ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΘΕΜΑ: ΕΜΠΟΔΙΑ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΚΑΤA ΤΗΝ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΑΠO ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ Σύμφωνα με το Γ. Τρούλη (1992) « αλγόριθμος είναι μια σειρά κανόνων ορισμένη με ακρίβεια, που δείχνει πως θα επιτύχουμε καθορισμένες πληροφορίες εξόδου με βάση δοσμένες πληροφορίες εισόδου ύστερα από ένα καταληκτικό αριθμό πράξεων». Παραδείγματα αλγορίθμων είναι τα συγκεκριμένα βήματα που ακολουθούνται κατά την εκτέλεση των τεσσάρων πράξεων με ακέραιους, κλασματικούς ή δεκαδικούς αριθμούς.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Όταν μιλάμε για τις αριθμητικές ή υπολογιστικές ικανότητες θα πρέπει να κάνουμε διάκριση μεταξύ των απλών πράξεων και των πιο σύνθετων διαδικασιών που ονομάζονται αλγόριθμοι. Απλές πράξεις μπορεί να θεωρηθούν οι πίνακες της προπαίδειας που οι μαθητές καταβάλλουν πολλές φορές μεγάλες προσπάθειες για να τις απομνημονεύσουν. Ενώ με τον όρο αλγόριθμο ονομάζουμε όλες εκείνες τις μηχανικές διαδικασίες, στις οποίες εκτελούνται κατά σειρά διάφορα προκαθορισμένα και απαιτούμενα βήματα. Απαραίτητη προϋπόθεση για να εκτελεστεί όμως ένας αλγόριθμος μιας αριθμητικής πράξης είναι η γνώση των επιμέρους απλών πράξεων.

Π.χ ο μαθητής έχει να εκτελέσει τον ακόλουθο αλγόριθμο: 507 χ 32 1014 +1521 16.224 Εάν δεν γνωρίζει τις απλές πράξεις, όπως είναι η προπαίδεια ή η πράξη της πρόσθεσης δεν θα μπορεί να εκτελέσει και να επιλύσει ορθά και τον αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού. Εύλογα προκύπτει ότι οι απλές πράξεις εμπεριέχονται στους αλγόριθμους των αντίστοιχων πράξεων. Αυτό σημαίνει ότι οποιαδήποτε λάθη πραγματοποιούνται στις απλές πράξεις, θα συμβαίνουν αντίστοιχα τα ίδια και στην προσπάθεια των μαθητών να εκτελέσουν κάποιο αλγόριθμο. Για παράδειγμα δεν μπορεί ένας μαθητής με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά να επιλύσει έναν αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού μεταξύ 2 πολυψήφιων αριθμών χωρίς πρώτα να γνωρίζει και να έχει αυτοματοποιήσει την προπαίδεια.

3.4 ΓΝΩΣΤΙΚΕΣ ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΠΡΑΞΕΩΝ Προκειμένου να τεθεί εξαρχής σε σωστές βάσεις η εκτέλεση πράξεων, είναι απαραίτητο να αποκτηθούν προηγουμένως από το παιδί κάποιες βασικές δεξιότητες. Στις δεξιότητες αυτές ανήκουν: α) Η αρχική εκτίμηση και ο τελικός έλεγχος του αποτελέσματος. β) Η σωστή διάκριση συμβόλων και η σύνδεσή τους με το σχετικό λεξιλόγιο. γ) Η αναγνώριση των Β.Α.Δ. μέσα σε σύνθετες πράξεις. δ) Η άμεση σύνδεση της συμβολικής μορφής της πράξης με τις ενέργειες πάνω στα αντικείμενα. (Αγαλιώτης,2000)

4.2 ΤΥΧΑΙΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΑ ΛΑΘΗ Ένα λάθος ονομάζεται συστηματικό, όταν παρατηρείται κατ’ επανάληψη μια λανθασμένη απάντηση σε έναν αλγοριθμικό υπολογισμό και πίσω από την απάντηση μπορεί να αναγνωριστεί ένα συγκεκριμένο σχήμα συλλογιστικό. Για να χαρακτηριστεί ένα λάθος συστηματικό, θα πρέπει να εμφανίζεται με συχνότητα 3 στα 5 (60%). Τα συστηματικά λάθη πρέπει να τα διαχωρίσουμε από τα τυχαία λάθη. Τα τυχαία λάθη δε δίνουν ενδείξεις για επαναλαμβανόμενο λανθασμένο συλλογισμό ή διαδικασία και δεν μπορούμε να τα εξηγήσουμε εύκολα, γιατί δε φαίνονται σ’ αυτά οι λανθασμένες διαδικασίες που χρησιμοποιήθηκαν. Επίσης, δεν εμφανίζονται με μεγάλη συχνότητα όπως τα συστηματικά λάθη.

