Εργασία στα Μαθηματικά (5ο εξάμηνο) Επιμέλεια: Δόμβρη Καλλιόπη Α.Ε.Μ: 4263 Α.Ε.Μ: 4263

Μοντέλα διάδοσης επιδημιών (SIR models)

Ορισμός επιδημίας Ορισμός επιδημίας Η εξάπλωση αρρώστιας σε μια περιοχή σε σύντομο χρόνο Η εξάπλωση αρρώστιας σε μια περιοχή σε σύντομο χρόνο Αυτό που κάνει μια επιδημία Αυτό που κάνει μια επιδημία Οι επιδημίες είναι ξεσπάσματα μολυσματικών ή μεταδοτικών ασθενειών που έχουν επιπτώσεις σε μερικά μέλη ενός πληθυσμού που ζουν σε ιδιαίτερες θέσεις σε συγκεκριμένους χρόνους Οι επιδημίες είναι ξεσπάσματα μολυσματικών ή μεταδοτικών ασθενειών που έχουν επιπτώσεις σε μερικά μέλη ενός πληθυσμού που ζουν σε ιδιαίτερες θέσεις σε συγκεκριμένους χρόνους

Είναι απαραίτητο να εξετάσουμε τις επιδημίες όπως εμφανίστηκαν στην ιστορία γιατί: 1. Είχαν σημαντικές επιρροές στα υψηλά επίπεδα θνησιμότητας στο παρελθόν 2. Οι ιστορικές επιδημίες επιτρέπουν στους επιστήμονες να μελετήσουν την πλήρη επιδημική ακολουθία 3. Οι μελέτες των καλά τεκμηριωμένων επιδημιών που εμφανίστηκαν στην Ευρώπη στο παρελθόν μπορούν να μας βοηθήσουν να καταλάβουμε τη συμπεριφορά εκείνων των μολυσματικών ασθενειών που είναι ακόμα ενεργές στις λιγότερο αναπτυγμένες χώρες σήμερα. (Δυστυχώς όχι για HIV)

Οι επιδημίες στην ιστορία Η πανούκλα τον 14ο αιώνα στην Ευρώπη σκότωσε 25 εκατομμύρια Η πανούκλα τον 14ο αιώνα στην Ευρώπη σκότωσε 25 εκατομμύρια Οι Αζτέκοι έχασαν το μισό τους πληθυσμό (από 3,5 εκατομμύρια που ήταν) από την ευλογιά Οι Αζτέκοι έχασαν το μισό τους πληθυσμό (από 3,5 εκατομμύρια που ήταν) από την ευλογιά 20 εκατομμύρια άνθρωποι πέθαναν από τον ιό της γρίπης το εκατομμύρια άνθρωποι πέθαναν από τον ιό της γρίπης το 1919

Aυτή τη στιγμή 1 εκατομμύριο θάνατοι ετησίως λόγω της ελονοσίας 1 εκατομμύριο θάνατοι ετησίως λόγω της ελονοσίας 1 εκατομμύριο θάνατοι ετησίως λόγω της ιλαράς 1 εκατομμύριο θάνατοι ετησίως λόγω της ιλαράς 2 εκατομμύρια θάνατοι ετησίως λόγω της φυματίωσης 2 εκατομμύρια θάνατοι ετησίως λόγω της φυματίωσης 3 εκατομμύρια θάνατοι ετησίως λόγω HIV 3 εκατομμύρια θάνατοι ετησίως λόγω HIV Είναι λοιπόν δισεκατομμύρια που έχουν μολυνθεί με όλες αυτές τις ασθένειες Είναι λοιπόν δισεκατομμύρια που έχουν μολυνθεί με όλες αυτές τις ασθένειες

Ποια είδη ασθενειών μπορούν να προκαλέσουν επιδημίες; Οι πιο γνωστές επιδημικές ασθένειες διαδίδονται από την άμεση επαφή μεταξύ μολυσμένου και μη που είναι τα ευπαθή πρόσωπα. Οι πιο γνωστές επιδημικές ασθένειες διαδίδονται από την άμεση επαφή μεταξύ μολυσμένου και μη που είναι τα ευπαθή πρόσωπα. π.χ. ιλαρά, ευλογιά, γρίπη, φυματίωση, πολιομυελίτιδα, VIH/AIDS, και σεξουαλικά μεταδιδόμενες μολύνσεις (STIs) όπως η σύφιλη. π.χ. ιλαρά, ευλογιά, γρίπη, φυματίωση, πολιομυελίτιδα, VIH/AIDS, και σεξουαλικά μεταδιδόμενες μολύνσεις (STIs) όπως η σύφιλη. Μια σημαντική δεύτερη κατηγορία επιδημικών ασθενειών είναι αυτές που διαβιβάζονται στους ανθρώπους από έντομα. Μια σημαντική δεύτερη κατηγορία επιδημικών ασθενειών είναι αυτές που διαβιβάζονται στους ανθρώπους από έντομα. Μερικά παραδείγματα (και οι μεταφορείς τους): Βουβωνική πανούκλα (ψύλλος), ελονοσία (κουνούπι), τύφος (ψείρα σωμάτων) και κίτρινος πυρετός (κουνούπι). Μερικά παραδείγματα (και οι μεταφορείς τους): Βουβωνική πανούκλα (ψύλλος), ελονοσία (κουνούπι), τύφος (ψείρα σωμάτων) και κίτρινος πυρετός (κουνούπι). Μια τρίτη ομάδα περιλαμβάνει εκείνες τις επιδημικές ασθένειες που επικοινωνούν από το νερό- ή από τροφικά παθογόνα (βακτηρίδια, ιούς ή άλλους μικροοργανισμοί), π.χ. χολέρα, τυφοειδής και δυσεντερία. Μια τρίτη ομάδα περιλαμβάνει εκείνες τις επιδημικές ασθένειες που επικοινωνούν από το νερό- ή από τροφικά παθογόνα (βακτηρίδια, ιούς ή άλλους μικροοργανισμοί), π.χ. χολέρα, τυφοειδής και δυσεντερία.

