ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΣΠΥΡΟΣ ΝΙΚΟΛΑΪΔΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΣΠΥΡΟΣ ΝΙΚΟΛΑΪΔΗΣ

1. Δυαδικά Συστήματα 1.1 Ψηφιακά συστήματα Ψηφιακό σύστημα είναι ένα σύστημα που επεξεργάζεται διακριτά στοιχεία πληροφορίας Παραδείγματα ψηφιακών συστημάτων : ψηφιακός υπολογιστής, ψηφιακά τηλεφωνικά κέντρα, ψηφιακά βολτόμετρα, υπολογιστικές μηχανές.  Παραδείγματα διακριτών στοιχείων πληροφορίας : ηλεκτρικοί παλμοί, δεκαδικά ψηφία, γράμματα, σημεία στίξης, λέξεις κ.α. Τα διακριτά στοιχεία πληροφορίας παριστάνονται σ’ ένα ψηφιακό σύστημα από φυσικές ποσότητες που λέγονται σήματα (signals) Τα πιο συνηθισμένα σήματα είναι τα ηλεκτρικά, τάσεις και εντάσεις

1.1 Ψηφιακά συστήματα Σε όλα τα ψηφιακά ηλεκτρονικά συστήματα, τα σήματα μπορούν να πάρουν μόνον δύο διακριτές τιμές, γι αυτό λέγονται δυαδικά Αυτό επιβάλλεται για λόγους αξιοπιστίας  Ο διακριτός χαρακτήρας των πληροφοριών προέρχεται είτε από αυτή καθαυτή τη φύση μίας κάποιας διαδικασίας ή από κάποιας μορφής κβαντισμό που κάνουμε επίτηδες σε μία διαδικασία με συνεχή χαρακτήρα. Συμπερασματικά, ένα ψηφιακό σύστημα χειρίζεται διακριτά στοιχεία πληροφοριών και τα στοιχεία αυτά παρουσιάζονται σε δυαδική μορφή

Ένα ψηφιακό σύστημα αποτελείται από επιμέρους ψηφιακά κυκλώματα 1.1 Ψηφιακά συστήματα Ένα ψηφιακό σύστημα αποτελείται από επιμέρους ψηφιακά κυκλώματα Ένα ψηφιακό κύκλωμα μπορεί να αναπαρασταθεί συμβολικά ως ένα κύκλωμα που περιλαμβάνει ένα διακριτό αριθμό εισόδων , x1......xn, καθώς επίσης και ένα διακριτό αριθμό εξόδων f1.......fm. Οι είσοδοι οδηγούνται από δυαδικά σήματα ενώ οι έξοδοι παρέχουν δυαδικά σήματα x1 f1 Ψηφιακό κύκλωμα xn fm Στην περίπτωση χρήσης συνεχών (αναλογικών) σημάτων αντί διακριτών προκύπτει αναλογικό σύστημα.

- προβλέψιμη συμπεριφορά - προβλέψιμη ακρίβεια 1.1 Ψηφιακά συστήματα Πλεονεκτήματα ψηφιακών συστημάτων - μεγαλύτερη αξιοπιστία - προβλέψιμη συμπεριφορά - προβλέψιμη ακρίβεια - ευκολότερος σχεδιασμός - ανοσία στο θόρυβο - ευελιξία χρήσης λόγω προγραμματισμού Μειονεκτήματα ψηφιακών συστημάτων - μικρότερη ταχύτητα - απαίτηση για περισσότερο υλικό (hardware)

1.2 Δυαδικοί Αριθμοί Γενικά ένας δεκαδικός αριθμός με υποδιαστολή παριστάνεται με μία σειρά από συντελεστές ως εξής : αm.....α2α1α0.α-1α-2.....α-n όπου κάθε συντελεστής αj είναι ένας από τα 10 ψηφία (0,1,.....9) και ο δείκτης j δείχνει τη θέση και συνεπώς και τη δύναμη του 10 με την οποία πρέπει να πολλαπλασιαστεί ο συντελεστής, δηλαδή : αm10m+....+α2102+α1101+α0100+α-110-1+α-210-2+...+α-n10-n π.χ ο αριθμός 8532.54 γράφεται ως : 8103+5102+3101+2100+510-1+410-2   - Το δεκαδικό σύστημα έχει βάση το 10.

