ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ : ΑΛΛΑ ΣΙΡΟΚΟΦΣΚΙΧ GUSEPPE PEANO «ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ» ΖΑΧΑΡΙΑΔΗΣ ΘΩΜΑΣ ΑΜ : 3153 ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ : ΑΛΛΑ ΣΙΡΟΚΟΦΣΚΙΧ

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ Γεννήθηκε στη Spinetta της Ιταλίας το 1858 και πέθανε στο Τορίνο 1932. Το 1870 εγκαταστάθηκε στο Τορίνο για να φοιτήσει τα σχολικά του χρόνια και στην συνέχεια σπούδασε στο πανεπιστήμιο μαθηματικών της πόλης.

Είναι γνωστός για την σημαντική δουλειά του στη συμβολική λογική, την αξιωματική μέθοδο αλλά και για τις σημαντικές συμβολές του στην μαθηματική ανάλυση. Ειδικεύτηκε επάνω στην μαθηματική Λογική. Ο Peano καθιέρωσε τους συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων. Εισήγαγε το 1889 σύστημα αξιωμάτων με το οποίο εισάγονται οι φυσικοί αριθμοί. Τα αξιώματα αυτά αποτέλεσαν και τον βασικότερο λόγο διάκρισης του. Στα τέλη του 19ου αιώνα ο Guseppe Peano, Georg Cantor και Helge von Koch παρουσίασαν κάποια μαθηματικά δημιουργήματα που αψηφούσαν την κοινή λογική και αντίληψη. Το 1890 ο Peano παρουσίασε μια καμπύλη που όχι μόνο μπορούσε να « χωρέσει » σε μια πεπερασμένη περιοχή του επιπέδου αλλά ταυτόχρονα περνούσε και από όλα τα σημεία αυτής της περιοχής.

Ο Peano προσπάθησε επίσης από το έτος 1892 να ανάγει στα πλαίσια ενός ευρύτερου έργου με τίτλο « Formulario Mathematic » τη Λογική σε συγκεκριμένα αξιώματα. Το έργο αυτό ολοκληρώθηκε το 1908 χωρίς όμως ιδιαίτερη επιτυχία. Από το έτος 1903 προσπάθησε ο Peano να δημιουργήσει μια τεχνητή γλώσσα με βάση την λατινική και στοιχεία της γαλλικής, γερμανικής και αγγλικής.

Μια παρατήρηση που θα έπρεπε να γίνει όσον αφορά τα αξιώματα του Peano είναι η εξής: Ο R. Dedekind που γεννήθηκε το 1831 και πέθανε το 1916 ασχολήθηκε με την θεμελίωση των φυσικών αριθμών και το 1888 επέλεξε πέντε αξιώματα για την θεμελίωση αυτή. Τα αξιώματα αυτά τα οποία αργότερα ο Peano τα εξέφρασε σε συμβολική γλώσσα έγιναν γνωστά ως « ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΟΥ PEANO»

Τα αξιώματα του Peano είναι : Για κάθε n ισχύει ότι, αν το n είναι ένας φυσικός αριθμός, τότε είναι και ο επόμενός του ένας φυσικός αριθμός. (P2) Αν δύο αριθμοί έχουν τον ίδιο επόμενο αριθμό , τότε αυτοί οι δύο είναι ταυτόσημοι. (P3) Το μηδέν δεν είναι επόμενος ενός φυσικού αριθμού. ( P4 ) Αν για ένα υποσύνολο Α του Ν ισχύει ότι : α ) το (μηδέν) 0 ανήκει στο Α β ) αν για κάθε ν που ανήκει στο Α συνεπάγεται ότι ν + 1 ανήκει στο Α. (P5)

ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Στην επιστήμη των μαθηματικών κατά την διάρκεια του 1870 – 1880 ο Cantor καθόρισε την έννοια του φυσικού αριθμού με βάση τον κοινό πληθάριθμο των ισοδύναμων συνόλων. Μολονότι η ύπαρξη μεμονωμένων φυσικών αριθμών αποδεικνύεται στη θεωρία συνόλων σχετικά εύκολα, για την απόδειξη της ύπαρξης του συνόλου όλων των φυσικών αριθμών απαιτούνται τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων των Zermelo – Fraenkel.

