Θέμα: «Μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς αμιγούς και απλού συναγωνισμού δύο μικροβιακών πληθυσμών σε διάταξη δύο συζευγμένων χημοστατών.» Γάκη Αλεξάνδρα Χημικός Μηχανικός Π.Π. Υπεύθυνος καθηγητής: Σ.Παύλου Παρουσίαση Διατριβής ΜΔΕ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2006

Πρόλογος Χρήση μικτών καλλιεργειών μικροοργανισμών σε πολλές βιομηχανικές διεργασίες. Ο συναγωνισμός (Fredrickson & Stephanopoulos, 1981) είναι η πιο κοινή μικροβιακή αλληλεπίδραση Αμιγής και απλός συναγωνισμός Προσομοίωση εργαστηριακά σε ένα χημοστάτη. Βασικό ερώτημα: μπορούν οι συναγωνιζόμενοι πληθυσμοί να συνυπάρξουν και υπό ποιες συνθήκες;

Χημοστάτης Ρυθμός αραίωσης, D Ειδικός ρυθμός ανάπτυξης, μ Περιοριστικό συστατικό

Μοντέλα ανάπτυξης Μοντέλο Monod (1942)  μ m : μέγιστος ειδικός ρυθμός ανάπτυξης  K : σταθερά κορεσμού ή σταθερά Michaelis Μοντέλο Andrews  K’: η σταθερά παρεμπόδισης  μ max =μ*/(1+2√(Κ/Κ’))

Ανασκόπηση θεωρητικών μελετών για τον απλό και αμιγή συναγωνισμό ΣυνθήκεςΜελετητέςΣυμπέρασμα ●Ένας χημοστάτης, στείρα τροφοδοσία, σταθερές λειτουργικές συνθήκες. Powell (1958)  μοντέλο Monod Aris & Humphrey (1977)  μοντέλο Andrews Συνύπαρξη μόνο για διακριτές τιμές του ρυθμού αραίωσης, όταν οι καμπύλες του ειδικού ρυθμού ανάπτυξης τέμνονται. ●Δύο συζευγμένοι χημοστάτες, βαθμοστάτης, στείρα τροφοδοσία, σταθερές λειτουργικές παράμετροι. Stephanopoulos & Fredrickson (1979) Kung & Baltzis (1987) Jager et al. (1987) Smith & Tang (1989)  μοντέλο Monod Lenas et al (1998) *  μοντέλο Andrews Συνύπαρξη σε μόνιμη και υπό συνθήκες*, σε περιοδική κατάσταση για μια σχετικά ευρεία περιοχή των παραμέτρων λειτουργίας, όταν οι καμπύλες του ειδικού ρυθμού ανάπτυξης τέμνονται.

ΣυνθήκεςΜελετητέςΣυμπέρασμα ●Ένας χημοστάτης, μη στείρα τροφοδοσία, σταθερές λειτουργικές παράμετροι. A.Ajbar & K.Alhumazi, Διπλωματική εργασία Α.Θεοδώρου (2005) - Μοντέλο Andrews Συνύπαρξη σε μόνιμη και υπό συνθήκες*, σε περιοδική κατάσταση, για μια σχετικά ευρεία περιοχή των παραμέτρων λειτουργίας, όταν οι καμπύλες του ειδικού ρυθμού ανάπτυξης τέμνονται.

Αντικείμενο Διατριβής  Μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς αμιγoύς και απλού συναγωνισμού δύο μικροβιακών πληθυσμών σε δύο συζευγμένους χημοστάτες, καθώς μεταβάλλεται το σχετικό μέγεθός τους και ο βαθμός σύζευξής τους.  Εξέταση της επίδρασης στη δυναμική του συστήματος της ύπαρξης μικροοργανισμών στο ρεύμα τροφοδοσίας των δύο χημοστατών.

Περιγραφή συστήματος 2 συζευγμένοι CSTR F 2c F 2e F 2f, S 2f, C 12f, C 22f F 1f, S 1f, C 11f,C 21f F 1e V1V1 V2V2 F 1c

Ισοζύγια μάζας Ισοζύγια μάζας για τον 1 ο χημοστάτη  εισροή  εκροή  παραγωγή

Ισοζύγια παροχών:  F 2f + F 1c = F 2e + F 2c  F 1f + F 2c = F 1e + F 1c Ισοζύγια μάζας για τον 2 ο χημοστάτη

