ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ.Ε.. Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ & Η ΑΠΟΜΝΗΜΟΝΕΥΣΗ ΤΩΝ ΑΠΛΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ

Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΚΡΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ Α) ΥΛΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ  Η Απαρίθμηση όλων: Π.χ., στο πρόβλημα «ο Πέτρος έχει 5 μήλα. Η Χριστίνα έχει 8 μήλα περισσότερα από τον Πέτρο. Πόσα μήλα έχει η Χριστίνα;» ο μαθητής χρησιμοποιώντας φυσικά αντικείμενα ή τα δάχτυλά του κατασκευάζει δύο σύνολα. Το πρώτο αντιστοιχεί στο 5 και το δεύτερο στο 8. Η ένωση των δύο συνόλων 13 απαριθμείται και δίνεται η απάντηση. Η ΠΡΟΣΘΕΣΗ Στην προσχολική ηλικία (4-5 ετών) τα παιδιά, προτού ακόμη μάθουν τις αριθμητικές πράξεις, μπορούν να λύνουν προβλήματα του τύπου μ + ν (όπου τα μ και ν μπορεί να είναι μέχρι και 9) εφαρμόζοντας διαδικασίες απαρίθμησης με τη βοήθεια αριθμήσιμων αντικειμένων. Η ανάπτυξη όμως της διαδικασίας της υλικής απαρίθμησης δεν πρέπει να λαμβάνεται σαν δεδομένη σε όλα τα παιδιά της προσχολικής ηλικίας. Οι Carpenter και Moser (1984) αναφέρουν ότι σε σχετική έρευνά τους, σχεδόν το 1/7 από τα παιδιά που εγγράφονται στην πρώτη τάξη δεν ήταν σε θέση να λύσουν οποιοδήποτε πρόβλημα πρόσθεσης ακόμη και όταν είχαν στη διάθεσή τους αντικείμενα. Οι διαδικασίες της Πρόσθεσης

 Αρίθμηση όλων αρχίζοντας από τον πρώτο: Το παιδί αριθμεί για τον πρώτο αριθμό (5) του προηγούμενου παραδείγματος, αρχίζοντας από το 1 «1, 2, 3, 4, 5» και συνεχίζει αυτή την ευθεία αρίθμηση μέχρι την αρίθμηση και του δεύτερου (8) «6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13». Η απάντηση είναι ο τελευταίος αριθμός (13) της αρίθμησης.  Αρίθμηση όλων αρχίζοντας από το μεγαλύτερο: Το παιδί αριθμεί μέχρι το μεγαλύτερο αριθμό (8) αρχίζοντας από το 1 «1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8» και συνεχίζει αυτή την ευθεία αρίθμηση μέχρι την αρίθμηση και του μικρότερου αριθμού (5) «9, 10, 11, 12, 13». Η απάντηση είναι ο τελευταίος αριθμός (13) της αρίθμησης.  Αρίθμηση από τον πρώτο: Εδώ το παιδί αριθμεί αρχίζοντας από τον πληθάριθμο του πρώτου προσθετέου. Σύμφωνα με το παράδειγμα που αναφέρθηκε, το παιδί θα πει «5 (παύση)» και θα μετρήσει «6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13». Η απάντηση είναι 13.  Αρίθμηση από το μεγαλύτερο: Το παιδί αρχίζει να αριθμεί από τον πληθάριθμο του μεγαλύτερου προσθετέου. Στο παράδειγμα, θα μετρήσει «8 (παύση), 9, 10, 11, 12, 13». Η απάντηση είναι 13. Β) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Στην περίοδο της μετάβασης από την απαρίθμηση των συλλογών στους νοερούς υπολογισμούς λαμβάνουν χώρα οι παρακάτω αριθμητικές διαδικασίες. Αριθμώντας με τους παραπάνω τρόπους το παιδί για να σταματήσει όταν φτάσει στο αποτέλεσμα θα πρέπει να καταγράφει τον αριθμό των βημάτων του. Αυτό γίνεται συχνά με τη χρησιμοποίηση των δα- χτύλων του χεριού που εδώ δε χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσει τις 2 συλλογές των αντικειμέ- νων, αλλά για να ελέγξει την εξέλιξη της αρίθμησης ώστε μην ξεπεράσει το αποτέλεσμα όταν φτάσει

