Μία εργασία (project) του Β2 τμήματος του 2ου ΓΕΛ Λευκάδας 2012-2013 Ο χρυσός αριθμός φ Μία εργασία (project) του Β2 τμήματος του 2ου ΓΕΛ Λευκάδας 2012-2013

Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; Υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί κατά μία μονάδα; Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

Υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε εάν τον ελαττώσεις κατά μία μονάδα να αντιστραφεί; Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

3. Χωρίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο κομμάτια 3. Χωρίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο κομμάτια. Στη γλώσσα της γεωμετρίας λέμε ότι κάνουμε μια ΤΟΜΗ η οποία είναι ΧΡΥΣΗ εφόσον ο λόγος του μεγάλου προς το μικρό είναι ίσος με το λόγο ολόκληρου προς το μεγάλο. Ποια είναι η τιμή αυτού του λόγου;

4. Το κανονικό δεκάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο 4. Το κανονικό δεκάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Η ακτίνα του κύκλου είναι βέβαια μεγαλύτερη από την πλευρά του. Πόσες φορές;

Η ακολουθία Fibonacci 1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025 . . Καθένας από τους όρους της προκύπτει από το άθροισμα των δύο που προηγούνται. αν = αν-1 + αν-2 .

Αν φτιάξουμε μια ακολουθία με όρους τους λόγους των διαδοχικών όρων της ακολουθίας θα διαπιστώσουμε ότι «συγκλίνει» σε κάποιο αριθμό. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

 Δοκίμασε το πρώτο . Υπόθεσε ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο x x2 = x + 1 x2-x-1= 0 x=  Δοκίμασε το δεύτερο . Υπέθεσε ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο y y – 1 = 1/y y =

 Δοκίμασε το τρίτο. Υπέθεσε ότι ο ζητούμενος λόγος είναι ίσος με τον αριθμό z ή α(α-β) = β 2 ή α 2– αβ –β 2= 0 ή α2 – αβ –β 2 = 0 (α/β) 2 - (α/β) –1 = 0 z2–z-1 = 0

Δοκίμασε να απαντήσεις στο τέταρτο Δοκίμασε να απαντήσεις στο τέταρτο. Σχεδίασε το δεκάγωνο και δες ότι κάθε ισοσκελές τρίγωνο που δημιουργείται με μία πλευρά (L) του δεκάγωνου και δύο ακτίνες (R) στα άκρα της είναι ισοσκελές με γωνία κορυφής 360 , οπότε οι δύο άλλες γωνίες του είναι 720. Φέρνοντας τη διχοτόμο της ΟΑΒ δες ότι η γωνία ΟΑΔ θα είναι 360 και η ΟΔΒ = 720 άρα τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΔΑΒ θα είναι όμοια και ισχύει ΟΑ/ΑΒ = ΑΔ/ΔΒ . Αλλά ΟΑ =R ΟΔ=ΑΔ=ΑΒ=L και ΔΒ= R-L , οπότε R/ L = L/ R-L R2- RL- L2 = 0 R = L (1+5) /2 Η ακτίνα του κύκλου είναι φορές μεγαλύτερη από την πλευρά του κανονικού δεκαγώνου

 Το πέμπτο αντιμετώπισε το με ένα κομπιουτεράκι. Υπολόγισε τις τιμές αυτών των λόγων και δες ότι : 2/1 = 2 3/2 = 1,5000000 5/3 = 1,666666 8/5 = 1,6000000 13/8 = 1,6250000 21/13 = 1,6153846 ……….2584/1597=1,6180338 …………….. …………... 10946/6765 = 1,6180339 Διαπίστωσε ότι από τον λόγο 2584/1597 και μετά, το κομπιουτεράκι σου δείχνει συνεχώς έναν αριθμό ο οποίος συμπίπτει σε εννέα δεκαδικά ψηφία με τον αριθμό φ. Και είναι γεγονός ότι το όριο της ακολουθίας που έχεις δημιουργήσει είναι ο φ.

Το γενικό συμπέρασμα Σε όλες τις περιπτώσεις ο ζητούμενος αριθμός είναι ίσος με (1+5) /2 ή με επτά δεκαδικά ψηφία ίσος με 1, 6180339. . . ο αριθμός αυτός διεθνώς συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα φ Είναι ο λεγόμενος ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ή ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ.