Παραδοχές 1.Αμελητέος ο ενδογενής μεταβολισμός. 2.Κατανάλωση υποστρώματος μόνο για τη σύνθεση βιομάζας. 3.Όχι προσκόλληση κυττάρων στα τοιχώματα του χημοστάτη. 4.Παρεμποδιστική δράση του υποστρώματος σε μεγάλες συγκεντρώσεις – χρήση μοντέλου Andrews. 5.Περίπτωση βαθμοστάτη (Lovitt & Wimpenny, 1981):  Ρυθμός ροής στην είσοδο=ρυθμός ροής στην έξοδο:  F 1e =F 1f, F 2e =F 2f  Ίσοι ρυθμοί επικοινωνίας μεταξύ των δύο αντιδραστήρων:  F 1c =F 2c

Αδιαστατοποίηση Μεταβλητές Παράμετροι Ειδικοί ρυθμοί ανάπτυξης πληθυσμών Χ- πληθ: Υ- πληθ: Παραδοχή βαθμοστάτη v=u 1

Εξισώσεις

Μέθοδος ● Εξέταση δυναμικής συστήματος με χρήση μεθόδων της θεωρίας διακλαδώσεων 1.Περιγραφή συστήματος μέσω ενός συστήματος Σ.Δ.Ε 2.Εύρεση μονίμων καταστάσεων συστήματος x s f(x s ;p)=0 3.Γραμμικοποίηση γύρω από μια Μ.Κ και υπολογισμός ιδιοτιμών Iακωβιανού πίνακα 4.Εύρεση διακλαδώσεων μονίμων καταστάσεων.

5.Υπολογισμός περιοδικών λύσεων. 6.Υπολογισμός χαρακτηριστικών πολλαπλασιαστών (πολ/στές Floquet) των περιοδικών λύσεων (οριακών κύκλων). 7.Εύρεση διακλαδώσεων οριακών κύκλων 8.Κατασκευή λειτουργικού διαγράμματος 9.Μελέτη ευστάθειας περιοδικών λύσεων.

Διακλαδώσεις Μόνιμης κατάστασης Μία πραγματική ιδιοτιμή τέμνει τον άξονα των φανταστικών Διακλάδωση Οριακού σημείου Εμφάνιση νέων σημείων ισορροπίας Μετακρίσιμη διακλάδωση Αλλαγή χαρ/ρα Σ.Ι. Ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών τέμνει τον άξονα των φανταστικών Διακλάδωση Hopf: υπερκρίσιμη, υποκρίσιμη Εμφάνιση περιοδικών τροχιών Τοπικές Διακλαδώσεις συστημάτων με μεταβολή μίας παραμέτρου

Διακλαδώσεις Οριακού κύκλου Ένας πραγματικός πολ/στής τέμνει το μοναδιαίο κύκλο στο 1 Διακλάδωση Οριακού σημείου Εμφάνιση νέων περιοδικών τροχιών Μετακρίσιμη διακλάδωση Αλλαγή χαρ/ρα Ορ.Κύκλου Ένας πραγματικός πολ/στής τέμνει το μοναδιαίο κύκλο στο -1 Διακλάδωση Διπλασιασμού περιόδου: υπερκρίσιμη, υποκρίσιμη Εμφάνιση νέων περιοδικών τροχιών Ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών τέμνει το μοναδιαίο κύκλο υπό γωνία φ/2π≠1, ½,1/3, 1/4 Διακλάδωση Neimark Εμφάνιση Τόρου

Ολικές διακλαδώσεις Δεν υπάρχει μεταβολή της ευστάθειας σημείων ισορροπίας ή οριακών κύκλων Υπάρχει μια ολική μεταβολή της εικόνας του χώρου των φάσεων.  Ετεροκλινής σύνδεση: αλληλεπίδραση της ευσταθούς και της ασταθούς πολλαπλότητας δύο σαγματικών σημείων.  Ομοκλινής σύνδεση: αλληλεπίδραση της ευσταθούς και της ασταθούς πολλαπλότητας του ίδιου σαγματικού σημείου.  Εμφάνιση οριακού κύκλου  Εμφάνιση φαινομένου πολυευστάθειας

Λογισμικά XPPAUT  Ένα εργαλείο για την προσομοίωση και ανάλυση δυναμικών συστημάτων (Bard Ermentrout).  Επίλυση διαφορικών εξισώσεων, εξισώσεων διαφορών, υστέρησης, συναρτησιακών, εξισώσεων οριακών τιμών και στοχαστικών εξισώσεων.  Μέσω του AUTO:  Εντοπίζει κλάδους μονίμων καταστάσεων και τα σημεία διακλάδωσης  Κάνει δύο-παραμέτρων συνέχιση διακλαδώσεων M.Κ-τύπου: οριακού σημείου και σημείου Ηopf Οριακών κύκλων-τύπου: οριακού σημείου-LP, διπλασιασμού περιόδου-PD και Neimark-TR.  Δεν μπορεί να κάνει δύο-παραμέτρων συνέχιση μετακρίσιμων διακλαδώσεων μονίμων ή περιοδικών καταστάσεων.  Δεν εντοπίζει ολικές διακλαδώσεις.

