Επικαλύπτοντα Δέντρα και Σύνολα Τομής

Επικαλύπτοντα Δέντρα (Spanning Trees) Ένα επικαλύπτον δέντρο ενός γραφήματος G είναι ένα υπογράφημα του G που είναι δέντρο περιέχει όλους τους κόμβους του G

Επικαλύπτοντα Δέντρα Γενικά ένα γράφημα δεν έχει μόνο ένα επικαλύπτον δέντρο Πόσα επικαλύπτοντα δέντρα έχει το παρακάτω γράφημα?

Επικαλύπτοντα Δέντρα Ένα κλαδί ενός επικαλύπτοντος δέντρου είναι μια ακμή του γραφήματος που ανήκει στο δέντρο Μια χορδή ενός επικαλύπτοντος δέντρου είναι μια ακμή του γραφήματος που δεν ανήκει στο δέντρο Το σύνολο των χορδών ενός δέντρου ονομάζεται συμπλήρωμα του δέντρου v2 v2 χορδή κλαδί v1 v3 v1 v3 v5 v5 v4 v4 γράφημα επικαλύπτον δέντρο

Επικαλύπτοντα Δέντρα Ένα συνεκτικό γράφημα πάντα περιέχει (τουλάχιστον) ένα επικαλύπτον δέντρο Αν το γράφημα δεν περιέχει κύκλωμα τότε είναι δέντρο Αν περιέχει ένα ή περισσότερα κυκλώματα, τότε αφαιρώντας μια ακμή από ένα κύκλωμα έχουμε πάλι συνεκτικό (υπο)γράφημα. Μπορούμε να επαναλάβουμε τέτοια αφαίρεση για κάθε κύκλωμα μέχρι να καταλήξουμε σε σε ένα επικαλύπτον δέντρο Αν από ένα επικαλύπτον δέντρο αφαιρέσουμε μια ακμή τότε παύει να είναι συνεκτικό υπογράφημα

Σύνολα Τομής Ένα σύνολο τομής είναι ένα ελάχιστο σύνολο ακμών που αν αφαιρεθεί από ένα γράφημα θα προκύψει ένα υπογράφημα με μεγαλύτερο αριθμό συνεκτικών συνιστωσών Τα γνήσια υποσύνολα ενός συνόλου τομής δεν είναι σύνολα τομής. Γιατί? Σε ένα συνεκτικό γράφημα η αφαίρεση ενός συνόλου τομής χωρίζει το γράφημα σε δύο μέρη. Γιατί?

Σύνολα Τομής (Παράδειγμα) v2 v2 e2 e2 e1 e5 e8 e6 e8 v1 v3 v1 v3 v5 v5 e7 e4 e3 e3 v4 v4 Το σύνολο ακμών {e1,e5,e6,e7,e4} είναι ένα σύνολο τομής

Σύνολα Τομής κι Επικαλύπτοντα Δέντρα Η πρόσθεση μιας χορδής σε ένα επικαλύπτον δέντρο δίνει ένα υπογράφημα που περιέχει ακριβώς ένα κύκλωμα Επειδή ένα επικαλύπτον δέντρο περιέχει ένα μοναδικό μονοπάτι μεταξύ δύο οποιωνδήποτε κορυφών v2 v2 v2 e2 e2 e2 e8 e6 e8 e6 e8 e6 v1 v3 v1 v3 v1 v3 v5 v5 v5 e3 e3 e3 Αδύνατο! v4 v4 v4

Σύνολα Τομής κι Επικαλύπτοντα Δέντρα Για ένα δεδομένο επικαλύπτον δέντρο, ένα μοναδικό κύκλωμα μπορεί να προκύψει με την πρόσθεση μιας οποιασδήποτε χορδής Το σύνολο από e-v+1 κυκλώματα που προκύπτουν με αυτό τον τρόπο ονομάζεται θεμελιώδες σύστημα κυκλωμάτων του επικαλύπτοντος δέντρου Ένα κύκλωμα στο θεμελιώδες σύστημα ονομάζεται θεμελιώδες κύκλωμα Γιατί είναι τόσα???