4.3 ΑΙΤΙΕΣ ΤΩΝ ΛΑΘΩΝ Τα λάθη των μαθητών μπορούν να αποδοθούν σε μία ποικιλία παραγόντων που μπορεί να οφείλονται: Είτε στη μη απόκτηση κάποιας σειράς ενεργειών από το μαθητή είτε στην αδυναμία κατανόησης της έννοιας της πράξης. Οι μαθητές συχνά υπεργενικεύουν, υπεραπλουστεύουν ή υπερειδικεύουν τις ήδη υπάρχουσες γνώσεις τους με βάση προηγούμενες εμπειρίες για να καλύψουν νέες απαιτήσεις. Στη μη κατάκτηση προϋποτιθέμενων γνώσεων και στην ατυχή χρήση κανόνων. Στην ελλιπή κατανόηση του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης (έννοια θεσιακής αξίας). Στην δυσκολία που αφορούν την σωστή αντίληψη και διάκριση μέσα στο χώρο της διάταξης και της μορφής των αριθμών και των πραξιακών συμβόλων.

Στην ανεπαρκή γνώση των Β.Α.Δ. (π.χ. προπαίδεια). Στην χρήση χρονοβόρων στρατηγικών για την εύρεση των Β.Α.Δ., πράγμα το οποίο αυξάνει τον κίνδυνο του λάθους. Στην ανεπαρκή ή ακατάλληλη διδασκαλία. Στη δομή, στη διάρθρωση και στο περιεχόμενο των σχολικών εγχειριδίων. Στις ενέργειες των παιδιών που προσπαθούν να καλύψουν κενά μάθησης κυρίως μέσω της χρήσης εννοιών και κανόνων που είχαν οδηγήσει σε σωστά αποτελέσματα σε άλλες περιπτώσεις.

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΩΝ ΛΑΘΩΝ Τι μπορούμε να επιτύχουμε κάνοντας χρήση των λαθών; Η διαδικασία του να ψάξει ο μαθητής, να εξηγήσει και να διορθώσει το λάθος του ή το λάθος κάποιου άλλου μπορεί να οδηγήσει στην αυτοεξήγηση. Τα λάθη σε δουλεμένα παραδείγματα μπορούν να παρακινήσουν τους μαθητές για ερευνητική μάθηση. Χρησιμοποιώντας την αποτυχία ενός αλγόριθμου δημιουργικά μπορεί να βοηθήσει στην ανάπτυξη της κριτικής σκέψης. Οι μαθητές θα πρέπει να εκπαιδευτούν στο σκεπτικό μίας λύσης και να βρίσκουν τη λογική που οδηγεί στη λύση. Η ανακάλυψη και η διόρθωση ενός λάθους είναι κάτι παρόμοιο με τον ρόλο του δασκάλου, κάτι που από μόνο του αποτελεί αποτελεσματική στρατηγική μάθησης. Μία εστίαση στα λάθη μπορεί να είναι ενεργητική για τους μαθητές σε μεταγνωστικό επίπεδο.

5. Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ Ο αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού παρουσιάζει αρκετές δυσκολίες, καθώς μεταξύ άλλων απαιτεί: Άριστη γνώση των βασικών αριθμητικών δεδομένων του πολλαπλασιασμού (σε επίπεδο αυτοματισμού) Γνώση των βασικών αριθμητικών δεδομένων και του αλγορίθμου της πρόσθεσης Εναλλαγή πολλαπλασιασμών και προσθέσεων Μνημονική συγκράτηση διψήφιων αριθμών Μεταφορά διαφόρων αριθμών (συνήθως μεγαλύτερων του 1) από στήλη σε στήλη (κρατούμενα) Ιδιαίτερη προσοχή κατά την τοποθέτηση των ψηφίων στο χώρο (Αγαλιώτης,2000, Φιλίππου & Χρίστου,1995)

ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΑΘΩΝ ΣΤΟΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ Άγνοια αλγορίθμου Πλήρης άγνοια όλων των αλγορίθμων του πολλαπλασιασμού Άγνοια του αλγορίθμου του πολλαπλασιασμού διψήφιων και τριψήφιων αριθμών Άγνοια αλγορίθμου και χρησιμοποίηση διαδοχικών προσθέσεων Λάθη ελαττωματικού αλγορίθμου και παραβίαση της θεσιακής αξίας Παράλειψη στηλών κατά τον πολλαπλασιασμό Μονάδες επί μονάδες και αυτούσιες οι δεκάδες Μονάδες επί μονάδες και μηδέν στη στήλη των δεκάδων Μονάδες επί μονάδες και κρατούμενο επί δεκάδες Μονάδες επί μονάδες και κρατούμενο συν δεκάδες επί δεκάδες Πολλαπλασιασμός σε ανεξάρτητες στήλες Τα μερικά γινόμενα στη σειρά Το δεύτερο μερικό γινόμενο δε μετακινείται μια θέση αριστερά

Πρόσθεση αντί πολλαπλασιασμού Μισή πρόσθεση μισός πολλαπλασιασμός Για παράδειγμα ένα συχνό λάθος που κάνουν οι μαθητές όσον αφορά την θεσιακή αξία των αριθμών είναι: 24 24 Χ 13 Χ 13 72 αντί 72 + 24 + 24 96 312 Άλλη πράξη Πρόσθεση αντί πολλαπλασιασμού Μισή πρόσθεση μισός πολλαπλασιασμός Μονάδες επί μονάδες και κρατούμενο συν δεκάδες Μονάδες επί μονάδες και κρατούμενο συν μονάδες συν δεκάδες συν εκατοντάδες Π.χ. 5 12 Χ 7 Χ 7 12 24

Λάθος στη σειρά των βημάτων του αλγορίθμου Πρώτα προσθέτει τα κρατούμενα στις δεκάδες και ύστερα πολλαπλασιάζει Λάθη με τα κρατούμενα Κρατά τις μονάδες και γράφει τις δεκάδες Γράφει και κρατά τις μονάδες Αγνοεί τα κρατούμενα Όλοι οι πολλαπλασιασμοί έχουν κρατούμενο ένα Τα κρατούμενα δεν προστίθενται σε στήλη όπου το γινόμενο είναι μηδέν, αλλά μεταφέρονται στην επόμενη

Συνδυασμός λαθών Κρατά τις μονάδες, γράφει τις δεκάδες και προσθέτει κρατούμενο και δεκάδες πολλαπλασιαστέου Αγνοεί τα κρατούμενα και παραλείπει στήλες κατά τον πολλαπλασιασμό Πολλαπλασιάζει μονάδες, πολλαπλασιάζει δεκάδες και στο δεύτερο γινόμενο προσθέτει τις μονάδες του προηγούμενου γινομένου Πολλαπλασιάζει μονάδες, κρατά μονάδες γινομένου και γράφει δεκάδες και προσθέτει κρατούμενα με δεκάδες τελεστών Αρχικά πρόσθεση αντί πολλαπλασιασμού και μετά κρατούμενο επί δεκάδες πολλαπλασιαστέου (Αγαλιώτης, 1997) Σύμφωνα με μία έρευνα, η Cox κατηγοριοποίησε τα συστηματικά λάθη που πραγματοποιούνται στον αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού και διαπίστωσε ότι αυτά ανήκουν σε 8 διαφορετικές κατηγορίες.

ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΑΘΩΝ Κατάταξη των συστηματικών λαθών στον αλγόριθμου του πολλ/σμού σύμφωνα με την φύση της δυσλειτουργίας τους. ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΛΑΘΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΑΘΩΝ Έννοια του πολλαπλασιασμού 19 Επιμέρους γινόμενα 13 Πολλαπλασιαστική διαδικασία με τα κρατούμενα 10 Προσθετική διαδικασία με τα κρατούμενα 7 Κρατούμενα 6 Πολλαπλασιασμός με το μηδέν Εκτελείται άλλη πράξη 4 Αντιστροφή των ψηφίων 2 ΣΥΝΟΛΟ 67

