Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 1 Τυχαία συνάρτηση Μία τυχαία συνάρτηση (ΤΣ) είναι ένας κανόνας με τον οποίο σε κάθε αποτέλεσμα ζ ενός πειράματος τύχης αντιστοιχείται μία συνάρτηση x(t,ζ) όπου t=(x, y, …, t) ένα διάνυσμα συντεταγμένων στο χώρο των n διαστάσεων, η οποία ονομάζεται υλοποίησή της. Δηλαδή μία ΤΣ είναι μία οικογένεια συναρτήσεων με παράμετρο το ζ. Μία τυχαία συνάρτηση (ΤΣ) είναι ένας κανόνας με τον οποίο σε κάθε αποτέλεσμα ζ ενός πειράματος τύχης αντιστοιχείται μία συνάρτηση x(t,ζ) όπου t=(x, y, …, t) ένα διάνυσμα συντεταγμένων στο χώρο των n διαστάσεων, η οποία ονομάζεται υλοποίησή της. Δηλαδή μία ΤΣ είναι μία οικογένεια συναρτήσεων με παράμετρο το ζ.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 2 Υλοποιήσεις Στο πρώτο σχήμα φαίνονται πολλές υλοποιήσεις της ΤΣ Χ(t) οι οποίες προκύπτουν από ισάριθμες επαναλήψεις του πειράματος τύχης. Στο πρώτο σχήμα φαίνονται πολλές υλοποιήσεις της ΤΣ Χ(t) οι οποίες προκύπτουν από ισάριθμες επαναλήψεις του πειράματος τύχης. Στο δεύτερο σχήμα φαίνονται δύο διαφορετικές υλοποιήσεις μίας ΤΣ σε δύο διαστάσεις. Είναι εμφανής η ομοιότητα μεταξύ των δύο υλοποιήσεων, παρά το γεγονός ότι υπάρχουν τυχαίες διαφοροποιήσεις. Στο δεύτερο σχήμα φαίνονται δύο διαφορετικές υλοποιήσεις μίας ΤΣ σε δύο διαστάσεις. Είναι εμφανής η ομοιότητα μεταξύ των δύο υλοποιήσεων, παρά το γεγονός ότι υπάρχουν τυχαίες διαφοροποιήσεις.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 3 Περιγραφή μίας ΤΣ Για την πλήρη περιγραφή των στατιστικών ιδιοτήτων μίας ΤΣ απαιτείται η γνώση της συνάρτησης F(x 1,…,x n ; t 1,…, t n ) για κάθε x i, t i και n. Για την πλήρη περιγραφή των στατιστικών ιδιοτήτων μίας ΤΣ απαιτείται η γνώση της συνάρτησης F(x 1,…,x n ; t 1,…, t n ) για κάθε x i, t i και n.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 4 Η πράξη Στην πράξη είναι αρκετή η χρησιμοποίηση των ροπών πρώτης και δεύτερης τάξης της Χ(t) : Στην πράξη είναι αρκετή η χρησιμοποίηση των ροπών πρώτης και δεύτερης τάξης της Χ(t) : Συνάρτηση μέσης τιμής m(t) της Χ(t) είναι η μέση τιμή της ΤΜ Χ(t i ) για κάθε t i : Συνάρτηση μέσης τιμής m(t) της Χ(t) είναι η μέση τιμή της ΤΜ Χ(t i ) για κάθε t i : Συνάρτηση συνδιασποράς C(t 1,t 2 ) της ΤΣ X(t) είναι η συνδιασπορά των ΤΜ X 1 και Χ 2 για κάθε συνδυασμό t 1 και t 2 : Συνάρτηση συνδιασποράς C(t 1,t 2 ) της ΤΣ X(t) είναι η συνδιασπορά των ΤΜ X 1 και Χ 2 για κάθε συνδυασμό t 1 και t 2 : C(t 1,t 2 )=Cov(X(t 1 ),X(t 2 )) x t m(t)=c y t m(t)=at 2 x t m(t)=c y t m(t)=at 2

