα ούτε από τη στιγμιαία τιμή του αλλά ούτε από τη μέγιστη τιμή. Έτσι, είμαστε υποχρεωμένοι να χρησιμοποιήσουμε την έννοια της ενεργού τιμής. Ταυτόχρονο το θερμικό αποτέλεσμα του ρεύματος εξαρτάται, από το τετράγωνο της έντασης του ρεύματος (Ρ=Ι2·R)και κατά συνέπεια είναι ανεξάρτητο από τη φορά του. Αυτό σημαίνει ότι και τα εναλλασσόμενα ρεύματα θερμαίνουν τους αγωγούς. Με βάση τα παραπάνω, υπήρξε η ανάγκη επιλογής μιας ονομαστικής τιμής που θα επέτρεπε τη σύγκριση με άλλες τιμές, με μια τιμή συνεχούς ρεύματος. Ενεργός ένταση ενός εναλλασσόμενου ρεύματος ονομάζεται η σταθερή ένταση που πρέπει να έχει συνεχές ρεύμα, το οποίο, όταν περνά από την ίδια αντίσταση, αποδίδει στον ίδιο χρόνο το αυτό ποσό θερμότητας με το εναλλασσόμενο. Αποδεικνύεται ότι η ενεργός ένταση δίνεται από τη σχέση: (9.8) Ενεργός τάση ενός εναλλασσομένου ρεύματος ονομάζεται η συνεχής τάση, η οποία, όταν εφαρμόζεται στα άκρα του ίδιου αγωγού, δίνει ρεύμα με ένταση ίση με την ενεργό ένταση του Ε.Ρ. Αποδεικνύεται ότι η ενεργός τάση δίνεται από τη σχέση: (9.9)

Διανυσματική παράσταση εναλλασσόμενων μεγεθών Ένα εναλλασσόμενο μέγεθος μπορεί να παρασταθεί στο επίπεδο χ0y με ένα διάνυσμα, υπό τις παρακάτω προϋποθέσεις. α) Ο άξονας των τετμημένων αποτελεί την αρχή των φάσεων και λαμβάνεται ως αφετηρία μέτρησης των φασικών γωνιών. Κατά την αριστερή φορά οι γωνίες θεωρούνται θετικές, ενώ κατά την αντίθετη αρνητικές. β) Ο άξονας των τεταγμένων αποτελεί τον άξονα των προβολών ή των στιγμιαίων τιμών, γ) Κάθε μέγεθος παριστάνεται στο επίπεδο Χ0Υ σαν διάνυσμα, άσχετα από το αν είναι ή δεν είναι διάνυσμα, δ) Το μήκος του διανύσματος σε κάποια κλίμακα (μονάδα μέτρησης) έχει μέτρο ίσο με το πλάτος του εναλλασσόμενου μεγέθους, ε) Η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με το θετικό πραγματικό άξονα είναι ίση με την αρχική φάση φ0 του εναλλασσόμενου μεγέθους. Με άλλα λόγια, ένα εναλλασσόμενο μέγεθος, π.χ. α(t) = Α0·ημ(ωt+φ0), παριστάνεται με ένα διάνυσμα που έχει μέτρο ίσο με το πλάτος Α0 , και σχηματίζει με το θετικό άξονα Χ γωνία φ0. Το διάνυσμα αυτό περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, ίση με την κυκλική συχνότητα του μεγέθους. Η γωνία φ που σχηματίζει το διάνυσμα με το θετικό άξονα των Χ αυξάνεται συνεχώς και ύστερα από χρόνο t γίνεται φ = ωt + φ0. Η στιγμιαία τιμή του είναι α(t)=Α0·ημ(ωt+φ0 ). Δηλαδή, οι προβολές του διανύσματος στο φανταστικό άξονα δίνουν τις στιγμιαίες τιμές του εναλλασσόμενου μεγέθους. Όλα αυτά φαίνονται στο σχήμα δίπλα. Διανυσματική παράσταση εναλλασσόμενου μεγέθους

Διανυσματική παράσταση εναλλασσόμενου μεγέθους

Πλεονεκτήματα του Ε.Ρ. έναντι του Σ.Ρ. Το Ε.Ρ. παρουσιάζει αρκετά πλεονεκτήματα έναντι του Σ.Ρ. και γι' αυτό η χρήση του είναι ευρεία. Τα κυριότερα πλεονεκτήματα του είναι: α) Το Ε.Ρ. μετασχηματίζεται, δηλαδή αυξάνεται και ελαττώνεται η τάση ή το ρεύμα χωρίς να αλλάζει η ισχύς του. β) Εξαιτίας του μετασχηματισμού μεταφέρεται σε μεγάλες αποστάσεις με μικρό σχετικά κόστος κατασκευής της γραμμής και λίγες απώλειες. γ) Εξαιτίας της εύκολης μεταφοράς, το Ε.Ρ. παράγεται εκεί που υπάρχει φτηνή πρώτη ενέργεια. δ) Μπορεί με κατάλληλη ανορθωτική διάταξη να χρησιμοποιηθεί και εκεί που απαιτείται οπωσδήποτε Σ.Ρ., π.χ. ηλεκτρόλυση, φόρτιση συσσωρευτών, ηλεκτρομαγνήτες κ.λ.π. ε) Οι κινητήρες Ε.Ρ. είναι λιγότερο περίπλοκοι από τους αντίστοιχους Σ.Ρ.