ΟΡΙΣΜΟΣ : Οι πληθάριθμοι των πεπερασμένων συνόλων λέγονται πεπερασμένοι αριθμοί ή φυσικοί αριθμοί. Αν πάρουμε τους πληθάριθμους 0,1,2,... όλων των πεπερασμένων συνόλων, που όπως είπαμε ονομάζονται φυσικοί αριθμοί, θεωρούμε ότι αποτελούν ένα σύνολο, το οποίο το ονομάζουμε Ν (σύνολο των φυσικών αριθμών) Ν = { 0,1,2,3,… }

ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΞΙΩΜΑΤΩΝ PEANO Υπάρχουν επιστήμες στις οποίες χρησιμοποιείται το μηδέν όπως στην μαθηματική λογική, τη θεωρία συνόλων και στην επιστήμη των υπολογιστών. Είναι πολύ σημαντικό να αναφέρουμε ότι για πολλούς αιώνες οι μόνοι γνωστοί φυσικοί αριθμοί ήταν αυτοί χωρίς το μηδέν. Στην Ευρώπη η χρήση του μηδενός ξεκίνησε από τον 13ο αιώνα.

P2 : Για κάθε n ισχύει ότι, αν το n είναι ένας φυσικός αριθμός, τότε είναι και ο επόμενός του ένας φυσικός αριθμός. Το αξίωμα αυτό δίνει τον τρόπο κατασκευής του συνόλου Ν. Με αφετηρία το μηδέν κατασκευάζουμε κάθε φυσικό αριθμό. Έτσι τον επόμενο του μηδέν τον συμβολίζουμε 1 ( ένα ) τον επόμενο του ένα με 2, τον επόμενο του 2 με 3 κ.ο.κ. Με αυτόν τον τρόπο μετασχηματίζουμε το σύνολο Ν = { 0,1,2,3,……ν, ν + 1.....}

P3 : Αν δύο αριθμοί έχουν τον ίδιο επόμενο αριθμό , τότε αυτοί οι δύο είναι ταυτόσημοι.

P5: Αν για ένα υποσύνολο Α του Ν ισχύει ότι : α ) το (μηδέν) 0 ανήκει στο Α β ) αν για κάθε ν που ανήκει στο Α συνεπάγεται ότι ν + 1 ανήκει στο Α. Στο πέμπτο αξίωμα στηρίζεται η μέθοδος αποδείξεως της τέλειας επαγωγής ή αρχή της μαθηματικής επαγωγής. Τη μέθοδο αυτή τη χρησιμοποιούμε για να αποδείξουμε τις προτάσεις που αναφέρονται σε φυσικούς αριθμούς. Με την μέθοδο της τέλειας επαγωγής εργαζόμαστε ως εξής : αν έχουμε μια πρόταση p(ν) για τους φυσικούς αριθμούς και θέλουμε να αποδείξουμε ότι είναι αληθής, μπορούμε να εργαστούμε με τον εξής τρόπο: Αποδεικνύουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για ν = 0 ( η πρόταση p(0) είναι αληθής ). Υποθέτουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για ν = κ, ( p(κ) είναι αληθής ) και αποδεικνύουμε ότι είναι αληθής για ν = κ +1. Με αυτόν τον τρόπο αποδεικνύεται ότι η πρότασή μας ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΝΑΔΡΟΜΗΣ Ας υποθέσουμε ότι το ( ΙΝ, 0 , S ) είναι σύστημα Peano το Ε είναι σύνολο α ε Ε και η h : Ε Ε είναι συνάρτηση : υπάρχει τότε μια και μόνο μια συνάρτηση f : IN E που ικανοποιεί τις ταυτότητες : f(0) = α f(Sn) = h(f(n)) Το θεώρημα της Αναδρομής δικαιολογεί τον συνηθισμένο τρόπο με τον οποίο ορίζουμε συναρτήσεις στους φυσικούς αριθμούς αναδρομικά ( ή επαγωγικά) : δηλαδή για να ορίσουμε την h : E E που προσδιορίζει την τιμή της f(Sn) της f σε κάθε επόμενο αριθμό Sn από την τιμή f(n) της f στο προηγούμενο του n: f(Sn) = h(f(n)).Η διακλάδωση είναι τελείως διαφορετική διότι εξαρτάται από τον έλεγχο μιας συνθήκης .Η διακλάδωση βγαίνει μέσα από την αναδρομή .Η αναδρομή είναι πολύ πιο σοβαρή.

