Προβλήματα πολλαπλασιαστικών δομών Ισομορφισμός των μέτρων Είναι μια δομή που αποτελείται από μια απλή και άμεση αναλογία μεταξύ δύο χώρων μέτρων Μ1 και Μ2. Αυτή η δομή περιγράφει ένα μεγάλο αριθμό καταστάσεων από την καθημερινή ζωή όπως: τιμές (αγαθά και αξία), ίσες κατανομές (άτομα και αντικείμενα), σταθερές ταχύτητες (αποστάσεις και χρόνοι). Έχουμε τετραδική σχέση και όχι τριαδική. π.χ. Η Βάσω έχει 3 πακέτα τσίχλες. Κάθε πακέτο έχει μέσα 5 τσίχλες. Πόσες τσίχλες έχει η Βάσω; Πολλαπλή αναλογία. Έχουμε μια δομή όπου δύο διαφορετικοί και ανεξάρτητοι χώροι μέτρων Μ1 και Μ2 είναι ανάλογοι με ένα χώρο μέτρων Μ3. Π.χ. Πόσα ξοδεύουν 2 παιδιά μιας οικογένειας μέσα σε 5 ημέρες, αν κάθε μέρα το κάθε παιδί ξοδεύει 4 ευρώ;

Προβλήματα πολλαπλασιαστικών δομών Ο πολλαπλασιασμός ως διάταξη ή ως συνεχή πρόσθεση. Oι μαθητές κατασκευάζουν μια διάταξη και το πρόβλημά τους είναι να βρουν με εύκολο τρόπο το πλήθος των αντικειμένων της διάταξης. Π.χ. Ο Κώστας έστησε τα αυτοκινητάκια του σε 6 σειρές. Κάθε σειρά έχει 8 αυτοκίνητα. Πόσα αυτοκίνητα έστησε ο Κώστας; Ο πολλαπλασιασμός ως ομαδοποίηση. Δίδεται ο αριθμός όμοιων συνόλων και ο πληθικός αριθμός του κάθε συνόλου και ζητείται ο συνολικός αριθμός των αντικειμένων που βρίσκονται σε όλα τα σύνολα. Π.χ. Η γιαγιά έχει 3 καλάθια μήλα. Κάθε καλάθι περιέχει 7 μήλα. Συνολικά πόσα μήλα έχει;

Προβλήματα πολλαπλασιαστικών δομών Καρτεσιανό γινόμενο ή γινόμενο των μέτρων: συνίσταται σε μία τριαδική σχέση μεταξύ τριών ποσοτήτων , όπου η μία είναι το γινόμενο των άλλων δύο. Είναι η σύνθεση δύο χώρων Μ1 και Μ2 σε ένα τρίτο Μ3 . Τα προβλήματα αυτής της κατηγορίας αναφέρονται στον όγκο, στο εμβαδόν και σε άλλες φυσικές έννοιες. (π.χ. Η Μαρία έχει 3 κορδέλες μία άσπρη, μία γαλάζια και μία κόκκινη, και 2 φούστες μία μαύρη και μία πράσινη. Πόσους διαφορετικούς συνδυασμούς μπορεί να κάνει;) Μ Π Α ΑΜ ΑΠ Γ ΓΜ ΓΠ Κ ΚΜ ΚΠ Πολλαπλασιαστικός παράγοντας: έχουμε μία κατηγορία μέτρων. Πρόκειται για δύο μέτρα του ίδιου μεγέθους και έναν βαθμωτό τελεστή που τα συνδέει και εκφράζεται με τη λέξη φορές. (Π.χ. Το ύψος μιας κολόνας είναι 2 μ. Το ύψος ενός διπλανού σπιτιού είναι 4 φορές μεγαλύτερο. Ποιο είναι το ύψος του σπιτιού;)

Προβλήματα πολλαπλασιαστικών δομών (πολλαπλασιασμού – διαίρεσης) Α. Προβλήματα ισομορφισμού των μέτρων Α1. Απλά προβλήματα πολλαπλασιασμού Ο1: Π.χ. Η Ελένη έχει 5 πακέτα με τσίχλες. Κάθε πακέτο περιέχει 12 τσίχλες. Πόσες τσίχλες έχει η Ελένη; (ως ομαδοποίηση). Ο2: Π.χ. Σ’ ένα κήπο είναι φυτεμένα λουλούδια σε 5 σειρές. Κάθε σειρά έχει 7 λουλούδια. Πόσα είναι όλα τα λουλούδια του κήπου; (ως διάταξη). Α2. Προβλήματα διαίρεσης μερισμού Π.χ. Τρία παιδιά θα μοιραστούν εξίσου 75 ευρώ που τους έδωσε ο παππούς τους. Πόσα ευρώ θα πάρει το καθένα; Α3. Προβλήματα διαίρεσης μέτρησης Π.χ. Αν η μία αυγοθήκη παίρνει 6 αυγά, πόσες αυγοθήκες θα χρειαστούν για την τοποθέτηση 54 αυγών; Α4. Προβλήματα απλής μεθόδου των τριών ή αναλογίας Π.χ. Οι τρεις μπάλες ποδοσφαίρου κοστίζουν 15 €. Πόσο κοστίζουν οι 8 μπάλες ποδοσφαίρου;

Προβλήματα πολλαπλασιαστικών δομών (πολλαπλασιασμού – διαίρεσης) Β. Προβλήματα προσδιορισμού σχέσης (εύρεσης λόγου) ή πολλαπλασιαστικού παράγοντα ή ενός χώρου μέτρων Π.χ. Ο Τάκης έχει 28 γραμματόσημα. Τα γραμματόσημα του Τάκη είναι 4 φορές περισσότερα από αυτά του Νίκου. Πόσα γραμματόσημα έχει ο Νίκος; Γ. Προβλήματα γινομένου των μετρήσεων ή Καρτεσιανού γινομένου Π.χ. Αν έχω 3 πουκάμισα και 2 φούστες, όλα διαφορετικών χρωμάτων. Πόσες διαφορετικές φορεσιές μπορώ να κάνω; Δ. Προβλήματα πολλαπλής αναλογίας Π.χ. Σε μία παιδική κατασκήνωση το κάθε παιδί καταναλώνει κατά μέσο όρο 300 γραμμάρια ψωμί την ημέρα. Η κατασκήνωση αυτή έχει 80 παιδιά. Πόση ποσότητα ψωμιού θα χρειαστεί για 15 ημέρες;

Οι παράμετροι που επηρεάζουν το βαθμό δυσκολίας των πολλαπλασιαστικών προβλημάτων Προβλήματα πολλαπλασιασμού Το περιεχόμενο του μαθηματικού κειμένου (γνωστό και κατανοητό ή όχι) Το μέγεθος των αριθμών (μικροί 1- 20 ή μεγάλοι 100) Το είδος των αριθμών (ακέραιοι ή δεκαδικοί) Το είδος και το μέγεθος του τελεστή (ακέραιος ή δεκαδικός > ή < του 1) Η φύση των μεγεθών (διακριτά ή συνεχή) Προβλήματα διαίρεσης : Ο διαιρετέος ή ο διαιρέτης δεν είναι ακέραιος Όταν ο διαιρετέος είναι μικρότερος από το διαιρέτη. Διαίρεση μερισμού ή μέτρησης