Μπορούν όλες οι ασθένειες να προκαλέσουν μια επιδημία; Όχι, δεν είναι όλες οι ασθένειες σε θέση να προκαλέσουν επιδημίες. Οι διάφορες μορφές καρκίνου και καρδιακών παθήσεων επηρεάζονται από τη γενετική προδιάθεση και τον τρόπου ζωής (κάπνισμα, άσκηση, διατροφή). Η σημαντική διαφορά είναι ότι δεν μπορούν να επικοινωνήσουν από πρόσωπο με πρόσωπο. Αυτές είναι οι ενδημικές ασθένειες και βρίσκονται τακτικά σε έναν πληθυσμό. Όχι, δεν είναι όλες οι ασθένειες σε θέση να προκαλέσουν επιδημίες. Οι διάφορες μορφές καρκίνου και καρδιακών παθήσεων επηρεάζονται από τη γενετική προδιάθεση και τον τρόπου ζωής (κάπνισμα, άσκηση, διατροφή). Η σημαντική διαφορά είναι ότι δεν μπορούν να επικοινωνήσουν από πρόσωπο με πρόσωπο. Αυτές είναι οι ενδημικές ασθένειες και βρίσκονται τακτικά σε έναν πληθυσμό.

Ιστορία της επιδημιολογίας Hippocrates On the Epidemics (circa 400 π.Χ.) Hippocrates On the Epidemics (circa 400 π.Χ.) John Graunt's Natural and Political Observations madethe Bills of Mortality (1662) John Graunt's Natural and Political Observations madethe Bills of Mortality (1662) Louis Pasteur και Robert Koch (μέσα 1800's) Louis Pasteur και Robert Koch (μέσα 1800's) Ιστορία της μαθηματικής επιδημιολογίας Ο Daniel Bernoulli έδειξε εκείνο τον εμβολιασμό ενάντια της ευλογιάς και αύξησε την υπολογιζόμενη διάρκεια ζωής των Γάλλων (1760) Ο Daniel Bernoulli έδειξε εκείνο τον εμβολιασμό ενάντια της ευλογιάς και αύξησε την υπολογιζόμενη διάρκεια ζωής των Γάλλων (1760) Απλό επιδημικό μοντέλο του Ross (1911) Απλό επιδημικό μοντέλο του Ross (1911) Και το γενικό επιδημικό μοντέλο Kermack McKendrick's (1927) Και το γενικό επιδημικό μοντέλο Kermack McKendrick's (1927)

Τι είναι το SIR model; Τι είναι το SIR model; Το SIR model είναι ένα επιδημιολογικό μοντέλο που υπολογίζει το θεωρητικό αριθμό ανθρώπων που μολύνονται με μια μεταδοτική ασθένεια σε έναν κλειστό πληθυσμό κατά τη διάρκεια του χρόνου. Το SIR model είναι ένα επιδημιολογικό μοντέλο που υπολογίζει το θεωρητικό αριθμό ανθρώπων που μολύνονται με μια μεταδοτική ασθένεια σε έναν κλειστό πληθυσμό κατά τη διάρκεια του χρόνου. Γιατί θέλουμε να μελετήσουμε τα SIR model; Γιατί θέλουμε να μελετήσουμε τα SIR model; Mελετάμε τα SIR models για να καταλάβουμε καλύτερα την εξάπλωση των επιδημιών στους πληθυσμούς Mελετάμε τα SIR models για να καταλάβουμε καλύτερα την εξάπλωση των επιδημιών στους πληθυσμούς