1.2 Δυαδικοί Αριθμοί Τα ίδια ισχύουν σχετικά με την αναπαράσταση δυαδικών αριθμών με τη διαφορά ότι χρησιμοποιούν ως βάση το 2 που σημαίνει πως - κάθε συντελεστής μπορεί να πάρει δύο τιμές, 0, 1. - οι συντελεστές (αj) πολλαπλασιάζονται με δυνάμεις του 2 (2).   π.χ ο δυαδικός αριθμός 11010.01 αντιστοιχεί στον 124+123+022+121+020+02-1+12-2=26,25

1.2 Δυαδικοί Αριθμοί  Γενικά, ένας αριθμός εκφρασμένος σε σύστημα με βάση το r έχει συντελεστές που πολλαπλασιάζονται με δυνάμεις του r αmrm+ ...+ α2r2+ α1r1+ α0r0+ α-1r-1+ α-2r-2+ ....+ α-nr-n - Οι τιμές των συντελεστών κυμαίνονται από 0 έως r-1. π.χ.: σε αριθμό με βάση το 5 οι συντελεστές παίρνουν τις τιμές 0,1,2,3 και 4. (4021.2)5 = 453+052+251+150+25-1

1.2 Δυαδικοί Αριθμοί  Οι αριθμητικές πράξεις πάνω σε αριθμούς με βάση γενικά r ακολουθούν τους ίδιους κανόνες όπως στο δεκαδικό σύστημα π.χ. στο δυαδικό σύστημα   101101 101101 1011 + 100111 - 100111 x 101 1010100 000110 1011 0000 1011 110111

1.3 Μετατροπή Βάσης Αριθμού Ένας αριθμός εκφρασμένος σε βάση r μπορεί να μετατραπεί σε δεκαδικό, πολλαπλασιάζοντας κάθε συντελεστή με την αντίστοιχη δύναμη του r και κάνοντας πρόσθεση   π.χ.: (1010.011)2 = 23+ 21+ 2-2 + 2-3 = (10.375)10 (630.4)8 = 682 + 38 + 48-1 = (408.5)10 Η μετατροπή από το δεκαδικό σε άλλο αριθμητικό σύστημα βάσης r είναι πιο εύκολη εάν ο αριθμός χωριστεί στο ακέραιο και το κλασματικό μέρος του και αυτά μετατραπούν χωριστά.

Μετατροπή ακεραίου μέρους Ένας αριθμός Ν (π.χ. με 4 ψηφία) γράφεται ως προς βάση r ως εξής : Ni = d3r3+d2r2+d1r+d0 Πρέπει να βρεθούν οι συντελεστές. Διαιρώντας με τη βάση r έχουμε : όπου πηλίκο είναι d3r2+d2r+d1 και το υπόλοιπο d0 Συνεχίζοντας, επαναλληπτικά τη διαίρεση του εναπομήναντος κάθε φορά πηλίκου με τη βάση αποκτάμε την ομάδα των υπολοίπων, τα όποια αναπαριστούν τον ζητούμενο αριθμό στην απαιτούμενη βάση (Ni)r = d3d2d1d0 - Το λιγότερο σημαντικό ψηφίο (d0) βρίσκεται πρώτο και το περισσότερο σημαντικό (d3) τελευταίο

π.χ: μετατροπή του (41)10 σε δυαδικό αριθμό Ακέραιο Πηλίκο Υπόλοιπο Συντελεστής 41/2 = 20 + 1/2 = a0=1 20/2 = 10 + 0 = a1=0 10/2 = 5 + 0 = a2=0 5/2 = 2 + 1/2 = a3=1 2/2 = 1 + 0 = a4=0 1/2 = 0 + 1/2 = a5=1