Γ) ΝΟΕΡΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ  Άμεση ανάκληση από τη μνήμη: Εδώ το παιδί ανακαλεί από τη μνήμη μακράς διάρκειας την αριθμητική πράξη «5 και 8 ίσον 13» ή «8 και 5 ίσον 13».  Παραγωγή πράξης: Το παιδί παράγει την απάντησή του βασιζόμενο σε μία ή περισσότερες ανακαλούμενες πράξεις π.χ. «5 και 5 ίσον 10, 10 και 3 ίσον 13» ή «8 και 2 ίσον 10, 10 και 3 ίσον 13». Τελικά, σύμφωνα με έρευνες, η πρόσθεση μεταξύ μονοψήφιων αριθμών παρόλη την απλότητά της φαίνεται να ενεργοποιεί ταυτόχρονα γνώσεις αυτοματισμού, (δηλωτικές), όπως η άμεση ανάκληση από τη Μ.Μ.Δ. και γνώσεις (διαδικαστικές) που κατασκευάζονται με κάποιες διαδικασίες όπως η αρίθμηση. Μόνο η αναλογία αυτών των δύο ειδών γνώσεων μεταβάλλεται στη διάρκεια της ανάπτυξης του παιδιού. Έτσι το παιδί αρχίζει με την υλική διαδικασία της απαρίθμησης όλων προτού να χρησιμοποιήσει διαδικασίες πιο πολύπλοκες που εμπεριέχουν την αντιμεταθετική ιδιότητα. Στη συνέχεια, υπάρχει μια σύνθετη εξέλιξη των διαδικασιών και της χρήσης τους μέχρι που φτάνουμε στους ενήλικες όπου κυριαρχεί η διαδικασία της ανάκλησης από την Μ.Μ.Δ.

Η ΑΦΑΙΡΕΣΗ  Διαχωρισμός από. Το παιδί χρησιμοποιώντας αντικείμενα ή τα δάκτυλά του, κατασκευάζει ένα σύνολο που αντιστοιχεί στο μεγαλύτερο αριθμό (12) του προβλή- ματος, μετά αποσύρει τόσα αντικείμενα όσα δείχνει ο μικρότερος αριθμός (5). Η απάντηση είναι ο αριθμός των αντικειμένων που μένουν (7).  Διαχωρισμός μέχρι. Εδώ το παιδί κατασκευάζει ένα σύνολό που αντιστοιχεί στο μεγαλύτερο αριθμό (12) και μετά αποσύρει αντικείμενα μέχρι να μείνουν τόσα όσα δείχνει ο μικρότερος αριθμός (5). Η απάντηση βρίσκεται με την απαρίθμηση των αντικειμένων που αποσύρθηκαν (7).  Πρόσθεση. Το παιδί διαλέγει έναν αριθμό αντικειμένων (5) ίσο με το μικρότερο από τους δύο δεδομένους αριθμούς. Στη συνέχεια, προσθέτει σ’ αυτό το σύνολο ένα-ένα αντικείμενα μέχρι να φτάσει σε μία συλλογή ίση με το μεγαλύτερο από τους δεδομένους αριθμούς (12). Μετρώντας τον αριθμό των αντικειμένων που προστέθηκαν έχουμε την απάντηση (7). Στη συνέχεια, παρουσιάζονται οι διαδικασίες της αφαίρεσης εξετάζοντας παράλληλα πώς εφαρμόζονται οι στρατηγικές στο εξής πρόβλημα: «Ο Πέτρος έχει 5 μήλα. Η Χριστίνα έχει 12 μήλα. Πόσα μήλα περισσότερα έχει η Χριστίνα από τον Πέτρο;» Α) ΥΛΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ

 Αντιπαραβολή. Πραγματοποιείται μόνο όταν υπάρχουν συγκεκριμένα αντικείμενα. Είναι αδύνατο να γίνει νοερά. Σε σχέση με το παράδειγμα που εξετάζουμε, το παιδί κατασκευάζει ένα σύνολο που αντιστοιχεί στο μικρότερο αριθμό (5) και ένα σύνολο που αντιστοιχεί στο μεγαλύτερο αριθμό (12) και τα αντιπαραβάλλει αντιστοιχώντας τα μέχρι να περισσέψει ένα σύνολο. Απαριθμώντας ό,τι περισσεύει από αυτήν την αντιπαραβολή έχουμε την απάντηση (7). Β) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ  Αντίστροφη αρίθμηση από. Στο παράδειγμα που παρουσιάστηκε, το παιδί αριθμεί αντίστροφα αρχίζοντας από το 12 και κατεβαίνει 5 λέξεις – αριθμούς «11, 10, 9, 8, 7». Ο τελευταίος αριθμός στην αρίθμηση αυτή (7), είναι η απάντηση.  Αντίστροφη αρίθμηση μέχρι. Το παιδί αριθμεί αντίστροφα αρχίζοντας από το 12 και συνεχίζει μέχρι να φτάσει στο μικρότερο αριθμό «11, 10, 9, 8,7,6,5». Η απάντηση είναι ο αριθμός των λέξεων - αριθμών που αριθμήθηκαν (7 ).  Ευθεία αρίθμηση από δεδομένο. Εδώ, το παιδί εκτελεί μια ευθεία αρίθμηση αρχίζοντας από το μικρότερο από τους δύο δεδομένους αριθμούς (5) και αριθμεί μέχρι να φτάσει το μεγαλύτερο από τους αριθμούς αυτούς (12) «6, 7, 8, 9, 10, 11, 12». Μετρώντας τα βήματα που έκανε σ’ αυτή την αρίθμηση έχει την απάντηση (7 ).  Επιλογή. Είναι μικτή και συνίσταται στη χρήση είτε της Αντίστροφης αρίθμησης από, είτε της Ευθείας αρίθμησης από δεδομένο. Το παιδί αποφασίζει και διαλέγει για να λύσει το πρό- βλημα τη διαδικασία που χρειάζεται την αρίθμηση των λιγότερων αριθμών. Στο συγκεκρι- μένο παράδειγμα, η διαδικασία Αντίστροφη αρίθμηση είναι πιο σύντομη.