Με κανόνα και διαβήτη Κατασκευή Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές ΑΒ=λ και BC = λ/2, οπότε η υποτείνουσα AC θα είναι 5λ/2. Με το διαβήτη χαράσσουμε έναν κύκλο κέντρου C και ακτίνας λ/2, οπότε προσδιορίζεται το σημείο D, σημείο τομής του κύκλου και της AC. Με κέντρο το Α χαράσσουμε έναν κύκλο ακτίνας AD, ο οποίος τέμνει την ΑΒ στο σημείο S. Εύκολα αποδεικνύεται ότι ΑΒ/ΑS = 5+1 ότι το S δηλαδή τέμνει την ΑΒ με χρυσή τομή.

α β γ Χρυσό ορθογώνιο Το χρυσό ορθογώνιο έχει λόγο των πλευρών του ίσο με φ. α/β = φ Αν του αποκόψουμε ένα τετράγωνο με πλευρά β, το ορθογώνιο με πλευρές β, γ που θα απομείνει θα είναι και πάλι χρυσό, θα είναι δηλαδή β/γ = φ και αυτό θα συνεχίζεται επ’ άπειρον.

Χρυσό σπιράλ, κοχύλια και ηλιοτρόπια Εάν σχεδιάσουμε πάνω στο αρχικό ορθογώνιο τις τομές και σε κάθε τετράγωνο που δημιουργείται σχεδιάσουμε τα αντίστοιχα τεταρτοκύκλια θα έχουμε αρχίσει να φτιάχνουμε το χρυσό ελικοειδές, το σπιράλ που σχεδιάζει η φύση και το διακρίνουμε : στα κουκουνάρια, στα κοχύλια, στα ηλιοτρόπια και στους τρόπους με τους οποίους διευθετούνται τα πέταλα, τα φύλλα και τα κλαδιά ποικίλων προσωρινών κατοίκων της γήινης βιόσφαιρας.

 Μαθηματικός τύπος Η χρυσή τομή δίνει το σημείο που πρέπει να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα, ώστε ο λόγος του ως προς το μεγαλύτερο τμήμα να ισούται με τον λόγο του μεγαλύτερου τμήματος ως προς το μικρότερο. Η εξίσωση αυτή έχει μόνο μία θετική ρίζα, την φ = 1.618033988749895

Ανθρωπολόγοι Αρχαιολόγοι Βιολόγοι Ερευνητές Καλλιτέχνες Η τάξη για την εργασία αυτή χωρίσθηκε σε πέντε (5) ομάδες με σκοπό την καλύτερη συνεργασία και ανάλογα με τους τομείς που έπρεπε η κάθε μια να ερευνήσει Ανθρωπολόγοι Αρχαιολόγοι Βιολόγοι Ερευνητές Καλλιτέχνες

Ανθρωπολόγοι Λάζαρη Ελευθερία Λάζαρη Λαμπρινή Μικρώνη Θεοδώρα Περδικάρη Ηλιάνα

Το ανθρώπινο σώμα έχει δομηθεί και αναπτύσσεται σε αναλογίες Φ. Το ανθρώπινο σώμα έχει δομηθεί και αναπτύσσεται σε αναλογίες Φ.   Ο αριθμός φ βρίσκεται στις διαστάσεις, του σώματος, του προσώπου, των δοντιών, του στόματος, των χειλιών και ακόμη και στο χαμόγελό μας.

Το ανθρώπινο κεφάλι είναι περικυκλωμένο από ένα χρυσό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, το οποίο έχει το κέντρο του στα μάτια. Με αυτό τον τρόπο δημιουργείται η ομορφιά του προσώπου. η θέση των φρυδιών, της μύτης και του στόματος ταιριάζουν στην χρυσή αναλογία όταν κοιτάζεις το κεφάλι από το πλάι.

Αν οι αναλογίες ενός προσώπου ή ενός σώματος, είναι ιδανικές τότε αν μετρήσεις: την απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού μέχρι το πάτωμα και τη διαιρέσεις με την απόσταση από τον αφαλό μέχρι το πάτωμα προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός. την απόσταση από τον ώμο μέχρι τις άκρες των δακτύλων του χεριού και τη διαιρέσεις με την απόσταση από τον αγκώνα μέχρι τις άκρες των δακτύλων προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός.

