Κεφάλαιο 7: O Μετασχηματισμός Laplace Νικ. Α. τςολιγκας - χρηςτος μαναςης

Περιγραφή μαθήματος Οι Μετασχηματισμοί Laplace χρησιμοποιούνται για την απλοποίηση της επίλυσης διαφορικών εξισώσεων. Η διαφορική Εξίσωση μετατρέπεται σε μια αλγεβρική εξίσωση μιας μεταβλητής. Οι παράγωγοι εξαλείφονται και αντικαθίστανται με δυνάμεις της νέας μεταβλητής s : Tης μεταβλητής Laplace Τοποθεσία Διαλέξεις – Εργαστήρια Γ2χχ: Δευτέρα -Τέταρτη στις 10:00 πμ

Ορισμοί Εάν f είναι μια συνάρτηση που ορίζεται στο διαστημα t ≥ 0. Τότε το ολοκλήρωμα: Ορίζεται ως ο Μετασχηματισμός Laplace της f. Με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα συγκλίνει. s =  + jw = complex frequency Σημείωση: L[f(t)] : Είναι μια συνάρτηση του s Συνάρτηση t Συνάρτηση s

Ορισμοί Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace: Δεν απαιτείται ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων. Χρήση Πινάκων με το ζευγος μετασχηματισμού Laplace και αντιστρόφου. Σημείωση: L-1[F(s)] : Είναι μια συνάρτηση του s Συνάρτηση s Συνάρτηση t

Πίνακας σ Σημείωση: L[f(t)] : Είναι μια συνάρτηση του t Συνάρτηση t Συνάρτηση s

Πίνακας σ Σημείωση: L[f(t)] : Είναι μια συνάρτηση του t Συνάρτηση t Συνάρτηση s

Παραδείγματα Υπολογισμού: Παραδειγμα1: Με την βοήθεια του Ορισμού Παραδειγμα2: Με την βοήθεια του Ορισμού Παραδειγμα3: Με την βοήθεια του Ορισμού

Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Στη πράξη και εξαιτίας της δυσκολίας υπολογισμού των ολοκληρωμάτων ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace υπολογίζεται με ανάλυση σε μερικά κλάσματα και χρήση γνωστών ζευγών του μετασχηματισμού Laplace. Η F(s) εκφράζεται ως ο λόγος δυο πολυωνύμων P(s) και Q(s) : Όπου α,b είναι πραγματικές σταθερές, ο υψηλότερης έκθετης του παρανομαστή έχει συντελεστή μονάδα, και n>w. Τίτε η συνάρτηση F(s) αναλύεται σε μερικά κλάσματα της μορφής. Οι συντελεστές Α1,Α2,Α3,….. ονομάζονται ‘Residue’ της F(s)και τα αντίστοιχα s1,s2,s3,… ‘poles’

Residue συνάρτηση της MatLab H συνάρτηση Residue της matlab χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των μερικών κλασμάτων και δίνει τρία ανύσματα Διανυσμα r: (Residues) Διανυσμα p: (Poles) Ορος k ( όταν Η ΔΥΝΑΜΗ του Αριθμητή είναι Μικτότερη της Δύναμης του πολυωνύμου του παρονομαστή. Δεν θα υπάρχει τιμή του k ( όταν Η ΔΥΝΑΜΗ του Αριθμητή είναι ιση με τη Δύναμη του πολυωνύμου του παρονομαστή. Θα υπάρχει ένας Όρος του k ( όταν Η ΔΥΝΑΜΗ του Αριθμητη είναι Μεγαλύτερη της Δύναμης του πολυωνύμου του παρονομαστή κατά ένα . Θα υπάρχουν ΔΥΟ Όροι του k Κ.λ.π

Παράδειγμα 1,2 Υπολογισμοί [r p k] = residue([3 -1], [1 -3 2]) 5 -2 p = 2 1 k = [] r = 13 -4 p = 2 1 k = 2

Παράδειγμα 3,4 Υπολογισμοί [r,p,k]=residue([2 3 -1],[1 -5 8 -4]) -2.0000 13.0000 4.0000 p = 2.0000 1.0000 k = [] r = 69 -11 p = 2 1 k = 7 23 Το P έχει δυο ίδια στοιχεία 2.000 αυτό σημαίνει ότι υπάρχει διπλός πόλος. Ένας επαναλαμβανόμενος πόλος με m επαναλήψεις, εμφανίζεται στο matlab m φορές, και αντιστοιχεί σε m όρους κλασμάτων

Παράδειγμα 5 Υπολογισμοί [r p k] = residue([2 3 -1], [1 -3 4 -2]) r = 4.0000 p = 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i 1.0000 k = []

Παράδειγμα 6 Num2 = [ 1 1]); % Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων Υπολογισμοί για γινόμενα πολυώνυμων Num2 = [ 1 1]); % Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων Den2= conv([1 2],[1 1 2.5]) [res pol k] = residue(Num2,Den2)

Ηλεκτρικά στοιχεία στο επίπεδο s R , L Αντιστάσεις

Ηλεκτρικά στοιχεία στο επίπεδο s R , L Πηνία,

Ηλεκτρικά στοιχεία στο επίπεδο s C

Παραδείγματα Δίνεται το κύκλωμα με: L = 2H, C=1.12μF, R =10000Ω και μετά R=100Ω Ζητείται η Συνάρτηση μεταφοράς, Απόκριση συχνότητας Υποδείξεις

Παραδείγματα

Παραδείγματα Υπολογισμός τάσεως V(t). Αρχικό ρεύμα Ιο=1α

Παραδείγματα Αρχικό ρεύμα Ιο=1α

Παραδείγματα Υπολογισμός Ρεύματος Ι(t), και τάσεως v(t) - στο πηνίο

Παραδείγματα

Παραδείγματα Υπολογίσατε τα κυκλικά ρεύματα στο κατωτερω κύκλωμα κύκλωμα:

Παραδείγματα Υπολογίσατε τα κυκλικά ρεύματα στο κατωτερω κύκλωμα κύκλωμα:

Παραδείγματα Με πρι - φορτισμένο πυκνωτή Vc(0-) = 6volt , Υπολογίσατε το ρεύμα του κυκλώματος . Uo(t) είναι βηματικη συνάρτηση Στο κύκλωμα να γράψετε τις εξισώσεις βρόχων και να υπολογισετε την ταση εξοδου– Υποδείξεις.

Παραδείγματα Στο κύκλωμα να υπολογίσετε την τάση εξόδου– Υποδείξεις χρήση Laplace. Στα κύκλωματα να υπολογίσετε τα κυκλικά ρεύματα με χρήση Laplace και πίνακα. Μηδενικές αρχικές τιμές

Παραδείγματα Στο κύκλωμα να υπολογίσετε τον λόγο της τάσεως εξόδου προς την είσοδο– Υποδείξεις χρήση Laplace. Στα κύκλωματα να υπολογίσετε τα κυκλικά ρεύματα με χρήση Laplace και πίνακα. Μηδενικές αρχικές τιμές

Παραδείγματα Στο κύκλωμα να υπολογίσετε τον λόγο της τάσεως εξόδου προς την είσοδο V0(s)/Vi(s) – Υποδείξεις : χρήση Laplace.