Παρακάτω θα παρουσιάσουμε κάποια από τα πιο συνηθισμένα συστηματικά λάθη του πολλαπλασιασμού σύμφωνα με την Cox (1975). Μονοψήφιος πολλαπλασιαστής, διψήφιος πολλαπλασιαστέος, χωρίς κρατούμενα. Π.χ. 34 45 232 Χ 2 Χ 1 Χ 2 38 45 234 Γίνεται σωστά ο πολλαπλασιασμός μόνο στη στήλη των μονάδων, ενώ οι δεκάδες και οι εκατοντάδες μένουν αυτούσιες. Με αυτή τη λανθασμένη διαδικασία μπορεί μερικές φορές το αποτέλεσμα να είναι σωστό όπως είναι στο 2ο παράδειγμα. α) Μονοψήφιος πολλαπλασιαστής, διψήφιος και τριψήφιος πολλαπλασιαστέος που περιέχει μηδενικά στα ενδιάμεσα ή τα τελευταία, χωρίς κρατούμενα. Π.χ. 30 200 401 Χ 4 Χ 5 Χ 4 124 1055 444 Γίνεται λανθασμένος πολλαπλασιασμός με το 0: νΧ0 = ν

β) Διψήφιος πολλαπλασιαστής, τριψήφιος πολλαπλασιαστέος που περιέχει ενδιάμεσα μηδενικά ψηφία, με κρατούμενα. Π.χ. 507 705 Χ 32 Χ 42 1034 1430 + 1551 +2860 16544 30030 Γίνεται λανθασμένος ο πολλαπλασιασμός με το 0 υπολογίζοντας όμως κανονικά τα κρατούμενα. Μονοψήφιος πολλαπλασιαστής, διψήφιος πολλαπλασιαστέος, κρατούμενα στη στήλη των δεκάδων. 1 1 2 α) 26 48 27 Χ 3 Χ 2 Χ 4 28 46 48 Ο πολλαπλασιασμός γίνεται σωστά στη στήλη των μονάδων. Το κρατούμενο πολλαπλασιάζεται με τις δεκάδες και το γινόμενο τους τοποθετείται στη στήλη των δεκάδων της απάντησης, αντί να γίνει πολλαπλασιασμός με τον πολλαπλασιαστή και να προστεθεί στη συνέχεια και το κρατούμενο.

Προστίθενται τα κρατούμενα στον πολλαπλασιαστή. 1 1 2 β) 26 48 27 Χ 3 Χ 2 Χ 4 98 106 168 Ο πολλαπλασιασμός γίνεται σωστά στη στήλη των μονάδων, αλλά το κρατούμενο προστίθεται στο ψηφίο των δεκάδων, προτού γίνει ο πολλ/σμός με το άθροισμα. π.χ. για το 26 Χ 3 γίνεται 6Χ3=18, το 1 προστίθεται με το 2 (1+2=3) και πολλαπλασιάζεται με το 3. Μονοψήφιος πολλαπλασιαστής, τριψήφιος και τετραψήφιος πολλαπλασιαστέος, το κρατούμενο πάει στο μηδέν. α) 904 5070 χ 3 Χ 8 2742 401360 Προστίθενται τα κρατούμενα στον πολλαπλασιαστή.

β) 904 5070 Χ 3 Χ 8 2732 44060 Πολλαπλασιάζεται ο πολλαπλασιαστής με το ψηφίο των κρατουμένων. Διψήφιος πολλαπλασιαστής με μηδέν στη στήλη των μονάδων, διψήφιος και τριψήφιος πολλαπλασιαστέος, με και χωρίς κρατούμενα. 336 67 149 Χ 20 Χ 20 Χ 40 366 127 169 Πολλαπλασιάζονται τα ψηφία του πολλαπλασιαστέου με τα ψηφία του πολλαπλασιαστή που βρίσκονται ακριβώς από κάτω τους. Ο πολλαπλασιασμός με το 0 μπορεί να είναι σωστός ή να περιέχει το λάθος νΧ0=ν.