Σύνολα Τομής κι Επικαλύπτοντα Δέντρα Ένα θεμελιώδες κύκλωμα καλείται πιο συγκεκριμένα θεμελιώδες κύκλωμα ως προς τη χορδή που περιέχει v2 v2 v2 e2 e2 e2 e1 e1 e5 e8 e6 e8 e6 e8 e6 v1 v3 v1 v3 v1 v3 v5 v5 v5 e7 e4 e3 e3 θεμελιώδες κύκλωμα ως προς τη χορδή e1 v4 v4 γράφημα επικαλύπτον δέντρο

Σύνολα Τομής κι Επικαλύπτοντα Δέντρα Για κάθε κλαδί ενός επικαλύπτοντος δέντρου υπάρχει μια διαμέριση των κορυφών του γραφήματος σε δύο υποσύνολα (που αντιστοιχούν στις κορυφές των δύο δέντρων που προκύπτουν από την αφάιρεση της ακμής) Συνεπώς για κάθε κλαδί ενός επικαλύπτοντος δέντρου υπάρχει ένα αντίστοιχο σύνολο τομής v2 v2 v2 e2 e2 e2 e1 e5 e8 e6 e8 e6 e8 e6 v1 v3 v1 v3 v1 v3 v5 v5 v5 e7 e4 e3 e3 v4 v4 v4

Θεμελιώδη Σύνολα Τομής Για ένα δεδομένο επικαλύπτον δέντρο, το σύνολο των v-1 συνόλων τομής που αντιστοιχούν στα v-1 κλαδιά του δέντρου ονομάζεται θεμελιώδες σύστημα συνόλων τομής ως προς το επικαλύπτον δέντρο Ένα σύνολο τομής στο θεμελιώδες σύστημα συνόλων τομής ονομάζεται θεμελιώδες σύνολο τομής Ένα θεμελιώδες σύνολο τομής περιέχει ακριβώς ένα κλαδί του επικαλύπτοντος δέντρου

Θεμελιώδη Σύνολα Τομής Ποια είναι τα θεμελιώδη σύνολα τομής? v2 v2 {e1,e5,e2} {e1,e8,e4} {e1,e5,e6,e7,e4} {e3,e4,e7} e2 e2 e1 e5 e8 e6 e8 e6 v1 v3 v1 v3 v5 v5 e7 e4 e3 e3 v4 v4 γράφημα επικαλύπτον δέντρο

Κυκλώματα και Σύνολα Τομής Ένα κύκλωμα και το συμπλήρωμα οποιουδήποτε επικαλύπτοντος δέντρου πρέπει να έχουν τουλάχιστον μια κοινή ακμή Απόδειξη: Αν υπάρχει ένα κύκλωμα που δεν έχει καμία κοινή ακμή με το συμπλήρωμα ενός επικαλύπτοντος δέντρου τότε το κύκλωμα περιέχεται στο επικαλύπτον δέντρο. Αυτό είναι αδύνατον αφού ένα δέντρο εξ ορισμού δεν μπορεί να περιέχει κύκλωμα

Κυκλώματα και Σύνολα Τομής Ένα σύνολο τομής και οποιοδήποτε επικαλύπτον δέντρο έχουν τουλάχιστον μια κοινή ακμή Απόδειξη: Αν υπάρχει ένα σύνολο τομής που δεν έχει καμία κοινή ακμή με ένα επικαλύπτον δέντρο, η αφαίρεση αυτού του συνόλου τομής θα αφήσει το επικαλύπτον δέντρο άθικτο. Άρα το γράφημα δε θα χωριστεί σε δύο συνιστώσες, το οποίο έρχεται σε αντίφαση με τον ορισμό του συνόλου τομής