Η μέτρηση της περιμέτρου της Γης

ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ ο Κυρηναίος

Σχολικό βιβλίο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου Σελίδα 29 «Κόσκινο του Ερατοσθένη»

Το κόσκινο του Ερατοσθένη, μία μέθοδος για την εύρεση των πρώτων αριθμών

Βρείτε τα αριθμητικά λάθη στο παραπάνω κείμενο! Ιστορικό σημείωμα: Βρείτε τα αριθμητικά λάθη στο παραπάνω κείμενο!

του Ερατοσθένη του Κυρηναίου (3ος αι. π.Χ.) Βιογραφικά στοιχεία του Ερατοσθένη του Κυρηναίου (3ος αι. π.Χ.) Γεννήθηκε στην Κυρήνη, ελληνική αποικία στη Β. Αφρική.

του Ερατοσθένη του Κυρηναίου (3ος αι. π.Χ.) Βιογραφικά στοιχεία του Ερατοσθένη του Κυρηναίου (3ος αι. π.Χ.) Παρακολούθησε μαθήματα στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα. Τον κάλεσε στην Αλεξάνδρεια ο βασιλιάς Πτολεμαίος ο Γ΄ όπου ανέλαβε τη διεύθυνση της περίφημης Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας Κυρήνη Αθήνα Αλεξάνδρεια

Τα έργα του Ερατοσθένη Όλα τα έργα του χάθηκαν εκτός από λίγα αποσπάσματα που μνημονεύονται από μεταγενέστερους συγγραφείς. Μεταξύ αυτών αναφέρονται έργα: Φιλολογικά Γραμματικά Περί Αρχιτεκτονικής Μαθηματικά Αστρονομικά Γεωγραφικά Στην ποικιλία των πεδίων με τα οποία ασχολήθηκε αποτυπώνεται ο εγκυκλοπαιδικός και διεπιστημονικός χαρακτήρας της επιστήμης των ελληνιστικών χρόνων, κάτι που είναι επίκαιρο πάλι στις μέρες μας και στο χώρο της επιστήμης και στο χώρο της εκπαίδευσης.

Τα έργα του Ερατοσθένη Από τα μαθηματικά έργα του μνημονεύεται ως σημαντική μία πραγματεία με τίτλο «Πλατωνικός» στην οποία περιλαμβάνονταν η περιγραφή μιας συσκευής που έλυνε το περίφημο «Πρόβλημα διπλασιασμού του κύβου» (γνωστό ως Δήλιο πρόβλημα). Η συσκευή ονομάζονταν «Μεσολάβος». Πληροφορίες για αυτήν έχουμε από τον σχολιαστή του Αρχιμήδη Ευτόκιο (6ος αιώνας μ.Χ.) (Πηγή: Αρχιμήδους Άπαντα, τόμος 3ος, Heimberg, Λειψία, 1915) Λεπτομέρειες για αυτό το θέμα υπάρχουν στο κείμενο του Ευάγγελου Σταμάτη που είναι αναρτημένο στην ιστοσελίδα του Σχολείου.

Διασωθέντα αποσπάσματα από τα Γεωγραφικά του Ερατοσθένη Έκδοση στα λατινικά του 1789 στο Goetting της Γερμανίας (Bibliotheca Regia Monagencis)

Ανακατασκευή χάρτη του Ερατοσθένη του γνωστού κόσμου της εποχής του (194 π.Χ.), του 19ου αιώνα (1883) Πηγή: Bunbury, E.H. (1811-1895), A History of Ancient Geography among the Greeks and Romans from the Earliest Ages till the Fall of the Roman Empire. London: John Murray, 1883. Digital original:

Η μέτρηση του μήκους της Γης Ένα πρόβλημα που έλυσε με μία ευφυή μέθοδο ο Ερατοσθένης, που αποτελεί εξαιρετικό παράδειγμα εφαρμογής της υποθετικο-παραγωγικής μεθόδου της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Η μέθοδος αυτή διασώθηκε από τον αστρονόμο Κλεομήδη (1ος-2ος αιώνας μ.Χ.) στο έργο του «Κυκλική θεωρία μετεώρων».