Μετατροπή κλασματικού μέρους Το κλασματικό μέρος ΝF (π.χ. με 4 ψηφία) γράφεται ως εξής : NF = d-1r-1+d-2r-2+d-3r-3+d-4r-4 Πολλαπλασιάζοντας με τη βάση r έχουμε : rNF = rd-1r--1+rd-2r--2+rd-3r--3+rd-4r--4 που καταλήγει σε αποτέλεσμα με ακέραιο μέρος το συντελεστή d-1 και κλασματικό το υπόλοιπο d-2r-1+d-3r-2+d-4r-3 - Με διαδοχικούς πολλαπλασιασμούς του υπολοίπου με τη βάση αποκτώνται όλοι οι συντελεστές (NF)r = .d-1d-2d-3d-4 - Το πιο σημαντικό ψηφίο (d-1) βρίσκεται πρώτο και το λιγότερο σημαντικό (d-4) τελευταίο

Μετατροπή κλασματικού μέρους Η διαδικασία των επαναληπτικών πολλαπλασιασμών σταματά όταν η ακριβής τιμή έχει βρεθεί ή η απαιτούμενη ακρίβεια προσέγγισης έχει επιτευχθεί π.χ.: μετατροπή του (0.6875)10 σε δυαδικό Ακέραιο μέρος Δεκαδικό μέρος Συντελεστής 0.6875x2 = 1 + 0.3750 d-1=1 0.3750x2 = 0 + 0.7500 d-2=0 0.7500x2 = 1 + 0.5000 d-3=1 0.5000x2 = 1 + 0.0000 d-4=1 (0.6875)10 = (0.1011)2

1.4 Οκταδικοί και Δεκαεξαδικοί αριθμοί   Η μετατροπή από το δυαδικό στο οκταδικό γίνεται εύκολα χωρίζοντας το δυαδικό αριθμό σε ομάδες των τριών ψηφίων, ξεκινώντας από την υποδιαστολή και προχωρώντας προς τα αριστερά και προς τα δεξιά , π.χ.:   (10110001101011.111100000110)= 26153.7406) 2 6 1 5 3 7 4 0 6 Η μετατροπή από το δυαδικό στο δεκαεξαδικό είναι παρόμοια με τη μόνη διαφορά ότι ο δυαδικός αριθμός χωρίζεται σε ομάδες των τεσσάρων ψηφίων. (10 1100 0110 1011 . 1111 0010)= (2C6B.F2) 2 C 6 B F 2

1.4 Οκταδικοί και Δεκαεξαδικοί αριθμοί Η μετατροπή από οκταδικό ή δεκαεξαδικό γίνεται με διαδικασία αντίστροφη της προηγούμενης. Κάθε οκταδικό ψηφίο μετατρέπεται στον αντίστοιχο τριψήφιο δυαδικό αριθμό ενώ κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο στον αντίστοιχο τετραψήφιο δυαδικό.   (673.124) = (110 111 011 . 001 010 100) 6 7 3 1 2 4 (306.D) = (0011 0000 0110 . 1101) 3 0 6 D

1.5 Συμπληρώματα Τα συμπληρώματα χρησιμοποιούνται για την απλοποίηση της πράξης της αφαίρεσης καθώς επίσης και μερικών άλλων λογικών πράξεων Υπάρχουν δύο είδη συμπληρωμάτων για κάθε αριθμητικό σύστημα με βάση r - συμπλήρωμα ως προς r-1 - συμπλήρωμα ως προς r Συμπλήρωμα ως προς r-1 To συμπλήρωμα ως προς r-1 αριθμού Ν σε βάση r με n ψηφία ορίζεται ως (rn-1)-N Για δεκαδικούς αριθμούς r=10 και r-1=9 Το συμπλήρωμα ως προς 9 του αριθμού Ν είναι (10n-1) - N = 99....9 - N n και προκύπτει με αφαίρεση κάθε ψηφίου από το 9.