αν μετρήσεις: την απόσταση από τον ώμο μέχρι τις άκρες των δακτύλων του χεριού και τη διαιρέσεις με την απόσταση από τον αγκώνα μέχρι τις άκρες των δακτύλων προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός

Αν μετρήσεις την απόσταση από τις ρίζες των μαλλιών μέχρι το πηγούνι και τη διαιρέσεις με την απόσταση από την βάση της μύτης (ανάμεσα από τα μάτια) μέχρι το πηγούνι ή με το πλάτος του προσώπου (από ζυγωματικό σε ζυγωματικό), προκύπτει  πάντα ο ίδιος αριθμός.

Αν  μετρήσεις την απόσταση από τη μια μεριά των γοφών ως την άλλη και τη διαιρέσεις με την απόσταση από τη μια μεριά της μέσης ως την άλλη προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός Αν μετρήσεις το πλάτος του στόματος από και το διαιρέσεις με το πλάτος της μύτης προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός

Αρχαιολόγοι Κονιδάρης Βελισσάριος Μαραγκάκης Μανώλης Μπακομιχάλης Ιωάννης Παππάς Βασίλης Περιστέρης Θοδωρής

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η χρήση του αριθμού φ στην αρχαία Ελλάδα είναι εντυπωσιακή. Ο Παρθενώνας έχει κατασκευαστεί με αναλογίες του χρυσού αριθμού φ. Η βάση και το ύψος της πρόσοψης του, αν συνυπολογίσει κανείς και το τμήμα του αετώματος που λείπει, έχουν λόγο ίσο με τον χρυσό αριθμό φ.

Αλλά και στο αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου, και συγκεκριμένα στην διάταξη των διαζωμάτων, υπάρχει το φ.

Την αρμονικότητα που αποπνέουν τα διάφορα «χρυσά» σχήματα και αναλογίες τη γνώριζαν και αρκετοί άλλοι λαοί του αρχαίου κόσμου. Το ύψος της μεγάλης πυραμίδας της Γκίζας βρίσκεται σε αναλογία Φ με τη βάση της.

Αλλά και στην Αμερική, στα μυστηριώδη οκταγωνικά ερείπια στο Newark του Ohio, η ηλικία των οποίων ανάγεται σε τουλάχιστον 2500 ετών, εμπεριέχεται ο χρυσός αριθμός φ.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Είναι πάρα πολλά τα παραδείγματα στην ελληνική γλώσσα που μία λέξη ισούται με κάποια άλλη λεξαριθμητικά και ενώ έχουν διαφορετικό νόημα ως αυτόνομες λέξεις σαν λεξάριθμοι σχηματίζουν ένα νόημα και σχετίζονται άμεσα με τον χρυσό αριθμό φ.

ΧΡΟΝΟΣ Κατά την θερινή τροπή στις 21 Ιουνίου, στους Δελφούς έχουμε διάρκεια ημέρας 14 ώρες και 50 λεπτά ακριβώς. Η νύκτα είναι 9 ώρες και 10 λεπτά. Ο λόγος 14 50' / 9 10' δίνει τον 1.618 δηλαδή τον χρυσό αριθμό φ. Έτσι οι Δελφοί είναι ομφαλός, ομφαλός όχι χώρου αλλά χρόνου.

Βιολόγοι Λιάλιος Ευάγγελος Λιοπύρης Μιχάλης Μπιλοκούρ Βλαντίκ Πετρουλής Βασίλης

Μια εμφάνιση του χρυσού αριθμού φ βρίσκεται στα ζώα Μια εμφάνιση του χρυσού αριθμού φ βρίσκεται στα ζώα. Στα ζώα συναντάμε τον χρυσό αριθμό φ είτε ενσωματωμένο στη φυσική προστασία τους (π.χ. κέλυφος), είτε στα αριθμητικά χαρακτηριστικά του σώματος τους (π.χ. αναλογίες).