Τα δεδομένα που χρησιμοποίησε για τη λύση του προβλήματος Η Αλεξάνδρεια και η Συήνη (σημερινό Ασσουάν) της Αιγύπτου ανήκουν στον ίδιο μεσημβρινό της Γης, συνεπώς έχουν μεσημέρι την ίδια χρονική στιγμή. Η απόσταση Συήνης – Αλεξάνδρειας είναι 5000 στάδια (λέγεται ότι ο βασιλιάς Πτολεμαίος διέθεσε στον Ερατοσθένη το Σώμα των βηματιστών για να μετρήσει την απόσταση των δύο πόλεων). Οι ακτίνες του ήλιου που πέφτουν στη Γη είναι πρακτικά παράλληλες. Αν δύο παράλληλες τέμνονται από μία τρίτη ευθεία τότε οι εντός εναλλάξ γωνίες που σχηματίζονται είναι ίσες. Τόξα που αντιστοιχούν σε ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν τον ίδιο λόγο προς τα μήκη των κύκλων στους οποίους ανήκουν. Πηγή: Διδακτική της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, Θωμαίδης & Πούλος, 2000)

Τα δεδομένα που χρησιμοποίησε για τη λύση του προβλήματος Ο Ερατοσθένης χρησιμοποίησε επίσης την εμπειρική παρατήρηση ότι οι ακτίνες του ήλιου πέφτουν κάθετα στη Συήνη το μεσημέρι της ημέρας του θερινού ηλιοστασίου (21 Ιουνίου). Υποθέσεις για το πώς έγινε αυτή η παρατήρηση είναι οι εξής: Ο δείκτης (γνώμονας) του ηλιακού ρολογιού δεν ρίχνει καμία σκιά τη συγκεκριμένη μέρα και ώρα. Οι ακτίνες του ηλίου φωτίζουν τον πυθμένα ενός πηγαδιού τη συγκεκριμένη μέρα και ώρα.

Έτσι, η προέκταση της ακτίνας του ηλίου διέρχεται από το κέντρο της Γης.

Την ίδια στιγμή, στην Αλεξάνδρεια, οι ακτίνες του ήλιου ρίχνουν σκιά με τη βοήθεια της οποίας μπορεί να υπολογιστεί η γωνία φ. Ο Ερατοσθένης υπολόγισε ότι αυτή η γωνία αντιστοιχεί σε τόξο ίσο με το 1/50 του κύκλου (δηλ. 7ο και 2΄). Επειδή οι ακτίνες του ήλιου είναι παράλληλες και οι γωνίες φ και θ είναι εντός εναλλάξ, άρα θα είναι ίσες, οπότε, η γωνία θ αντιστοιχεί επίσης στο 1/50 του αντίστοιχου μέγιστου κύκλου της Γης. Άρα, το τόξο Συήνη – Αλεξάνδρεια είναι το 1/50 της περιφέρειας της Γης, οπότε η περιφέρεια της Γης θα είναι 50 επί 5000, δηλαδή 250000 στάδια.

Η ακρίβεια της μέτρησης του Ερατοσθένη δεν μπορεί να εκτιμηθεί με βεβαιότητα αφού δεν είναι γνωστό ποιο στάδιο χρησιμοποίησε. Αν χρησιμοποίησε το αττικό στάδιο (184,98 μ.) τότε υπολόγιζε την περιφέρεια της Γης σε 46615 χμ. Αν χρησιμοποίησε το οδοιπορικό στάδιο (157,50 μ.) τότε υπολόγισε την περιφέρεια σε 39690 χμ. Σε οποιαδήποτε περίπτωση η ακρίβεια της μέτρησης είναι αξιοσημείωτη αφού σήμερα η περιφέρεια της Γης υπολογίζεται σε 40007,86 χμ. ενώ κατά τη Γαλλική επανάσταση είχε οριστεί στα 40000 χμ. Όμως, αυτό που είναι περισσότερο σημαντικό από την ακρίβεια της μέτρησης είναι η αποδεικτική αξία της μεθόδου που χρησιμοποίησε.

ΤΕΛΟΣ