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 5 Ένα παράδειγμα Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση – γεννήτρια τυχαίων αριθμών του Excel δημιουργήστε μία στήλη με 20 κελιά ως μία υλοποίηση της τυχαίας συνάρτησης Χ(t). Ποιά είναι η μέση τιμή της Χ(t); Κάντε το ίδιο και στην διπλανή στήλη. Τί παρατηρείτε στην πρώτη στήλη μετά την δημιουργία της δεύτερης; Τι αποτελεί η δεύτερη στήλη σε σχέση με την Χ(t); Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση – γεννήτρια τυχαίων αριθμών του Excel δημιουργήστε μία στήλη με 20 κελιά ως μία υλοποίηση της τυχαίας συνάρτησης Χ(t). Ποιά είναι η μέση τιμή της Χ(t); Κάντε το ίδιο και στην διπλανή στήλη. Τί παρατηρείτε στην πρώτη στήλη μετά την δημιουργία της δεύτερης; Τι αποτελεί η δεύτερη στήλη σε σχέση με την Χ(t);

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 6 Δομή και συνδιασπορά Σύμφωνα με τα ανωτέρω, μία ΤΣ, η οποία δεν είναι παρά μία ακολουθία ΤΜ με παράμετρο το t, θα έχει στον χώρο Hilbert την μορφή που δίνεται στο σχήμα, όπου, βέβαια, ο περιορισμός σε τρείς διαστάσεις είναι τεχνικός. Σύμφωνα με τα ανωτέρω, μία ΤΣ, η οποία δεν είναι παρά μία ακολουθία ΤΜ με παράμετρο το t, θα έχει στον χώρο Hilbert την μορφή που δίνεται στο σχήμα, όπου, βέβαια, ο περιορισμός σε τρείς διαστάσεις είναι τεχνικός. Τα μήκη και οι σχετικές θέσεις των n διανυσμάτων Χ(t i ), ι=1, …, n καθορίζονται από τον εκάστοτε μη αρνητικά ορισμένο πίνακα συνδιασπορών C n. Τα μήκη και οι σχετικές θέσεις των n διανυσμάτων Χ(t i ), ι=1, …, n καθορίζονται από τον εκάστοτε μη αρνητικά ορισμένο πίνακα συνδιασπορών C n.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 7 Απλουστευμένη εικόνα Στο σχήμα γίνεται μία προσπάθεια περαιτέρω απλούστευσης της παράστασης μίας ΤΣ μέσω ισομορφισμού του χώρου Hilbert προς τον χώρο του κοιτάσματος. Αυτό βέβαια είναι εφικτό μόνον στην περίπτωση που ο χώρος Hilbert έχει μόνον 3 διαστάσεις. Στο σχήμα γίνεται μία προσπάθεια περαιτέρω απλούστευσης της παράστασης μίας ΤΣ μέσω ισομορφισμού του χώρου Hilbert προς τον χώρο του κοιτάσματος. Αυτό βέβαια είναι εφικτό μόνον στην περίπτωση που ο χώρος Hilbert έχει μόνον 3 διαστάσεις.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 8 Μία σημαντική ιδιότητα Επειδή η συνάρτηση συνδιασποράς C(t i,t j ) προσδιορίζει τις τιμές των στοιχείων του Cn, έπεται ότι είναι επίσης μία μη αρνητικά ορισμένη συνάρτηση. Επειδή η συνάρτηση συνδιασποράς C(t i,t j ) προσδιορίζει τις τιμές των στοιχείων του Cn, έπεται ότι είναι επίσης μία μη αρνητικά ορισμένη συνάρτηση. Η ιδιότητα αυτή έχει πολύ μεγάλη πρακτική σημασία εφόσον περιορίζει την κλάση των συναρτήσεων που μπορούν να θεωρηθούν ως μοντέλα συναρτήσεων συνδιασποράς. Η σημασία της θα φανεί στο κεφάλαιο 7. Ο έλεγχος του κατά πόσο μία συνάρτηση είναι μη αρνητικά ορισμένη γίνεται μέσω του μετασχηματισμού Fourier της, δηλαδή του «φάσματός» της, το οποίο πρέπει να είναι μη αρνητικό. Η ιδιότητα αυτή έχει πολύ μεγάλη πρακτική σημασία εφόσον περιορίζει την κλάση των συναρτήσεων που μπορούν να θεωρηθούν ως μοντέλα συναρτήσεων συνδιασποράς. Η σημασία της θα φανεί στο κεφάλαιο 7. Ο έλεγχος του κατά πόσο μία συνάρτηση είναι μη αρνητικά ορισμένη γίνεται μέσω του μετασχηματισμού Fourier της, δηλαδή του «φάσματός» της, το οποίο πρέπει να είναι μη αρνητικό.