Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Καρτεσιανό Γινόμενο
Διατεταγμένο Σύνολο ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα σύνολο δύο στοιχείων (x, y) στο οποίο μπορεί να οριστεί ποιο είναι πρώτο και ποιο δεύτερο λέγεται «διατεταγμένο ζεύγος». ΙΣΟΤΗΤΑ: (x1, y1) = (x2, y2) x1 = x2 & y1 = y2 Συντεταγμένες ονομάζονται οι τιμές x και y.
Καρτεσιανό Γινόμενο ΟΡΙΣΜΟΣ: Καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων Α και Β ονομάζεται το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών (x, y) με x Α και y B . ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: A×B ={(x, y) : x A & y B}
Διατεταγμένη ν-αδα ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα σύνολο S(a1,a2,…,av) ν στοιχείων το οποίο ορίζεται με συγκεκριμένη σειρά λέγεται «διατεταγμένη ν-άδα στοιχείων». ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: Σημείωση: Είναι γενίκευση της δυάδας.
Καρτεσιανό Γινόμενο Ν-Συνόλων Ορισμός: Το σύνολο των διατεταγμένων ν-άδων που ορίζονται από το σύνολο Α1×Α2×…×Αν={(x1,x2,…,xv) : xi Ai, i=1,2,…v} καλείται καρτεσιανό γινόμενο των Α1,Α2,…,Αν. Το στοιχείο xi είναι η i – συντεταγμένη της διατεταγμένης ν-άδας
Παράδειγμα I Έστω τα σύνολα Α={x, y, z} και Β= {a, b, c} Α × B = {x, y, z} x {a, b, c}= = { (x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c), (z, a), (z, b), (z, c) }
Παράδειγμα II Έστω τα σύνολα Α={Μαρία, Μανόλης, Μόνικα} και Β= { , { }} Το γινόμενο Α × B θα ισούται με Α × B = {Μαρία, Μανόλης, Μόνικα} x { , { }}= { (Μαρία, ), (Μαρία, { }), (Μανόλης, ), (Μανόλης, { }), (Μόνικα, ), (Μόνικα, { }) }
Παράδειγμα III Έστω τα σύνολα Α={Μαρία, Μανόλης}, Β= {x,y} και Γ={1,2} Το γινόμενο Α × B × Γ θα ισούται με Α × B × Γ= {Μαρία, Μανόλης} × {x,y} × {1,2} = {(Μαρία, x, 1),(Μαρία, x, 2), (Μαρία, y, 1), (Μαρία, y, 2), (Μανόλης, x, 1),(Μανόλης, x, 2), (Μανόλης, y, 1), (Μανόλης, y, 2),}
Παράδειγμα IV Έστω τα σύνολα Α={Μαρία, Μανόλης, Νίκος}, Β= {x,y} και Γ={1} Το γινόμενο Α × B × Γ θα ισούται με Α × B × Γ= {Μαρία, Μανόλης, Νίκος} × {x,y} × {1}= {(Μαρία, x, 1), (Μαρία, y, 1), (Μανόλης, x, 1), (Μανόλης, y, 1), (Νίκος, x, 1), (Νίκος, y, 1)}