Λογισμικά MATLAB/MATCONT (2002)  Πακέτο συνέχισης του Matlab με μια GUI για την αριθμητική μελέτη παραμετρικών μη γραμμικών ΣΔΕ.  Επιτρέπει τον υπολογισμό καμπυλών :  ισορροπίας, οριακών σημείων, σημείων Hopf, οριακών κύκλων, διακλαδώσεων τύπου οριακού σημείου, διπλασιασμού περιόδου, τόρου, σημείων διακλαδώσεως οριακών κύκλων και σημείων ισορροπίας.  Είναι δυνατός ο προσδιορισμός διακλαδώσεων συνδιάστασης-2 (cusp, Bogdanov-Takens, generalized Hopf, zero-Hopf, double Hopf) σε καμπύλες συνέχισης οριακού σημείου και καμπύλες Hopf.

Διάγραμμα διακλαδώσεων M.K για στείρα τροφοδοσία L Norm

Διάγραμμα διακλαδώσεων περιοδικών λύσεων για μη στείρα τροφοδοσία Χ1 L

Παράμετροι συστήματος ΚατηγορίαΑδιάστατες παράμετροι Πλήθος Μοντέλο ανάπτυξηςα, β, γ1, γ24 Λειτουργία – μη στείρα τροφοδοσία u1, u2, x1f, x2f, y1f, y2f, z1f, z2f, r 9 Λειτουργία – στείρα τροφοδοσία u1, u2, z1f, z2f, r5 Αντιδραστήρεςλ1 Μη στείρα τροφοδοσία14 Στείρα τροφοδοσία10

Επιλογή σταθερών παραμέτρων Προϋπόθεση συνύπαρξης σε ευσταθή περιοδική κατάσταση σε ένα χημοστάτη.  Οι καμπύλες των ειδικών ρυθμών ανάπτυξης (μοντέλο Andrews) πρέπει να τέμνονται με αντίθετη κλίση (διπλ. Α.Θεοδώρου 2005):  α=0.9, β=0.25, γ 1 =0.5, γ 2 =1.0  Επιλογή τιμών παραμέτρων λειτουργίας από το λειτουργικό διάγραμμα U vs y f για ένα χημοστάτη (διπλ. Α.Θεοδώρου 2005):  x 1f =0.01, y 1f =0.1, z 1f =6, u 1 = Ίδιες συνθήκες τροφοδοσίας και στους δύο χημοστάτες:  x 1f =x 2f, y 1f =y 2f, z 1f =z 2f, u 1 =u 2

Καμπύλες ειδικών ρυθμών ανάπτυξης  Παράμετροι μοντέλου Andrews: α=0.9, β=0.25, γ 1 =0.5, γ 2 =1.0

Λειτουργικό Διάγραμμα U vs Yf για 1 χημοστάτη ΠεριοχήΑριθμός και χαρ/ρας Μ.Κ, i+j=3 ΙS-- ΙΙS,SSP- ΙΙΙS,S,SSP,SP- ΙVΙVS,SSP,SPUN ή UF  S:ευσταθής κόμβος ή εστία, SP:σαγματικό σημείο, UN:ασταθής κόμβος, UF:ασταθής εστία. LP HP

Αποτελέσματα 2 Λειτουργικά διαγράμματα Μ.Κ ως προς τις παραμέτρους {L,R}:  Παρουσία μικροοργανισμών στην τροφοδοσία  Υπό στείρα τροφοδοσία Πίνακες ευστάθειας Μ.Κ Εύρεση διακλαδώσεων περιοδικών λύσεων

Δυνατότητα εμφάνισης μόνο συνύπαρξης σε μόνιμη και ενδεχομένως σε περιοδική, οιονεί περιοδική ή και χαοτική κατάσταση. Βρέθηκαν συνολικά 21 διακλαδώσεις Μ.Κ, εκ των οποίων 15 διακλαδώσεις οριακού σημείου και 6 διακλαδώσεις Hopf. Κατασκευάστηκε πίνακας ευστάθειας Μ.Κ για κάθεμία από τις 138 περιοχές του λειτουργικού διαγράμματος. Αναγνωρίστηκαν συνολικά 84 διαφορετικά σχήματα ευστάθειας, με 1 έως και 7 ευσταθείς Μ.Κ συνύπαρξης. Μη στείρα τροφοδοσία