Η σπείρα Τα κοχύλια του Ναυτίλου. Πιθανώς, το πιο διάσημο που χρησιμοποιείται για τις αναλογίες του Φι, είναι το κέλυφος του Ναυτίλου, που τηρεί άμεσα την Χρυσή Σπείρα.

Η ουρά του Χαμαιλέοντα Αρχίστε με μια ουρά που είναι ουσιαστικά ένας μακρύς κυλινδρικός κώνος, και τυλίξτε τον σφιχτά. Το αποτέλεσμα είναι παρόμοιο με τη σπείρα. Όσο η ουρά μεγαλώνει, η αναλογία παραμένει πάντα η ίδια.

Τα φυτά Όπως στα ζώα έτσι και στα φυτά μπορούμε να εντοπίσουμε το χρυσό αριθμό φ. Στα φυτά έχει βρεθεί ότι η χρυσή αναλογία εμφανίζεται κυρίως στην ανάπτυξη των βελόνων καθώς και στον αριθμό και στη διάταξη των πετάλων.

Τα κλαδιά Στον μεγαλύτερο αριθμό των φυτών, ένα συγκεκριμένο κλαδί θα μεγαλώσει από τον κορμό περίπου κατά 137,5 μοίρες γύρω από τον βλαστό σε σχέση με το προηγούμενο. Άρα όταν ένα κλαδί αναπτύσσεται έξω από το φυτό, το φυτό μεγαλώνει αναλογικά και στη συνέχεια βγάζει ένα άλλο κλαδί που περιστρέφεται κατά 137,5 μοίρες σε σχέση με την κατεύθυνση που είχε το πρώτο .

Ερευνητές Κολλόκα Ειρήνη Κούρτη Θεοδώρα Λάζαρη Διονυσία Λάζαρη Φωτεινή Μελά Ματίνα

Πού αλλού φαντάζεστε ότι συναντάται η χρυσή τομή ; Η ομάδα των ερευνητών αναζήτησε την ύπαρξη του αριθμού Φ σε διάφορες πτυχές του κόσμου. Στις καρτέλες που ακολουθούν παρουσιάζονται μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα :

Αν θέλει κανείς να δει ένα χρυσό ορθογώνιο αρκεί να κοιτάξει μια πιστωτική κάρτα το σχήμα της οποίας είναι ακριβώς αυτό.

Η εμφάνιση του αριθμού φ στο σχήμα της τηλεόρασης μας ικανοποιεί αισθητικά. Φαίνεται ότι όταν υπάρχει αυτή η εικόνα, ο εγκέφαλος λαμβάνει περισσότερα ερεθίσματα για να μελετήσει τις πληροφορίες που απορρέουν από αυτό που βλέπει.

Ο αριθμός Φ στο Κοράνι Η λέξη Κοράνι, πιο σωστά στα Αραβικά Κουράν - Qur'an, προέρχεται από το ρήμα κάρα'α - qara'a που σημαίνει, απαγγέλλω κι αποτελείται από 114 κεφάλαια (Σούρα). Ο αριθμός 114 είναι διαιρετέος με το 19, ήτοι 19*6=114. Το 114 προκύπτει από τη διαίρεση του κύκλου με το π, ήτοι 360/π, όπου π=3,14159 και το 19 εκτός του ότι είναι ο Μετωνικός Αριθμός, προκύπτει επίσης σαν δεκαπλάσιο του π/Φ, όπου Φ=1,618034

Ο Χρυσός Αριθμός Φ στους Ημικρυστάλλους Η επιφάνειά των ημικρυστάλλων αποτελείται από έδρες με δύο διαφορετικά ύψη. Όταν τα ύψη αυτά μετρήθηκαν μ’ ένα ακριβέστατο μικροσκόπιο οι ερευνητές έκπληκτοι ανακάλυψαν ότι : ο λόγος του μεγαλύτερου ύψους προς το μικρότερο είναι ακριβώς 1,618... Η θεωρία των ερευνητών είναι ότι ο κρύσταλλος έχει τη μεγαλύτερη σταθερότητα, όταν υπάρχει αυτή ακριβώς η σχέση.