Συμπλήρωμα ως προς r-1 π.χ.: Το συμπλήρωμα ως προς 9 του 546700 είναι : 999999-546700=453299 Το συμπλήρωμα ως προς 9 του 012398 είναι : 999999-012398=987601 Για δυαδικούς αριθμούς r=2 και r-1=1 Το συμπλήρωμα ως προς 1 του αριθμού Ν είναι (2n-1)-N = 111 - N n και προκύπτει με αφαίρεση κάθε ψηφίου από το 1 που, επειδή 1-0=1 και 1-1=0, αντιστοιχεί στην αλλαγή των 0 σε 1 και των 1 σε 0.  π.χ. : Το συμπλήρωμα ως προς 1 του 1011000 είναι 0100111 Το συμπλήρωμα ως προς 1 του 0101101 είναι 1010010

Συμπλήρωμα ως προς r Τo συμπλήρωμα ως προς r ενός αριθμού Ν με n-ψηφία σε βάση r ορίζεται ως rn-N για N0 και 0 για N=0. Το συμπλήρωμα ως προς r προκύπτει αν προσθέσουμε 1 στο συμπλήρωμα ως προς (r-1) rn-N = [(rn-1)-N]+1 Επίσης, το συμπλήρωμα ως προς r του Ν μπορεί να προκύψει αν αφήσουμε αμετάβλητα όλα τα λιγότερο σημαντικά 0, αφαιρώντας το πρώτο μη μηδενικό λιγότερο σημαντικό ψηφίο από το r και αφαιρώντας όλα τα υπόλοιπα ψηφία από (r-1). Το συμπλήρωμα του συμπληρώματος δίνει τον αρχικό αριθμό rn - (rn - N) = N (rn - 1) - [(rn-1) - N] = N

Συμπλήρωμα ως προς r π.χ.: Το συμπλήρωμα ως προς 10 του 012398 είναι 987602 Το συμπλήρωμα ως προς 10 του 246700 είναι 753300 Το συμπλήρωμα ως προς 2 του 1101100 είναι 0010100 Το συμπλήρωμα ως προς 2 του 0110111 είναι 1001001

Αφαίρεση με συμπλήρωμα Η αφαίρεση δύο θετικών αριθμών (Μ-Ν), και οι δύο σε βάση r και με n-ψηφία γίνεται ως εξής: 1. Προσθέτουμε τον μειωτέο M, στο συμπλήρωμα ως προς r του αφαιρετέου N, M+(rn-N) = M-N+rn 2. Αν MN, το άθροισμα θα έχει τελικό κρατούμενο rn, το οποίο αγνοείται. Ότι μένει είναι το αποτέλεσμα (Μ-Ν). 3. Αν Μ<Ν το άθροισμα δεν έχει τελικό κρατούμενο και ισούται με rn- (Ν-Μ), που είναι το συμπλήρωμα ως προς r του (N-M). Το επιθυμητό αποτέλεσμα προκύπτει παίρνοντας το συμπλήρωμα του αθροίσματος και θέτοντας ένα μείον μπροστά.

Αφαίρεση με συμπλήρωμα π.χ. Χρησιμοποιώντας το συμπλήρωμα ως προς 10 αφαιρέστε 72532- 3250 Μ = 72532 Το συμπλήρωμα του Ν =+96750 169282 Απόρριψη τελικού κρατούμενου 105=-100000 Απάντηση = 69282  Η ύπαρξη τελικού κρατούμενου φανερώνει ότι MN και το αποτέλεσμα είναι θετικό.  π.χ.: Χρησιμοποιώντας το συμπλήρωμα ως 10 αφαιρέστε 3250-72532 Μ = 03250 Το συμπλήρωμα του Ν =+27468 30718 Δεν υπάρχει τελικό κρατούμενο Απάντηση = -(συμπλήρωμα του 30718) = - 69282 ·    Αφού δεν υπάρχει κρατούμενο το αποτέλεσμα είναι αρνητικό

Αφαίρεση με συμπλήρωμα π.χ. Δίνονται οι δυαδικοί αριθμοί X=1010100 και Y=1000011, εκτελέστε την αφαίρεση α) X-Y και β)Y-X, χρησιμοποιώντας συμπλήρωμα ως προς 2   α) X= 1010100 Το συμπλήρωμα του Y=+0111101 Άθροισμα =10010001 Απόρριψη τελικού κρατούμενου = -10000000 Απάντηση X-Y = 0010001   β) Υ= 1000011 Το συμπλήρωμα του Χ=+0101100 Άθροισμα = 1101111 Δεν υπάρχει τελικό κρατούμενο Απάντηση Υ-Χ = -(συμπλήρωμα του 1101111) = - 0010001

