Μοντελοποίηση ταυτοτήτων - Παραγοντοποίηση

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα πλακάκια (tiles) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για αναπαράσταση αλγεβρικών εκφράσεων (πολυωνύμων) και πράξεων μεταξύ τους. Υπάρχουν τρεις τύποι : 1. Μεγάλο τετράγωνο με πλευρά x σαν μήκος και πλάτος 2. Ορθογώνιο με πλευρά x και 1 σαν μήκος και πλάτος 3. Μικρό τετράγωνο με πλευρά 1 σαν μήκος και πλάτος 1 1 x 1 x x

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εμβαδόν ενός τετραγώνου = x (x) = x2 Κάθε ένα από τα σχήματα αναπαριστά το εμβαδόν μιας επιφανείας . x Εμβαδόν ενός τετραγώνου = x (x) = x2 x 1 x Εμβαδόν ενός ορθογωνίου = 1 (x) = x 1 1 Εμβαδόν ενός μικρού τετραγώνου = 1 (1) = 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Για να μοντελοποιήσουμε το 2x2, χρειαζόμαστε 2 μεγάλα τετράγωνα x2 x2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Για να μοντελοποιήσουμε το x2 + 3x, χρειαζόμαστε 1 μεγάλο τετράγωνο και 3 ορθογώνια x2 x x x

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Πως θα μπορούσες να μοντελοποιήσεις το 2x2 + x + 4; απάντηση x2 x2 x 1 1 1 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ 2x + 3 Ποια αλγεβρική έκφραση είναι μοντελοποιημένη παρακάτω; απάντηση 2x + 3

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα πλακάκια άλγεβρας για να αναπαραστήσουμε την πρόσθεση την αφαίρεση τον πολλαπλασιασμό και την διαίρεση πολυωνύμων.

3 + 2x + 4 2x + 7 = = + ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Συνδυάστε τα σχήματα

+ = (x + 3) + (2x + 4) = 3x + 7 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΠΡΟΣΘΕΣΗ (x + 3) + (2x + 4) Βρείτε το άθροισμα : (x + 3) + (2x + 4) ΑΠΑΝΤΗΣΗ x x x x x x + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (x + 3) + (2x + 4) = 3x + 7

+ = (x2 + 3) + (2x2 + x +2) = 3x2 + x + 5 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΠΡΟΣΘΕΣΗ Βρείτε το άθροισμα : (x2 + 3) + (2x2 + x + 2) AΠΑΝΤΗΣΗ x2 x2 + x2 x2 = x2 x 1 1 1 x 1 1 1 1 1 x2 1 1 (x2 + 3) + (2x2 + x +2) = 3x2 + x + 5

ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ Αναπαριστούμε κάθε έκφραση με τα σχήματα . Βάζουμε τη δεύτερη έκφραση κάτω από την πρώτη . (5x + 4) – (2x + 3) Τώρα αφαιρέστε τα σχήματα που ταιριάζουν μεσα σε κάθε έκφραση. 5x + 4 x x x x x Η απάντηση είναι η έκφραση που υπάρχει αριστερά 1 1 1 1 x x 2x + 3 1 1 1 (5x + 4) – (2x + 3)= 3x +1

- ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ (8x + 5) – (6x + 1) = 2x + 4 Όμοια μπορούμε να βρούμε την διαφορά (8x + 5) – (6x + 1) ΑΠΑΝΤΗΣΗ 8x + 5 x x x x x x x x 1 1 1 1 1 6x + 1 - x x x x x x 1 (8x + 5) – (6x + 1) = 2x + 4

- ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ Ομοίως (3x2 + 4x + 5) – (x2 + 3x + 4) ΑΠΑΝΤΗΣΗ x2 x2 x2 x x x x 1 1 1 1 1 x2 + 3x + 4 - x2 x x x 1 1 1 1 (3x2 + 4x + 5) – (x2 + 3x + 4) = 2x2 + x + 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Για να πολλαπλασιάσουμε χρησιμοποιώντας αλγεβρικά σχήματα τοποθετούμε τα σχήματα σε μια ορθογώνια σειρά . Π.χ: 2 (x + 3) x + 3 2 x Συμπληρώστε αυτό το διάστημα για να διαμορφώσετε ένα ορθογώνιο. Και το αποτέλεσμα είναι η απάντησή σας 1 1 1 x x 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (x + 3) = 2x + 6

ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Ομοίως x (x + 2) ΑΠΑΝΤΗΣΗ (x + 2) x x 1 1 x x2 x x x (x + 2) = x2 + 2x

ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Ομοίως 2x (x + 3) ΑΠΑΝΤΗΣΗ (x + 3) 2x x 1 1 1 x x2 x x x x x2 x x x 2x (x + 3) = 2x2 + 6x

ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Ομοίως (x+2) (x + 4) AΠΑΝΤΗΣΗ (x + 4) x +2 x 1 1 1 1 x x2 x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (x+2) (x + 4) = x2 + 6x + 8

Αλγεβρικός πολλαπλασιασμός Βρείτε το γινόμενο (x+3) (2x + 1) AΠΑΝΤΗΣΗ (2x + 1) x +3 x x 1 x x2 x2 x x x x x 1 1 x x 1 1 1 1 (x+3) (2x + 1) = 2x2 + 7x + 3

Και η απάντηση είναι ακριβώς τα μισά Αλγεβρική διαίρεση Παράδειγμα: Και η απάντηση είναι ακριβώς τα μισά 2 x x 1 1 1 x x x x 1 1 1 1 4x + 6 1 1 1 1

Αλγεβρική διαίρεση Ομοίως : 3 (9x + 3) x x x 1 x x x x x x 1 1 x x x 1 AΠΑΝΤΗΣΗ 3 x x x 1 (9x + 3) x x x x x x 1 1 x x x 1 1 1 1

Αλγεβρική διαίρεση Ομοίως : 6x2 + 3x 3x 3x (6x2 + 3x) 6x2 + 3x 3x AΠΑNΤΗΣΗ 3x x x 1 (6x2 + 3x) x x2 x2 x x x2 x2 x 6x2 + 3x 3x = 2x + 1 x x2 x2 x

Αλγεβρική διαίρεση Βρείτε το πηλίκο : 2x2 + 6x + 4 x + 2 x+ 2 AΠΑΝΤΗΣΗ x+ 2 x x 1 1 (2x2 + 6x + 4) x x2 x2 x x x x x x 1 1 1 1 1 1 2x2 + 6x + 4 x + 2 = 2x + 2