5.2 ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΩΝ ΛΑΘΩΝ ΣΤΟΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ Α) Αδυναμία απόκτησης σχέσεων μεταξύ υλικών ενεργειών και αλγοριθμικών βημάτων. Σημαντικό ρόλο παίζει η ασαφής αντίληψη του μαθητή ως προς το τι αντιπροσωπεύουν οι αριθμοί. Χρήσιμες θεωρούνται οι πραξιακές και εικονιστικές αναπαραστάσεις που εμφανίζουν τη λειτουργία κάθε τελεστή. 5 Χ 17 10 7 1 2 3 4 5 5 x 17=5 x(10+7)= (5 x 10) + (5 x 7)=50+35=85

Β) Οι κατάλληλες αναπαραστάσεις παίζουν σημαντικό ρόλο και κατά την τεκμηρίωση της αντιμεταθετικής ιδιότητας. 17 Χ 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5 17 x 5= (10 x 5)+(7 x 5)=50 + 35=85

Γ) Ένα άλλο στοιχείο που επηρεάζει σημαντικά την κατανόηση του αλγορίθμου του πολλαπλασιασμού είναι η κατάλληλη ενεργοποίηση της έννοιας της θεσιακής αξίας. Για παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός 45 x 23 μπορεί να απεικονιστεί όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα προκειμένου να αποσαφηνιστούν οι σχέσεις μεταξύ των αριθμών και οι απαιτούμενοι πολλαπλασιασμοί. 40x20 40 5 20 5x20 3 5x3 40x3 (800) (100) (120) (15)

Όταν ο μαθητής πρέπει να οδηγηθεί στη χρήση του τυπικού αλγορίθμου, αλλά αντιμετωπίζει δυσκολίες με τη χρήση των ψηφίων που μεταφέρονται: 38 38 x 7 x 7 5 6 26 56

5.3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ Για τις περιπτώσεις των παιδιών που δυσκολεύονται με το χειρισμό των κρατούμενων προτείνεται ο αλγόριθμος της «κλιμακωτής σημείωσης γινομένου». 9 538 Χ 7 Χ 6 6 314 3 + 088 3228 Τα γινόμενα, δηλαδή, γράφονται σε δύο επίπεδα, επάνω οι δεκάδες και κάτω δεξιά οι μονάδες (στην ανάλογη στήλη) και στη συνέχεια γίνονται οι προσθέσεις.

Ένας άλλος ενδιαφέρον αλγόριθμος που μπορεί να βοηθήσει πολλά παιδιά, είναι ο γνωστός «πολλαπλασιασμός με πλέγμα». Για παράδειγμα στον πολλαπλασιασμό 76x45 7 6 3 4 4 5 2 0 (Αγαλιώτης,2000) 2 2 8 4 3 3 5 0

Μάθηση Β.Α.Δ. με τη χρήση της τεχνικής των δακτύλων Κινέζικος πολλαπλασιασμός

6. Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ Ο αλγόριθμος της διαίρεσης είναι αναμφισβήτητα ο δυσκολότερος από τους αλγόριθμους, καθώς: Στηρίζεται σε μία ακολουθία πέντε ενεργειών (διαίρεση, πολλαπλασιασμός, αφαίρεση, σύγκριση διαιρέτη και υπολοίπου, «κατέβασμα» επόμενου ψηφίου) που συνιστούν σημαντικό μνημονικό βάρος. Έχει ιδιαίτερες απαιτήσεις χωρικής αντίληψης (εναλλασσόμενες κατευθύνσεις αριθμών αριστερά-δεξιά και πάνω-κάτω) Συνήθως επενδύεται λεκτικά με μια σειρά τυποποιημένων εκφράσεων που δεν εξηγούν καθόλου την ουσία της πράξης, με αποτέλεσμα απλώς να αυξάνεται η σύγχυση. Αποτελεί έκφραση μιας έννοιας με διπλή υπόσταση (διαίρεση μερισμού-διαίρεση μέτρησης), γεγονός που δυσκολεύει την κατανόηση. (Αγαλιώτης, 2000)

6.1 ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΑΘΩΝ ΣΤΟΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ Οι ιδιαιτερότητες της διαίρεσης που αναφέραμε οδηγούν σε αποτυχίες και λάθη κατά την εκτέλεση της πράξης, κυρίως μεταξύ των μαθητών με Μ.Δ. στα μαθηματικά, λόγω των ποικίλων γνωστικών αδυναμιών που τους χαρακτηρίζουν. Εξέχουσα θέση μεταξύ αυτών των λαθών είναι αυτά που αφορούν: Πλήρης άγνοια του αλγόριθμου Χρησιμοποιούν τον διαιρετέο χωριστά κατά ψηφίο και όχι ως ολόκληρο αριθμό Π.χ. 75 5 75 5 11 αντί -5 15 25 -25 00 Παραλείψεις ως προς την εκτέλεση των επόμενων πράξεων, της αφαίρεσης, του πολλ/σμού και το σχηματισμό του επόμενου μερικού υπολοίπου.