1.6 Προσημασμένοι δυαδικοί αριθμοί Το πιο σημαντικό ψηφίο του δυαδικού αριθμού αποτελεί το ψηφίο προσήμου. Το ψηφίο προσήμου έχει την τιμή 0 για τους θετικούς αριθμούς και την τιμή 1 για τους αρνητικούς. Ένας προσημασμένος θετικός αριθμός (και το 0) αναπαρίσταται θέτοντας το 0 στην αριστερότερη θέση του ακολουθούμενο από το δυαδικό ισοδύναμό του. π.χ.: αναπαράσταση του +9 σε 8-ψήφιο δυαδικό αριθμό +9 = 00001001 Υπάρχουν τρεις τρόποι αναπαράστασης αρνητικών δυαδικών αριθμών - με απεικόνιση προσημασμένου μέτρου -9=10001001 - με απεικόνιση προσημασμένου συμπληρώματος ως προς 1 -9=11110110 - με απεικόνιση προσημασμένου συμπληρώματος ως προς 2 -9=11110111

Προσημασμένοι δυαδικοί αριθμοί Στην απεικόνιση προσημασμένου μέτρου ο αρνητικός αριθμός προκύπτει από τον θετικό με απλή αλλαγή του ψηφίου προσήμου από 0 σε 1. Στην απεικόνιση προσημασμένου συμπληρώματος ως προς 1 ο αρνητικός αριθμός προκύπτει από τον θετικό παίρνοντας το συμπλήρωμα αυτού (συμπεριλαμβανομένου και του προσήμου) ως προς 1. Στην απεικόνιση προσημασμένου συμπληρώματος ως προς 1 ο αρνητικός αριθμός προκύπτει από τον θετικό παίρνοντας το συμπλήρωμα αυτού (συμπεριλαμβανομένου και του προσήμου) ως προς 2. Αντίστοιχα, παίρνοντας τα συμπληρώματα των αρνητικών αριθμών παράγουμε τους θετικούς αριθμούς. Η απεικόνιση του προσημασμένου μέτρου και του προσημασμένου συμπληρώματος ως προς 1 διαθέτουν δυο τιμές για το 0. Η απεικόνιση προσημασμένου-συμπληρώματος ως προς 2 μπορεί να αναπαραστήσει μια επιπλέον τιμή με τον ίδιο αριθμό ψηφίων

Αριθμητική Πρόσθεση Η πρόσθεση δυο αριθμών με απεικόνιση προσημασμένου μέτρου ακολουθεί τους κανόνες της συνηθισμένης αριθμητικής - αν τα πρόσημά τους είναι ίδια προσθέτουμε τα δυο μέτρα και δίνουμε στο άθροισμα το κοινό πρόσημο, - αν τα πρόσημά τους είναι διαφορετικά, αφαιρούμε το μικρότερο μέτρο από το μεγαλύτερο και δίνουμε στο αποτέλεσμα το πρόσημο του μεγαλύτερου μέτρου.   Η παραπάνω διαδικασία απαιτεί σύγκριση προσήμων και μέτρων και κατόπιν εκτέλεση πρόσθεσης ή αφαίρεσης. Το άθροισμα δυο αριθμών με απεικόνιση προσημασμένου-συμπληρώματος προκύπτει με την πρόσθεση των δυο αριθμών, συμπεριλαμβανομένων και των ψηφίων προσήμου. Το τελικό κρατούμενο αν υπάρχει αγνοείται στην περίπτωση συμπληρώματος ως προς 2, ενώ στην περίπτωση συμπληρώματος ως προς 1 προστίθεται στο υπόλοιπο άθροισμα.