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΤΗΣ ΑΝΑΔΡΟΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Το Θεώρημα Αναδρομής και το αξίωμα της επαγωγής είναι τα βασικότερα εργαλεία της Λογικής. Για να μπορέσω να αποδείξω το Θεώρημα Αναδρομής πρέπει να έχω το αξίωμα της επαγωγής και αντίστροφα για να αποδείξω το αξίωμα της επαγωγής πρέπει να έχω το Θεώρημα της Αναδρομής. Για να αποδείξω τις απλές ιδιότητες των φυσικών αριθμών χρειάζομαι οπωσδήποτε το Θεώρημα Αναδρομής ή το αξίωμα της επαγωγής.

ΣΥΜΒΟΛΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Η αριθμητική Peano περιέχει πολλά γνήσια υποσυστήματα. Η γλώσσα L στην οποία δουλεύουμε είναι η πρωτοβάθμια γλώσσα της αριθμητικής δηλαδή η γλώσσα με μη λογικά σύμβολα { ΄,+ , * ,< , 0 } Για συντομία PA είναι η πολύ γνωστή βασική θεωρία που περιγράφει την συμπεριφορά της σταθεράς 0, των συναρτήσεων του επόμενου, της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και της σχέσης < .

ΠΟΙΟΣ ΗΤΑΝ Ο ΒΑΣΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ ΠΟΥ ΑΣΧΟΛΗΘΗΚΕ Ο PEANO ΜΕ ΤΗΝ ΣΥΜΒΟΛΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Θέλησε να απλουστεύσει σχέσεις με πολλούς συμβολισμούς. Με αυτό τον τρόπο κατάφερε οι πολυσύνθετες προτάσεις αληθείας να διαβάζονται πολύ πιο γρήγορα και απλά. «ΣΥΜΒΟΛΑ» καθολικός συμβολισμός. Για τον καθολικό συμβολισμό χρησιμοποίησε το Πn υπαρξιακός συμβολισμός. Για τον υπαρξιακό συμβολισμό χρησιμοποίησε το Σn (όπου ν είναι το πλήθος των καθολικών και υπαρξιακών συμβολισμών που εμφανίζονται.)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ : X1 , X2….. : ποσοδείκτες Σ1 : οι ημιαναδρομικές σχέσεις Πκ = ΣΚ : οι αρνήσεις των σχέσεων στο Σκ Σκ+1 = Πκ : οι σχέσεις που ικανοποιούν μια ισοδυναμία P( x ) ( y)Q( x , y ) όπου Q( x , y ) είναι Πκ Δκ = ΣΚ Λ Πκ : οι σχέσεις που είναι ΣΚ και Πκ .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΣΥΜΒΟΛΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Σ1 : ( y ) Q( x , y ) Π1 : ( y )Q( x , y) Σ2 : ( y1 )( y2 )Q( x , y1 , y2 ) Π2 : ( y1 )( y2 )Q( x , y1 , y2 ) Σ3 : ( y1)( y2)( y3)Q( x , y1 , y2 , y3 )