 Σταθερές λειτουργικές παράμετροι: u 1 =u 2 =0.4095, x 1f =x 2f =0.01, y 1f =y 2f =0.1, z 1f =z 2f =6

Οι διακλαδώσεις Hopf Μ.Κ (hp4, hp3) συνδέονται με την ύπαρξη ευσταθούς οριακού κύκλου. Η διακλάδωση hp4 σηματοδοτεί την καταστροφή ενός οριακού κύκλου που δημιουργείται μέσω μιας ολικής διακλάδωσης ομοκλινούς σύνδεσης. Η διακλάδωση hp3 είναι αποτέλεσμα της σύζευξης των δύο χημοστατών, καθώς υφίσταται για R> , ενώ όλες οι άλλες διακλαδώσεις Ηopf ξεκινούν από R=0.

Δημιουργία Οριακού Κύκλου μέσω ομοκλινούς σύνδεσης και καταστροφή μέσω της hp4  L=  L=  L=  L=  Διακλάδωση Hopf hp4: L= , R=0.002

Συνέχιση διακλάδωσης Hopf Μ.Κ-hp3

Συνέχιση ως προς L των περιοδικών λύσεων από την hp3  R=0.0008

Συνέχιση διακλαδώσεων περιοδικών λύσεων - hp3.

Δημιουργία ευσταθούς τόρου  R=0.0008, L=  Τομή z1=1.2.

Διακλάδωση διπλασιασμού περιόδου

Οριακοί κύκλοι μεταξύ διαδοχικών διπλασιασμών περιόδου

Πιθανοί τύποι μονίμων καταστάσεων:  Ολική έκπλυση x 1 =x 2 =y 1 =y 2 =0  Έκπλυση του πληθυσμού Χ, x 1 =x 2 =0, y 1 >0,y 2 >0  Έκπλυση του πληθυσμού Υ, y 1 =y 2 =0, x 1 >0,x 2 >0  Συνύπαρξη των δύο πληθυσμών, x 1 >0,x 2 >0,y 1 >0,y 2 >0 Προσδιορίστηκαν συνολικά 23 διακλαδώσεις Μ.Κ, εκ των οποίων 6 μετακρίσιμες, 13 οριακού σημείου και 4 διακλαδώσεις Hopf Μ.Κ. Κατασκευάστηκαν 3 πίνακες ευστάθειας Μ.Κ. Στείρα τροφοδοσία

 z1f=z2f=6, u1=u2=0.4095

Φαινόμενο πολυευστάθειας Σε μία περιοχή γύρω από το L=1 (ίδιοι χημοστάτες) και για μικρούς βαθμούς σύζευξης (R<0.005) υπάρχουν έως 9 ευσταθείς Μ.Κ:  ολική έπλυση  2 καταστάσεις επικράτησης του πληθυσμού Χ  3 καταστάσεις επικράτησης του πληθυσμού Υ  2 καταστάσεις συνύπαρξης των δύο πληθυσμών Από τις 4 διακλαδώσεις Ηopf, τρεις (hp1, hp2, hp4) οδηγούν στη δημιουργία ευσταθών οριακών κύκλων. Καταστροφή οριακού κύκλου μέσω ολικής διακλάδωσης ομοκλινούς σύνδεσης.

Δημιουργία και καταστροφή οριακού κύκλου γύρω από την hp1  L=  L=  L=  L=  Hp1: L= , R=0.002

Συμπεράσματα Η σύζευξη δύο χημοστατών δημιουργεί τις απαραίτητες συνθήκες χωρικής ανομοιογένειας για συνύπαρξη 2 πληθυσμών υπό συναγωνισμό, όταν οι καμπύλες των ειδικών ρυθμών ανάπτυξής τους τέμνονται. Προϋπόθεση για συνύπαρξη σε περιοδική κατάσταση είναι αντίθετες κλίσεις στο σημείο τομής. Η ύπαρξη μικροοργανισμών στην τροφοδοσία προκαλεί φαινόμενα οιονεί περιοδικότητας και διπλασιασμού περιόδου. Υπό στείρα και μη τροφοδοσία είναι έντονη η πολυευστάθεια και τα περιοδικά φαινόμενα, έτσι κάποιος έλεγχος θα πρέπει να εφαρμόζεται στο βαθμό σύξευξης R για δεδομένο μέγεθος αντιδραστήρων, για επίτευξη ευσταθούς συνύπαρξης σε μόνιμη ή περιοδική κατάσταση.