Δυσκολίες με το χειρισμό του μηδενός στο διαιρετέο. π.χ. 1205 5 -10 25 Χρησιμοποιούν λάθος πράξη για τον προσδιορισμό του μερικού υπολοίπου. Μη πραγματοποίηση διαίρεσης σε μία από τις στήλες του διαιρετέου. Αδυναμία στο να θεωρηθεί το υπόλοιπο ως μέρος της διαδικασίας της διαίρεσης. Η μη κατανόηση βασικών στοιχείων του αλγόριθμου, όπως η αποδοχή υπόλοιπων μεγαλύτερων του διαιρέτη. π.χ. 435 6 - 36 6 75 Δυσκολίες με το χειρισμό του μηδενός στο διαιρετέο. π.χ. 1205 5 -10 25 25 - 25 Δεν υπολογίζουν καθόλου το μηδέν. Λανθασμένα αποτελέσματα λόγω ελλείψεων στον πολλ/σμό και στην αφαίρεση.

ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΑΘΩΝ Κατάταξη των συστηματικών λαθών στον αλγόριθμου της διαίρεσης σύμφωνα με την φύση της δυσλειτουργίας τους. ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΛΑΘΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΑΘΩΝ Έννοια της διαίρεσης 21 Προσεγγιστικός υπολογισμός 9 Επιμέρους πηλίκα 5 Υπόλοιπα Μηδενικό στο πηλίκο Λάθη στον πολλαπλασιασμό ή στην αφαίρεση 4 Μηδέν στον διαιρέτη 2 Επιμέρους διαιρέτες ΣΥΝΟΛΟ 53

Παρακάτω θα παρουσιάσουμε κάποια από τα πιο συνηθισμένα συστηματικά λάθη της διαίρεσης σύμφωνα με την Cox (1975). Μονοψήφιος διαιρέτης, διψήφιος διαιρετέος, χωρίς υπόλοιπο. 38 2 64 4 14 11 Κάθε ψηφίο του διαιρετέου διαιρείται χωριστά από το διαιρέτη χωρίς να πραγματοποιηθεί ο ακόλουθος πολλ/σμός, η αφαίρεση και να σχηματιστεί το επόμενο μερικό υπόλοιπο. Μονοψήφιος διαιρέτης, τριψήφιος διαιρετέος με μηδέν, με ή χωρίς υπόλοιπο. α) 807 5 902 3 101 30 Διαιρείται κάθε ψηφίο του διαιρετέου χωριστά χωρίς να πραγματοποιείται πολλ/σμός, αφαίρεση ή σχηματισμό κανενός νέου διαιρετέου.

Μονοψήφιος διαιρέτης, τριψήφιος διαιρετέος που δημιουργεί μηδέν στη στήλη των δεκάδων του πηλίκου, με ή χωρίς υπόλοιπο. α) 324 3 324 3 -3 18 -3 108 024 αντί 024 -24 -24 0 0 Το λάθος αυτό προέρχεται από το ότι δεν τοποθετήθηκε το 0 στη θέση των δεκάδων του πηλίκου. Αυτό το λάθος δημιουργείται όταν κατεβαίνει ένα ψηφίο του διαιρετέου και ο διαιρέτης είναι πολύ μεγάλος για να το διαιρέσει. Τότε ξεχνιέται το 0 που πρέπει να τεθεί στο πηλίκο και πραγματοποιείται η επόμενη διαίρεση.

β) 618 2 618 2 -6 304 - 6 309 08 αντί 018 - 8 -18 0 0 Στην περίπτωση αυτή ο μαθητής τοποθετεί το 0 στο πηλίκο. Στη συνέχεια όμως δεν παίρνει ως μερικό υπόλοιπο τον αριθμό που σχηματίζεται από τα 2 τελευταία ψηφία, δηλ το 18 αλλά παίρνει μόνο το τελευταίο ψηφίο, δηλ το 8.

