Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Το Πρόβλημα Ένα από τα χαρακτηριστικά προβλήματα του μηχανικού μπορεί να τεθεί συνοπτικά ως εξής: Δεδομένου ενός συνόλου μετρήσεων σε ορισμένα σημεία του χώρου, να προσδιοριστούν οι τιμές στα ενδιάμεσα σημεία, όπου δεν υπάρχουν μετρήσεις. Το πρόβλημα αυτό ονομάζεται πρόβλημα παρεμβολής.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Η παλινδρόμηση Από την αριθμητική ανάλυση μπορεί να θυμηθεί κανείς την βασική μέθοδο παρεμβολής με παλινδρόμηση. Σύμφωνα με την μέθοδο αυτή, επιλέγουμε από πριν την μορφή της εξίσωσης που θα προσαρμόσουμε στα δεδομένα. Στην συνέχεια, η εξίσωση αυτή προσαρμόζεται στα πειραματικά δεδομένα με το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων, την ελαχιστοποίηση δηλαδή της συνολικής απόλυτης διαφοράς εκτιμώμενων και πραγματικών τιμών.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Τα πολυώνυμα Προσαρμογή πολυωνυμικής συνάρτησης σε έξι μετρήσεις υψομέτρου: Το πολυώνυμο 2ου βαθμού περνάει ενδιάμεσα από τα πειραματικά σημεία δημιουργώντας σχετικό σφάλμα. Το πολυώνυμο 6ου βαθμού περνάει ακριβώς επάνω από τις μετρήσεις είναι όμως αυτό ακριβώς που θέλουμε; Μεταξύ των μετρήσεων δημιουργούνται αδικαιολόγητα βουνά και κοιλάδες. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις μεγάλου βαθμού δεν είναι πολύ εύκαμπτες.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Η πράξη Στην γεωπληροφορική γενικά, είναι αυτό ακριβώς το χαρακτηριστικό που κάνει τις πολυωνυμικές συναρτήσεις μη ελκυστικές. Η εργασία γίνεται στον χώρο των τριών διαστάσεων ενώ υπάρχει μεγάλος όγκος δεδομένων, της τάξεως συνήθως των δεκάδων χιλιάδων. Αλλά και αν ακόμη επιθυμούσε κανείς να δοκιμάσει, ο χρόνος επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος με δέκα χιλιάδες αγνώστους παραμένει απαγορευτικός.

Η μέθοδος των πολυγώνων Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Η μέθοδος των πολυγώνων Παράδειγμα απλοϊκότερων μεθόδων που χρησιμοποιήθηκαν στο παρελθόν είναι η μέθοδος των πολυγώνων στην μεταλλευτική. Σύμφωνα με αυτήν, τα δείγματα περιβάλλονται κατάλληλα από πολύγωνα που εφάπτονται μεταξύ τους, έτσι ώστε το κάθε δείγμα να βρίσκεται κατά το δυνατόν στο κέντρο του αντίστοιχου πολυγώνου. Υπάρχουν διάφοροι αλγόριθμοι που οδηγούν σε αντίστοιχο αποτέλεσμα. Στη συνέχεια η τιμή του δείγματος θεωρείται ότι επεκτείνεται σε όλο τον χώρο του πολυγώνου. Στην περίπτωση του τρισδιάστατου χώρου τα πολύγωνα γενικεύονται σε πρίσματα.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Κινητοί μέσοι όροι Ακόμη πιο γενική είναι η μέθοδος των κινητών μέσων όρων. Σε κάθε σημείο δειγματοληψίας η εκτιμώμενη τιμή προκύπτει ως μέσος όρος ενός συνόλου διπλανών τιμών. Οι ενδιάμεσες τιμές προκύπτουν ενώνοντας τις προηγούμενες με ευθείες. Και εδώ όμως οι εκτιμήσεις στα σημεία δειγματοληψίας δεν ταυτίζονται με τις μετρήσεις.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Αντίστροφα Τετράγωνα Μία μέθοδος που είχε επικρατήσει στο πρόσφατο παρελθόν είναι αυτή του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης. Κατά την μέθοδο αυτή η εκτίμηση σε κάποιο σημείο προκύπτει ως ζυγισμένος μέσος όρος των παρακείμενων δειγματικών τιμών. Ο συντελεστής βαρύτητας για το κάθε δείγμα είναι αντιστρόφως ανάλογος του τετραγώνου της απόστασης του δείγματος από το προς εκτίμηση σημείο.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Τα δεδομένα Δίνονται δύο σημεία s1 και s2 όπου έχουν μετρηθεί οι τιμές X(s1) και X(s2), ενώ στο σημείο s0 ζητείται να προσδιοριστεί η άγνωστη τιμή X(s0). Δίνονται επίσης και οι αποστάσεις d1 και d2 των σημείων μέτρησης από το άγνωστο.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Επίλυση Σύμφωνα με τα ανωτέρω, ο εκτιμητής της άγνωστης τιμής X(s0) στην θέση s0 θα είναι: Χ(s0)=λ1 Χ(s1) + λ2 Χ(s2) Για τον υπολογισμό των λ1 και λ2 διατυπώνεται το σύστημα:

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Είναι το ζητούμενο; Παρεμβολή των υψομέτρωνμε την μέθοδο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης. Η προσαρμογή είναι καλή. Τι συμβαίνει όμως στην περίπτωση αραιής δειγματοληψίας;

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Τι περισσότερο; Τι περισσότερο θα μποούσε να περιμένει κανείς από έναν αλγόριθμο παρεμβολής;

Η πρόταση της γεωστατιστικής Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Η πρόταση της γεωστατιστικής Η γεωτατιστική προτείνει τον υπολογισμό των συντελεστών βαρύτητας των γειτονικών προς το σημείο εκτίμησης δειγμάτων όχι à priori, αλλά με βάση τις χωρικές συσχετίσεις όλων των υπολοίπων δειγμάτων.

Σύγκριση με την πραγματικότητα Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 1) Σύγκριση με την πραγματικότητα Σύγκριση αποτελεσμάτων της μεθόδου του αντιστρόφου τετραγώνου απόστασης με της γεωστατιστικής, σε μεταλλείο χαλκού στην Κύπρο