09 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 09.α Η στιγμιαία τιμή της έντασης ενός εναλλασσόμενου ρεύματος δίνεται από τη σχέση: Ζητούνται: α) το πλάτος Ι0 β) η ενεργός τιμή Ιεν γ) η κυκλική συχνότητα ω δ) η συχνότητα f ε) η περίοδος Τ (14,14Α ,10Α, 628rad/s,100Ηz, 0,01s) Άσκηση 09.β Ένα κύκλωμα τροφοδοτείται από τάση ν = 220 · ημωt και διαρρέεται από ρεύμα i=2·ημ(ωt - 60°). Ζητούνται: α) η στιγμιαία ένταση του ρεύματος, όταν η τάση παίρνει τη μέγιστη τιμή της β) η στιγμιαία τάση όταν η ένταση του ρεύματος παίρνει τη μέγιστη τιμή της. (1Α, 110V)

Άσκηση 09.γ Ένα εναλλασσόμενο ρεύμα δίνεται από την εξίσωση i=10 ημ942t. Να υπολογιστεί: α) η συχνότητα του β) η περίοδος του γ) το χρονικό διάστημα που απαιτείται, από τη στιγμή t=0, για να φθάσει το ρεύμα τη στιγμιαία τιμή i=6A για πρώτη και για δεύτερη φορά. (f=150ΗZ, Τ=6,67ms, t=0,68ms, t=7,35ms) Άσκηση 09.δ Πηνίο είναι περιτυλιγμένο πάνω σε τετράγωνο πλαίσιο μήκους πλευράς 60mm και φέρει 400 σπείρες. Αν το πηνίο περιστρέφεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, πυκνότητας μαγνητικής ροής Β=0,7Τ, με σταθερή ταχύτητα 1500 στροφές/λεπτό, να γράψετε την εξίσωση που δίνει τη στιγμιαία τιμή της η.ε.δ. που παράγεται στα άκρα του πηνίου. (e=158ημ50πt βολτ)

ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Λύση Άσκησης 09.α α) β) γ) ω=628rad/s δ) ε)

Λύση Άσκησης 09.β ν = 220 · ημωt i=2·ημ(ωt - 60°) α) Η στιγμιαία ένταση του ρεύματος όταν η τάση παίρνει τη μέγιστη τιμή της, μπορεί να υπολογιστεί αφού για να έχουμε μέγιστη τιμή τάσης το ημωt=1 Έπεται ωt=ημ-11 ωt=900 Αφού το ωt=900 το i=2 ημ(900-600)=2 ημ 300= 2 0,5=1A β) Η στιγμιαία τάση όταν η ένταση του ρεύματος παίρνει τη μέγιστη τιμή της, μπορεί να υπολογιστεί αφού για να έχουμε μέγιστη τιμή έντασης το ημ(ωt-600)=1 Έπεται ωt-600=ημ-11 ωt-600=900 ωt=900+600=1500 Αφού το ωt=1500 το v=220 ημ1500=220 0,5= 110V

Λύση Άσκησης 09.γ α) Επειδή η γενική εξίσωση του ε.ρ. είναι i=Imημθ αλλά θ=ωt το i=Imημωt αντιστοιχίζοντας τα μέρη της εξίσωσης ω=942 rad/s αλλά ω=2πf έπεται f=ω/2π άρα f=942/2π=150ΗZ β) Περίοδος Τ=1/f=1/150=6,67ms γ) Για να βρούμε το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να φθάσει το ρεύμα από την τιμή 0 στην τιμή 6A χρησιμοποιούμε την εξίσωση Οι 36,870 μπορούν να μετατραπούν σε ακτίνια αν διαιρεθούν με 57,320 που έχει ένα ακτίνιο. Έπεται 942t=36,870/57,320 =0,643 rad t= 0,643/942=0,68ms Άρα το ρεύμα, μετά χρόνο 0,68ms θα φθάσει για πρώτη φορά την τιμή των 6Α. Βέβαια θα την ξαναφθάσει μετά μια περίοδο, δηλαδή σε χρόνο t=T+0,68=6,67+0,68=7,35ms

Λύση 09.δ Σύμφωνα με τον τύπο e=Emημ 2πft Αλλά Εm=2ΝBlv Ν είναι ο αριθμός των σπειρών του πλαισίου Για να υπολογίσουμε τώρα την περιφερειακή ταχύτητα v των αγωγών του πλαισίου κάμνουμε τα πιο κάτω βήματα: Το μήκος περιφέρειας κύκλου που διανύει κάθε αγωγός ισούται με πD=π 60 10-3 m Το μήκος διαδρομής κάθε αγωγού σε χρόνο 1 λεπτό ΠDη=π 60 10-3 1500 m Το μήκος διαδρομής κάθε αγωγού σε ένα δευτερόλεπτο που αντιστοιχεί με την περιφερειακή ταχύτητα v είναι συνεπώς Εm=2Χ0,7Χ60Χ10-3Χ4,71Χ400=158V Επειδή στην περίπτωση αυτή η η.ε.δ. στο πηνίο υφίσταται μια πλήρη ημιτονική μεταβολή, όταν το πλαίσιο συμπληρώνει μια πλήρη περιστροφή, η συχνότητα f ισούται: Η εξίσωση, λοιπόν της η.ε.δ. από επαγωγή είναι e=Emημ2πft=158ημ50πt βολτ

Χρονικά μεταβαλλόμενες ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ E = B L v Χρονικά μεταβαλλόμενες κυματομορφές