π.χ: αριθμοί σε απεικόνιση συμπληρώματος ως προς 2 Αριθμητική Πρόσθεση π.χ: αριθμοί σε απεικόνιση συμπληρώματος ως προς 2  + 6 00000110 - 6 11111010 + 6 00000110 - 6 11111010 + 13 00001101 + 13 00001101 - 13 11110011 - 13 11110011 + 19 00010011 + 7 100000111 - 7 11111001 - 19 111101101   αγνοείται αγνοείται  π.χ: αριθμοί σε απεικόνιση συμπληρώματος ως προς 1   + 6 00000110 - 6 11111001 + 13 00001101 + 13 00001101 + 19 00010011 1 00000110 + 1 + 7 00000111     + 6 00000110 - 6 11111001 - 13 11110010 - 13 11110010 - 7 11111000 1 11101011 - 19 11101100

Ν1-Ν2=Ν1+(-Ν2)=Ν1+(συμπλήρωμα προς 2 του Ν2) Αριθμητική Αφαίρεση Η πράξη της αφαίρεσης μετατρέπεται σε πράξη πρόσθεσης με την αλλαγή του προσήμου του αφαιρετέου.  Για δυαδικούς αριθμούς συμπληρώματος ως προς 2 συμπλήρωμα του αφαιρετέου προστίθεται στον μειωτέο. Τυχόν τελικό κρατούμενο αγνοείται.   Ν1-Ν2=Ν1+(-Ν2)=Ν1+(συμπλήρωμα προς 2 του Ν2)   π.χ: (-6) - 7 = (-6) + (-7)   - 6 11111010 - 6 11111001 + (-7) + 11111001 + (-7) + 11111000 - 13 111110011 111110001 αγνοείται +1 - 13 11110010 Στην περίπτωση συμπληρώματος ως προς 1 ισχύουν τα ίδια με πριν, μόνο που τυχόν κρατούμενο προστίθεται στο αρχικό αποτέλεσμα για την παραγωγή του τελικού αποτελέσματος.

π.χ: αριθμοί σε αναπαράσταση συμπληρώματος ως προς 2 με 8 ψηφία Υπερχείλιση Ο αριθμός των ψηφίων, μήκος λέξης, ενός δυαδικού αριθμού είναι περιορισμένος. Εάν το μήκος λέξης είναι n ψηφία και το άθροισμα μετά από μια διαδικασία πρόσθεσης απαιτεί n+1 ψηφία τότε έχουμε υπερχείλιση. Υπερχείλιση έχει συμβεί όταν το ψηφίο προσήμου του αθροίσματος δυο ή περισσότερων αριθμών έχει λανθασμένη τιμή.  π.χ: αριθμοί σε αναπαράσταση συμπληρώματος ως προς 2 με 8 ψηφία    127 01111111 - 96 10100000 + 64 01000000 - 84 10101100 + 191 10111111 -180 01001100   έπρεπε να είναι 0 έπρεπε να είναι 1  Για την αποφυγή της υπερχείλισης απαιτείται σωστός καθορισμός του μήκους λέξης.

1.7 Δυαδικοί Κώδικες Τα ψηφιακά συστήματα αναπαριστούν και επεξεργάζονται όχι μόνο δυαδικούς αριθμούς αλλά γενικά διακριτά στοιχεία πληροφορίας. Κάθε διακριτό στοιχείο πληροφορίας - ξεχωριστό μέλος μιας πεπερασμένης μονάδας - μπορεί να παρασταθεί με έναν δυαδικό κώδικα. Οι κώδικες είναι δυαδικοί καθώς τα ψηφιακά συστήματα (υπολογιστές) μπορούν να χειριστούν τα ψηφία 0 και 1 μόνο. Ένας δυαδικός κώδικας n ψηφίων (bits) αναπαριστά 2n διακεκριμένα στοιχεία πληροφορίας. Αν και ο ελάχιστος αριθμός bits που απαιτείται για την κωδικοποίηση 2n διαφορετικών στοιχείων είναι n, δεν υπάρχει ανώτερο όριο στο πόσα πολλά bits μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για έναν δυαδικό κώδικα.

Δεκαδικοί Κώδικες Για την κωδικοποίηση των δεκαδικών ψηφίων απαιτούνται κώδικες των 4 ψηφίων. (BCD) (Biquinary) Δεκαδικό 8421 Excess-3 8-4-2-1 2421 5043210 0 0000 0011 0000 0000 0100001 1 0001 0100 0111 0001 0100010 2 0010 0101 0110 0010 0100100 3 0011 0110 0101 0011 0101000 4 0100 0111 0100 0100 0110000 5 0101 1000 1011 1011 1000001 6 0110 1001 1010 1100 1000010 7 0111 1010 1001 1101 1000100 8 1000 1011 1000 1110 1001000 9 1001 1100 1111 1111 1010000 O κώδικας BCD (Binary Coded Decimal) είναι μια άμεση αντιστοιχία του δεκαδικού ψηφίου με το δυαδικό του ισοδύναμο π.χ: (395)10 = (110001011)2 = (0011 1001 0101)BCD