Γ) ΝΟΕΡΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ  Άμεση ανάκληση της αφαίρεσης. Το παιδί ανακαλεί άμεσα μια αφαίρεση με τους δύο αριθμούς (5 και 12) από τη μνήμη μακράς διάρκειας «12 μείον 5 ίσον 7».  Έμμεση ανάκληση της αφαίρεσης. Εδώ, ανακαλεί μια έμμεση αφαιρετική πράξη με τους δύο αριθμούς (5 και 12) άμεσα από τη μνήμη μακράς διάρκειας «12 μείον 7 ίσον 5»  Έμμεση ανάκληση της πρόσθεσης. Ανακαλεί μια έμμεση προσθετική πράξη με τους δύο αριθμούς (5 και 12) άμεσα από τη μνήμη «5 και 7 ίσον 12».  Παραγωγή άμεσης αφαίρεσης. Το παιδί βασιζόμενο σε ανακαλούμενες πράξεις, παράγει την απάντησή του αφαιρώντας το μικρότερο αριθμό (5) από το μεγαλύτερο (12) Π.χ. «12 μείον 2 ίσον 10, 10 μείον τρία ίσον 7».  Παραγωγή έμμεσης αφαίρεσης. Το παιδί βασιζόμενο σε ανακαλούμενες πράξεις, παράγει την απάντησή του προσδιορίζοντας ποια ποσότητα πρέπει να αφαιρέσει από το μεγαλύτερο αριθμό (12) για να πάρει το μικρότερο αριθμό (5). Π.χ. «12 μείον 2 ίσον 10 και 10 μείον 5 ίσον 5, έτσι η απάντηση είναι 2 και 5, που ισούται με 7».  Παραγωγή έμμεσης πρόσθεσης. Το παιδί βασιζόμενο σε ανακαλούμενες πράξεις, παράγει την απάντησή του προσδιορίζοντας ποια ποσότητα πρέπει να προσθέσει στον μικρότερο αριθμό (5) για να πάρει το μεγαλύτερο αριθμό (12). Π.χ. «5 και 5 ίσον 10 και 10 και 2 ίσον 12, έτσι η απάντηση είναι 5 και 2 που ισούται με 7».

Η εξέλιξη των διαδικασιών εκτέλεσης της αφαίρεσης φαίνεται να πραγματοποιείται, σύμφωνα με ερευνητικά αποτελέσματα σε τρεις φάσεις: Αρχικά, χρησιμοποιείται μια μέθοδος εκτέλεσης που βασίζεται σε υλικά αντικείμενα ή τα δάκτυλα. Στη συνέχεια, έχουμε μια συχνή χρήση μεθόδων επίλυσης με αρίθμηση (ευθεία ή αντίστροφη) με ή χωρίς τη βοήθεια των δακτύλων. Η χρήση της αρίθμησης μειώνεται αναλογικά με το πέρασμα του χρόνου αλλά δεν εξαφανίζεται εντελώς ακόμη και στους ενήλικες. Η διαδικασία που χρησιμοποιείται περισσότερο είναι η άμεση ανάκληση από τη Μ.Μ.Δ. Παρατηρήθηκε ότι στη διάρκεια μιας χρονικής περιόδου ένας μαθητής συχνά χρησιμοποιεί διαφορετικές διαδικασίες για την εκτέλεση των αφαιρέσεων. Αυτό καθιστά δύσκολη τη διαπίστωση των διαδικασιών που χρησιμοποιεί ο μαθητής, ειδικά με τη μέθοδο του χρόνου απάντησης. Συμπερασματικά, η ανάπτυξη των δραστηριοτήτων της νοερής αρίθμησης αρχίζει από ένα επίπεδο όπου τα παιδιά προσθέτουν ή αφαιρούν μια προς μια τις μονάδες που αντιστοιχούν στον μικρότερο από τους δύο αριθμούς. Αυτό γίνεται στην αρχή με τη βοήθεια εξωτερικών βοηθημάτων (αντικείμενα, δάχτυλα) που επιτρέπουν την ελάφρυνση του φορτίου στη μνήμη εργασίας. Στη συνέχεια, οι πράξεις εκτελούνται νοερά αλλά πάντοτε με την ίδια αρχή. Σταδιακά με τη συγχρονισμένη επιρροή του αυτοματισμού, της πρακτικής και της ωρίμανσης, τα παιδιά τείνουν να αποθηκεύουν και να ανασύρουν κατευθείαν από τη μνήμη μακράς διάρκειας τα αποτελέσματα των απλών πράξεων.