Διψήφιος διαιρέτης, τετραψήφιος διαιρετέος που δημιουργεί 0 στο πηλίκο, με υπόλοιπο. Π.χ. 3325 16 -32 27 125 -112 13 Το παιδί δε βάζει το 0 στο πηλίκο όταν η διαίρεση δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί. Έτσι λείπει ένα μηδέν στη θέση των δεκάδων του πηλίκου.

6.2 ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΩΝ ΛΑΘΩΝ ΣΤΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Κάθε εκπαιδευτικός θα πρέπει να λαμβάνει υπόψη του κάποια στοιχεία-στόχους προκειμένου να είναι σε θέση να αντιμετωπίζει τα λάθη των μαθητών κατά την εκτέλεση της πράξης της διαίρεσης: 1) η διασαφήνιση την έννοια της πράξης 2) η αποκατάσταση μίας ξεκάθαρης σχέσης ανάμεσα στα αλγοριθμικά βήματα, αλλά και στη λεκτική περιγραφή που τα συνοδεύει 3) να βασίζεται σε καθημερινές και βιώσιμες καταστάσεις, ακόμα και με την χρήση υλικών αντικειμένων όπως είναι τα ξυλάκια, κάρτες κ.τ.λ. Η παρουσίαση της διαίρεσης με σαφή και λεπτομερειακό τρόπο πιθανότητα θα διασφαλίσει την κατανόηση των αλγοριθμικών βημάτων και θα αποτρέψει την δημιουργία λαθών.

Ωστόσο υπάρχουν συγκεκριμένα σημεία και βήματα του αλγόριθμου της διαίρεσης που συχνά δημιουργούν δυσκολίες στους μαθητές. Ένα τέτοιο σημείο που έχει και ως συνέπεια το αποτέλεσμα να είναι λάθος, είναι η παράλειψη του μηδενός από το πηλίκο όταν ο διαιρέτης δεν «χωράει» στο ενεργό τμήμα του διαιρετέου. Π.χ. 1236 4 -12 39 036 -36 Για να εκτελεστεί σωστά μία τέτοια διαίρεση, πρέπει ο μαθητής να έχει κατανοήσει ότι μετά την 1η αφαίρεση (12-12) και το «κατέβασμα» του επόμενου ψηφίου του διαιρετέου, δηλαδή το 3 γίνεται μία νέα διαίρεση (3:4), η οποία όμως δεν είναι δυνατή και αυτό σηματοδοτείται ως 0 στο πηλίκο. Εάν αυτό δεν μπορεί να κατανοηθεί από τον μαθητή και προκειμένου να υπάρξει μία έμμεση αντιμετώπιση του προβλήματος, προτείνονται 2 εκδοχές:

1η εκδοχή: Να ασκηθεί ο μαθητής σε μία αρχική εκτίμηση του αποτελέσματος, με παραστάσεις του τύπου οι οποίες λεκτικά αναφέρονται ως εξής: « Με ποιον αριθμό θα πολλαπλασιάσω το 4 για να βρω το 1236 ή έναν μικρότερο αριθμό που θα είναι πολύ κοντά στο 1236;». Ο μαθητής αρχίζει να αναζητά πολλαπλάσια του 10 για να τα τοποθετήσει στη θέση του άγνωστου αριθμού και ασκείται γι’ αυτό με ακολουθίες πράξεων όπως οι παρακάτω: Διαμέσου, λοιπόν, της αρχικής εκτίμησης προσεγγίζεται ο ζητούμενος αριθμός. (;) Χ 4 = ή < 1236 4Χ3=12 4Χ3=12 4Χ30=120 40Χ3=120 4Χ300=1200 400Χ3=1200