Δεκαδικοί Κώδικες ΠΡΟΣΟΧΗ: Υπάρχει μεγάλη διαφορά μεταξύ της μετατροπής ενός δεκαδικού αριθμού στο δυαδικό σύστημα και στη δυαδική κωδικοποίηση ενός δεκαδικού αριθμού.  Οι κώδικες Excess-3, 84-2-1 και 2421 είναι αυτόσυμπληρωματικοί, δηλ. το συμπλήρωμα των αριθμών ως προς 9 βρίσκεται με εναλλαγή των 0 και 1. Ο κώδικας Biquinary επιτρέπει την ανίχνευση σφαλμάτων.

Κώδικες ανίχνευσης σφαλμάτων Κώδικες ανίχνευσης σφαλμάτων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανίχνευση σφαλμάτων που μπορούν να συμβούν κατά τη μετάδοση της πληροφορίας. Μια από τις πιο συνήθης μεθόδους ανίχνευσης σφαλμάτων είναι η χρήση των bits ισοτιμίας (parity bits). Bit ισοτιμίας είναι ένα επιπλέον bit που βάζουμε στα μηνύματα ώστε να κάνει το συνολικό πλήθος των 1 άρτιο (άρτια ισοτιμία) ή περιττό (περιττή ισοτιμία).

Κώδ. Gray Ισοδυν. Δεκαδ Κώδ. Gray Ισοδυν. Δεκαδ. Το πλεονέκτημα το κώδικα Gray, ως προς τους απλούς δυαδικούς αριθμούς, είναι ότι οι αριθμοί στον κώδικα Gray μεταβάλλονται σε ένα μόνο bit κάθε φορά που αυξάνουν κατά ένα. Κώδικας Gray τεσσάρων ψηφίων Κώδ. Gray Ισοδυν. Δεκαδ Κώδ. Gray Ισοδυν. Δεκαδ. 0000 0 1100 8 0001 1 1101 9 0011 2 1111 10 0010 3 1110 11 0110 4 1010 12 0111 5 1011 13 0101 6 1001 14 0100 7 1000 15

Αλφαριθμητικοί Κώδικες Αλφαριθμητικοί κώδικες είναι δυαδικοί κώδικες που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση των γραμμάτων της αλφαβήτου, των δέκα δεκαδικών ψηφίων και ενός αριθμού ειδικών χαρακτήρων. Ο πρώτυπος δυαδικός κώδικας για τους αλφαριθμητικούς χαρακτήρες είναι ο ASCII (American Standard Code for Information Inter-change). - χρησιμοποιεί 7-bits για την κωδικοποίηση 128 χαρακτήρων   - χρησιμοποιεί 94 γραφικούς χαρακτήρες και άλλους 34 χαρακτήρες ελέγχου που δεν τυπώνονται και που χρησιμοποιούνται για διάφορες λειτουργίες

Αλφαριθμητικοί Κώδικες Οι γραφικοί χαρακτήρες περιλαμβάνουν - 26 κεφαλαία γράμματα (Α έως Z) - 26 μικρά γράμματα (α έως z) - τους 10 αριθμούς (0 έως 9) - 32 ειδικούς χαρακτήρες (%, *, $, κ.α.)  * Οι χαρακτήρες ελέγχου χρησιμοποιούνται για δρομολόγηση δεδομένων και για διαμόρφωση του τυπωμένου κειμένου σε συγκεκριμένη μορφή. Για την αποθήκευση ενός ASCII χαρακτήρα στον υπολογιστή, χρησιμοποιείται ένα byte (8 bits). Οι επιπλέον 128 χαρακτήρες χρησιμοποιούνται για άλλα σύμβολα, π.χ. Ελληνικά γράμματα

1.8 Δυαδική Αποθήκευση σε Καταχωρητές Τα δυαδικά διακριτά στοιχεία πληροφορίας αποθηκεύονται σε δυαδικά στοιχεία αποθήκευσης.   Ένα δυαδικό στοιχείο αποθήκευσης είναι μια διάταξη με δυο σταθερές καταστάσεις και συνεπώς είναι ικανή να αποθηκεύσει ένα bit πληροφορίας.