Ένα από τα απλούστερα SIR models είναι το Kermack-McKendrick Model Το μοντέλο Kermack- McKendrick είναι ένα SIR model για τον αριθμό ανθρώπων που μολύνονται με μια μεταδοτική ασθένεια σε έναν κλειστό πληθυσμό κατά τη διάρκεια του χρόνου. Το μοντέλο Kermack- McKendrick είναι ένα SIR model για τον αριθμό ανθρώπων που μολύνονται με μια μεταδοτική ασθένεια σε έναν κλειστό πληθυσμό κατά τη διάρκεια του χρόνου. Προτάθηκε για να εξηγηθεί η γρήγορη άνοδος και κάθοδος στον αριθμό μολυσμένων ασθενειών που παρατηρήθηκε στις επιδημίες όπως η πανούκλα (Λονδίνο , Βομβάη 1906) και η χολέρα (Λονδίνο 1865). Προτάθηκε για να εξηγηθεί η γρήγορη άνοδος και κάθοδος στον αριθμό μολυσμένων ασθενειών που παρατηρήθηκε στις επιδημίες όπως η πανούκλα (Λονδίνο , Βομβάη 1906) και η χολέρα (Λονδίνο 1865).

SIR model Διαιρούμε τον πληθυσμό σε τρεις ομάδες: Διαιρούμε τον πληθυσμό σε τρεις ομάδες: -Ευπαθή άτομα S (t) -Ευπαθή άτομα S (t) -Μολυσμένα άτομα I (t) -Μολυσμένα άτομα I (t) -Ανακτημένα άτομα R (t) -Ανακτημένα άτομα R (t) S β I S I α Ι R

Υποθέσεις Υποθέσεις 1. Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μεγάλο και σταθερό S (t)+ I (t)+ R (t) S (t)+ I (t)+ R (t) 2. Καμία γέννηση, θάνατο, μετανάστευση ή αποδημία 3. Καμία λανθάνουσα περίοδος, ενώ η περίοδος επώασης του μολυσματικού πράκτορα είναι στιγμιαία 4. Η διάρκεια της μολυσματικότητας είναι ίδια με το μήκος της ασθένειας της ασθένειας 5. Υποθέτει επίσης έναν απολύτως ομοιογενή πληθυσμό χωρίς ηλικία, χώρο και κοινωνική δομή 6. Το ποσοστό μόλυνσης είναι ανάλογο με τον αριθμό των μολυσμένων π.χ. λ=rβΙ 7. Το ποσοστό αποκατάστασης είναι σταθερό

Ένα σύστημα τριών διαφορικών εξισώσεων περιγράφει αυτό το μοντέλο: Ένα σύστημα τριών διαφορικών εξισώσεων περιγράφει αυτό το μοντέλο: ή Όπου β είναι το ποσοστό μόλυνσης και α το ποσοστό αποκατάστασης και r μία σταθερά

Η βασική αξία που κυβερνά τη χρονική εξέλιξη αυτών των εξισώσεων είναι το αποκαλούμενο επιδημιολογικό κατώτατο όριο Η βασική αξία που κυβερνά τη χρονική εξέλιξη αυτών των εξισώσεων είναι το αποκαλούμενο επιδημιολογικό κατώτατο όριο R 0 = βSαβSα R 0 oρίζεται ως ο αριθμός δευτεροβάθμιων μολύνσεων προκαλούμενος από ένα μεμονωμένο μολυσμένο άτομο που εισάγεται σε έναν πληθυσμό που αποτελείται από ευπαθείς μόνο. Είναι πιθανώς η σημαντικότερη ενιαία ποσότητα στην επιδημιολογία.

Όταν R 0 < 1, κάθε πρόσωπο που συμβάλλεται από την ασθένεια θα μολύνει λιγότερους από ένα άτομο πριν πεθάνει ή ανακτήσει, έτσι το ξέσπασμα της επιδημίας θα εξαντληθεί σταδιακά (dI/dt < 0).

Όταν R 0 > 1, κάθε πρόσωπο που παίρνει την ασθένεια θα μολύνει περισσότερα από ένα πρόσωπα, έτσι η επιδημία θα εξαπλωθεί (dI/dt > 0).

Συμπέρασμα Με δεδομένο ότι οι επιδημίες είναι ένα σημαντικό πρόβλημα υγείας συνειδητοποιούμε ότι τα SIR models μπορούν να βοηθήσουν να καταλάβουμε καλύτερα την εξάπλωση των μολυσματικών ασθενειών και να εξετάσουμε παράλληλα και στρατηγικές ελέγχου ώστε μελλοντικά να μπορέσουμε να αποτρέψουμε την ευρεία εξάπλωση. Με δεδομένο ότι οι επιδημίες είναι ένα σημαντικό πρόβλημα υγείας συνειδητοποιούμε ότι τα SIR models μπορούν να βοηθήσουν να καταλάβουμε καλύτερα την εξάπλωση των μολυσματικών ασθενειών και να εξετάσουμε παράλληλα και στρατηγικές ελέγχου ώστε μελλοντικά να μπορέσουμε να αποτρέψουμε την ευρεία εξάπλωση.