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 9 Μοντέλα ΤΣ: ΟΣΕ Μία ΤΣ Χ(s) ονομάζεται ομοιογενής υπό την στενή έννοια (ΟΣΕ), εάν οι στατιστικές της ιδιότητες παραμένουν αμετάβλητες σε οποιαδήποτε μετατόπιση της αρχής των αξόνων. Αυτό σημαίνει ότι οι ΤΣ Χ(s) και Χ(s+c) έχουν τις ίδιες στατιστικές ιδιότητες για οποιοδήποτε διάνυσμα c του ευκλείδειου χώρου R d. Μία ΤΣ Χ(s) ονομάζεται ομοιογενής υπό την στενή έννοια (ΟΣΕ), εάν οι στατιστικές της ιδιότητες παραμένουν αμετάβλητες σε οποιαδήποτε μετατόπιση της αρχής των αξόνων. Αυτό σημαίνει ότι οι ΤΣ Χ(s) και Χ(s+c) έχουν τις ίδιες στατιστικές ιδιότητες για οποιοδήποτε διάνυσμα c του ευκλείδειου χώρου R d. f(x;s) = f(x) f(x;s) = f(x) f(x 1,x 2 ; s 1,s 2 ) = f (x 1,x 2 ; h) όπου h = s 1 -s 2 f(x 1,x 2 ; s 1,s 2 ) = f (x 1,x 2 ; h) όπου h = s 1 -s 2

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 10 Μοντέλα ΤΣ: ΟΕΕ Μία ΤΣ Χ(s) ονομάζεται ομοιογενής υπό την ευρεία έννοια (ΟΕΕ) εάν η μέση τιμή της παραμένει σταθερή Μία ΤΣ Χ(s) ονομάζεται ομοιογενής υπό την ευρεία έννοια (ΟΕΕ) εάν η μέση τιμή της παραμένει σταθερή Ε{Χ(s)}=m και η συνάρτηση συνδιασποράς της εξαρτάται μόνον από το διάνυσμα της απόστασης h=s 1 -s 2 και η συνάρτηση συνδιασποράς της εξαρτάται μόνον από το διάνυσμα της απόστασης h=s 1 -s 2 C(s 1,s 2 )=Cov[X(s+h),X(s)]=C(h)

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 11 Μοντέλα ΤΣ: ΙΕΕ Μία ΤΣ Χ(s) ονομάζεται ισοτροπική με την ευρεία έννοια (ΙΕΕ), εάν εκτός των συνθηκών της ΟΕΕ ισχύει: Μία ΤΣ Χ(s) ονομάζεται ισοτροπική με την ευρεία έννοια (ΙΕΕ), εάν εκτός των συνθηκών της ΟΕΕ ισχύει: C(s i,s j ) = C(|s i -s j | = r) = C(|h|)

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 12 Γιατί ΟΕΕ; Η υπόθεση της ΟΕΕ είναι βασική για την εφαρμογή των συμπερασμάτων της θεωρίας των ΤΣ, στις περιπτώσεις που διατίθεται μόνον μία υλοποίηση της ΤΣ, περίπτωση στην οποία εμπίπτουν και σχεδόν όλες οι εφαρμογές της γεωπληροφορικής. Η υπόθεση της ΟΕΕ είναι βασική για την εφαρμογή των συμπερασμάτων της θεωρίας των ΤΣ, στις περιπτώσεις που διατίθεται μόνον μία υλοποίηση της ΤΣ, περίπτωση στην οποία εμπίπτουν και σχεδόν όλες οι εφαρμογές της γεωπληροφορικής. Είναι απαραίτητος ο υπολογισμός μέσων τιμών του τύπου Ε{Χ(s)} για συγκεκριμένο σημείο s, πράγμα αδύνατο εφόσον διατίθεται μόνον μία υλοποίηση της ΤΣ, Είναι απαραίτητος ο υπολογισμός μέσων τιμών του τύπου Ε{Χ(s)} για συγκεκριμένο σημείο s, πράγμα αδύνατο εφόσον διατίθεται μόνον μία υλοποίηση της ΤΣ, Γίνεται η παραδοχή ότι δύο δείγματα στις θέσεις s 1 και s 2 προέρχονται από την ίδια θέση s αλλά από διαφορετικές υλοποιήσεις. Γίνεται η παραδοχή ότι δύο δείγματα στις θέσεις s 1 και s 2 προέρχονται από την ίδια θέση s αλλά από διαφορετικές υλοποιήσεις.