Καταχωρητές Καταχωρητής είναι μια ομάδα δυαδικών στοιχείων αποθήκευσης (δυαδικά κύτταρα) Ένας καταχωρητής με n κύτταρα μπορεί να αποθηκεύσει κάθε διακριτή ποσότητα πληροφορίας που περιέχει n bits. H κατάσταση (state) ενός καταχωρητή είναι μια n-άδα άσσων/μηδενικών, όπου κάθε bit δείχνει την κατάσταση του αντίστοιχού του κυττάρου. Ένας καταχωρητής με n κύτταρα μπορεί να βρίσκεται σε μια από τις 2n δυνατές καταστάσεις. Το περιεχόμενο ενός καταχωρητή εξαρτάται από την ερμηνεία που δίνουμε στην πληροφορία που έχει αποθηκευτεί μέσα σε αυτόν. Σε ένα ψηφιακό σύστημα η πληροφορία αποθηκεύεται σε καταχωρητές ενώ η επεξεργασία της γίνεται από λογικά ψηφιακά κυκλώματα.

Μεταφορά πληροφορίας σε επίπεδο καταχωρητών

Παράδειγμα επεξεργασίας δυαδικής πληροφορίας

Δυαδική λογική ασχολείται με δυαδικές μεταβλητές και λογικές πράξεις 1.9 Δυαδική Λογική Δυαδική λογική ασχολείται με δυαδικές μεταβλητές και λογικές πράξεις Οι δυαδικές μεταβλητές μπορούν να πάρουν δυο και μόνο δυο διακριτές δυνατές τιμές, 0 και 1. Υπάρχουν τρεις βασικές λογικές πράξεις ΑΝD, OR, NOT Λογική πράξη AND xy=z ή xy=z (όπου x,y,z δυαδικές μεταβλητές) z=1 όταν και μόνο όταν x=1 και y=1, διαφορετικά z=0. Λογική πράξη OR x+y=z z=1 αν τουλάχιστον ένα από τα x,y είναι 1. Διαφορετικά είναι 0. Λογική πράξη NOT x = z ή x = z Το z είναι το αντίθετο ή αντίστροφο του x. Αν x=1 τότε z=0, ενώ αν x=0 τότε z=1. 

Πίνακας Αλήθειας Πίνακας αληθείας είναι μια λίστα των τιμών της λογικής πράξης για όλους τους συνδυασμούς των δυαδικών μεταβλητών που εμφανίζονται σε αυτήν. Πίνακας αληθείας των λογικών πράξεων AND OR NOT x y xy x y x+y x x’ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Η χρήση των δυαδικών μεταβλητών και η εφαρμογή της δυαδικής λογικής φαίνονται από το παρακάτω απλό κύκλωμα διακοπτών Δομή AND Δομή OR

Περιοχές Δυαδικών Σημάτων Οι λογικές πύλες είναι ηλεκτρονικά κυκλώματα τα οποία λειτουργούν με ένα ή περισσότερα σήματα εισόδου και παράγουν ένα σήμα εξόδου Τα σήματα εισόδου/εξόδου αντιστοιχούν συνήθως σε συγκεκριμένα επίπεδα τάσης Στην πράξη ωστόσο, αντί για επίπεδα τάσης χρησιμοποιούνται περιοχές τάσης Η τιμή της τάσης ενός ακροδέκτη εισόδου ή εξόδου επιτρέπεται να βρεθεί ανάμεσα στις δυο επιτρεπτές περιοχές μόνο κατά τη μετάβαση από τη μια περιοχή στην άλλη

Λογικές Πύλες Λογικές πύλες είναι τα ηλεκτρονικά ψηφιακά κυκλώματα που εκτελούν τις βασικές λογικές πράξεις Σήματα εισόδου-εξόδου για πύλες AND, OR, NOT

Πύλες Πολλών Εισόδων