2η εκδοχή: Να υποδειχθεί στο μαθητή ότι στις διαιρέσεις με μονοψήφιο διαιρέτη, όταν ο διαιρέτης «χωράει» στο πρώτο ψηφίο του διαιρετέου, τότε το πηλίκο έχει τον ίδιο αριθμό ψηφίων με το διαιρετέο. Όταν όμως ο διαιρέτης δεν «χωράει», τότε το πηλίκο έχει ένα ψηφίο λιγότερο από το διαιρετέο. Αυτή η επισήμανση έχει μηχανιστικό χαρακτήρα και δεν προσφέρει πάντα ακριβείς πληροφορίες για το μέγεθος του πηλίκου, αλλά μπορεί να θεωρηθεί ένα είδος «πρώτων βοηθειών». Π.χ. στη διαίρεση 1236:4=309. Στην περίπτωση διψήφιου διαιρέτη τα πράγματα είναι πιο περίπλοκα. Όταν η διαίρεση μεταξύ των δύο πρώτων ψηφίων του διαιρετέου και του διαιρέτη είναι δυνατή, τότε το πηλίκο έχει ένα ψηφίο λιγότερο από το διαιρετέο. (π.χ. 884 : 23 = 34) Όταν η αρχική διαίρεση δεν είναι δυνατή, τότε το πηλίκο έχει 2 ψηφία λιγότερα από το διαιρετέο. (π.χ. 3375 : 35 = 96) Ένα άλλο σημείο που συχνά προβληματίζει τους μαθητές είναι η εύρεση του πηλίκου, ιδιαίτερα όταν υπάρχει υπόλοιπο. Για τις περιπτώσεις αυτές οι N. Bley & C. Thornoton (1995) προτείνουν την εξής βοηθητική διάταξη:

34 8 32 8 45 7 42 7 4 6 Σκοπός της διάταξης αυτής είναι να βοηθήσει το μαθητή να αξιοποιήσει τις γνώσεις του στα Β.Α.Δ. διαίρεσης και πολλαπλασιασμού για να βρει το ζητούμενο πηλίκο. Μαθαίνει λοιπόν να αναζητά έναν αριθμό που είναι λίγο μικρότερος από το διαιρετέο και ταυτόχρονα πολλαπλάσιο του διαιρέτη, δηλαδή 34-32, 45-42.

6.3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΣΤΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Τα κυριότερα πλεονεκτήματα των εναλλακτικών αλγόριθμων είναι τρία. η ταχύτητα η οικονομία ιδιαίτερα βοηθητικοί χώρου στα παιδιά με Μ.Δ. Κάποιους από αυτούς τους αλγόριθμους στην διαίρεση είναι: Όταν το παιδί δυσκολεύεται με την ύπαρξη του μηδενός στο πηλίκο. Ιδιαίτερα βοηθητικός μπορεί να αποδειχθεί ο εναλλακτικός αλγόριθμος «των μερικών πηλίκων». Πιο συγκεκριμένα ξεκινάμε με στόχο την εύρεση του μεγαλύτερου πολλαπλάσιου του 10, που πολλαπλασιαζόμενο με το διαιρέτη θα μας δώσει έναν αριθμό όσο το δυνατόν πιο κοντά στο διαιρετέο. Π.χ. 18282 6 -18000 3000 282 40 -240 + 7 42 3047 - 42

Για τα παιδιά που δυσκολεύονται στην κατανόηση του αλγόριθμου αυτού, υπάρχει και μία ακόμη εναλλακτική λύση που αφορά την συγκεκριμένη κατηγορία διαίρεσης και μπορεί να παρουσιαστεί με μία πιο μηχανιστική «εξήγηση». Πιο συγκεκριμένα τα παιδιά εκτελούν τον αλγόριθμο με τον κλασικό τρόπο, δηλαδή στο παράδειγμα μας αρχίζουν με το γνωστό «ένα ψηφίο έχει ο διαιρέτης, ένα χωρίζουμε και στα αριστερά του διαιρετέου, το 6 στο 1 δεν χωράει, τονίζουμε και το 2ο ψηφίο, το 6 στο 18 χωράει 3 φορές…», αλλά μαθαίνουν να προσθέτουν στο 1ο μερικό γινόμενο (18) τόσα μηδενικά όσα ψηφία έχει ακόμη ο διαιρετέος (3). Στη συνέχεια εκτελούνται οι αφαιρέσεις μέχρις ότου φτάσουν στο τελικό πηλίκο. Όταν το παιδί δυσκολεύεται με την ακριβή εύρεση του πηλίκου, κυρίως στην περίπτωση διαιρέτη με περισσότερα του ενός ψηφία, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο εναλλακτικός αλγόριθμος «των σταδιακών προσεγγίσεων». Π.χ. 9487 15 -60 4 2 2 34 + 2 1 -30 6 3 2 48 - 30 18 -15 37 -30 7