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 13 Μοντέλα ΤΣ: ΟΤΣ Εάν δοθεί μία ΤΣ Χ(s), ορίζεται ως ΤΣ των διαφορών της η Εάν δοθεί μία ΤΣ Χ(s), ορίζεται ως ΤΣ των διαφορών της η Χ Δ (s;h)≡ Χ Δ (h)=X(s+h)- Χ(s)όπου το h είναι παράμετρος Μία ΤΣ Χ(s) ονομάζεται ομοιόμορφη (ΟΤΣ) όταν η συνάρτηση διαφορών (~παράγωγος) της είναι ΟΕΕ με μέση τιμή 0. Μία ΤΣ Χ(s) ονομάζεται ομοιόμορφη (ΟΤΣ) όταν η συνάρτηση διαφορών (~παράγωγος) της είναι ΟΕΕ με μέση τιμή 0.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 14 Η συνάρτηση ημιβαριογράμματος Η συνάρτηση αυτή ορίζεται ως Η συνάρτηση αυτή ορίζεται ως Αποδεικνύεται ότι: C(0) - C(h) = γ(h) Αποδεικνύεται ότι: C(0) - C(h) = γ(h) Εφόσον το C(0) είναι σταθερά, συμπεραίνεται ότι κάτω από την υπόθεση ΟΕΕ, η συνδιασπορά και το ημιβαριόγραμμα είναι δύο ισοδύναμα εργαλεία για τον χαρακτηρισμό των συσχετίσεων της ΤΣ

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 15 Τυχαίος βηματισμός Έστω το σύνολο των ενδεχομένων ενός πειράματος ρίψης νομίσματος άπειρες φορές. Οι ρίψεις γίνονται κάθε Τ δευτερόλεπτα, και μετά από κάθε ρίψη γίνεται ένα βήμα μήκους s με κατεύθυνση προς τα αριστερά εάν έρθει κορώνα και προς τα δεξιά αν έρθουν γράμματα. Έστω το σύνολο των ενδεχομένων ενός πειράματος ρίψης νομίσματος άπειρες φορές. Οι ρίψεις γίνονται κάθε Τ δευτερόλεπτα, και μετά από κάθε ρίψη γίνεται ένα βήμα μήκους s με κατεύθυνση προς τα αριστερά εάν έρθει κορώνα και προς τα δεξιά αν έρθουν γράμματα.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 16 Γιατί (ημι)βαριόγραμμα; Ο υπολογισμός της συνάρτησης συνδιασποράς μίας ΟΤΣ δεν είναι πάντοτε εφικτός επειδή δεν εξασφαλίζεται η ύπαρξη πεπερασμένης C(0). Πράγματι, υπάρχουν ΟΤΣ οι οποίες παρουσιάζουν άπειρη δυνατότητα διασποράς όπως αυτή του Τυχαίου Βηματισμού. Η μελέτη μίας ΟΤΣ γίνεται υποχρεωτικά βάσει της συνάρτησης ημιβαριογράμματος, η οποία αντιθέτως μπορεί πάντα να ορισθεί. Ο υπολογισμός της συνάρτησης συνδιασποράς μίας ΟΤΣ δεν είναι πάντοτε εφικτός επειδή δεν εξασφαλίζεται η ύπαρξη πεπερασμένης C(0). Πράγματι, υπάρχουν ΟΤΣ οι οποίες παρουσιάζουν άπειρη δυνατότητα διασποράς όπως αυτή του Τυχαίου Βηματισμού. Η μελέτη μίας ΟΤΣ γίνεται υποχρεωτικά βάσει της συνάρτησης ημιβαριογράμματος, η οποία αντιθέτως μπορεί πάντα να ορισθεί.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 5) 17 Άσκηση Ξεκινώντας από το 0, δημιουργήστε τις 9 υλοποιήσεις της ΤΣ τυχαίου βηματισμού όπως στο σχήμα. Ξεκινώντας από το 0, δημιουργήστε τις 9 υλοποιήσεις της ΤΣ τυχαίου βηματισμού όπως στο σχήμα. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τις βοηθητικές στήλες Μ έως U, υπολογίστε την διασπορά των διαφορών Var{Χ(n 2 T)-X(n 1 T)} για n 1 =0 και παραστήστε την γραφικά. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τις βοηθητικές στήλες Μ έως U, υπολογίστε την διασπορά των διαφορών Var{Χ(n 2 T)-X(n 1 T)} για n 1 =0 και παραστήστε την γραφικά. Συμφωνούν τα αποτελέσματα με όσα είπαμε για τις ΟΤΣ; Συμφωνούν τα αποτελέσματα με όσα είπαμε για τις ΟΤΣ;