Ο Χρυσός Αριθμός Φ στον Πύργο των Τηλεπικοινωνιών CN Ο Πύργος Τηλεπικοινωνιών (CN Tower) στο Τορόντο, ο ψηλότερος πύργος στον κόσµο, περιλαμβάνει τη χρυσή τοµή στο σχεδιασµό του. Ο λόγος του συνολικού ύψους του, 553,33 µέτρα , προς το ύψος του είναι 342 µέτρα , είναι 1,618 δηλαδή ο αριθμός φ.

Οι πλανήτες «χωρίζονται» σε ζώνες ανά τρείς, η ακολουθία αλλάζει από τριάδα σε τριάδα. Πιθανή έκρηξη του Πλανήτη μετά τον Άρη να διατάραξε την ισορροπία φ μεταξύ των πλανητών και να τους οδήγησε σε νέες τροχιές –ισορροπίες- μεταξύ τους, ο Δίας ως κοντινός πλανήτης επηρεάσθηκε περισσότερο από όλους.

Έστω ότι παίρνουμε μία ακτίνα της γης (ίση με 1) και μία άλλη γραμμή από το κέντρο της γης μέχρι το κέντρο της σελήνης (η οποία θα ισούται με την ρίζα του φ). Αν ενώσουμε τα άκρα αυτών των 2 ευθυγράμμων τμημάτων τότε σχηματίζεται ένα χρυσό τρίγωνο με διστάσεις που σχετίζονται με τη χρυσή αναλογία, όπως φαίνεται στην Εικόνα 2. Εικόνα 2 : Το χρυσό τρίγωνο που συνδέει τη γη με τη σελήνη

Η ελληνική γλώσσα είναι καθαρά μαθηματική γλώσσα Η ελληνική γλώσσα είναι καθαρά μαθηματική γλώσσα. Είναι πάρα πολλά τα παραδείγματα που μία λέξη ισούται με κάποια άλλη λεξαριθμητικά και ενώ έχουν διαφορετικό νόημα ως αυτόνομες λέξεις σαν λεξάριθμοι σχηματίζουν ένα νόημα και σχετίζονται άμεσα με τον χρυσό αριθμό φ αλλά και το π=3.14 . Σε καμία άλλη γλώσσα δεν ισχύει κάτι παρόμοιο..

Το ότι η μελέτη των αρχαίων Ελληνικών έχει αποδειχθεί ότι βοηθά στην ανάπτυξη νευρώνων του εγκεφάλου είναι αποτέλεσμα της πολυπλοκότητας κατασκευής της. Με την βοήθεια των φ και π και των πράξεων μεταξύ των λέξεων λειτουργεί και σαν μέσο κρυπτογράφησης

Καλλιτέχνες Μπακομιχάλη Βάσια Οικονομίδη Εφη Παξινού Πανωραία Παπαδόπουλος Νίκος Παπαδοπούλου Αναστασία

Ο αριθμός Φ Ο χρυσός αριθμός φ , ανιχνεύθηκε για πρώτη φορά από τους αρχαίους Έλληνες οι οποίοι παρατήρησαν ότι όλα πάνω στην γη, από τα φυτά μέχρι το ίδιο το ανθρώπινο σώμα, αναπτύσσονται βάσει μίας αναλογίας.

Το Φ στην αρχιτεκτονική Οι αρχαίοι Έλληνες το θεωρούσαν απαραίτητο για ένα αντικείμενο ώστε αυτό να φαίνεται «όμορφο». Η χρησιμοποίησή του σε καλλιτεχνικά δημιουργήματα και κατασκευές (γενικά) οδηγούσε σε «άριστα» και «ωραία» αποτελέσματα Ο Φειδίας το χρησιμοποίησε πάρα πολύ στα έργα του. Ειδικότερα ο Παρθενώνας παρουσιάζει τόσο τέλεια αρμονικές (χρυσές) αναλογίες μέχρι την παραμικρή του λεπτομέρεια, ώστε του προσδίδουν μια μνημειώδη μεγαλοπρέπεια και πρωτοφανή χάρη, που εντυπωσίαζε τους επισκέπτες της Ακρόπολης τον καιρό εκείνο.

Το Φ στην τέχνη Αργότερα ο Leonardo Da Vinci ζωγράφισε το πρόσωπο της Mona Lisa ώστε αυτό να χωράει τέλεια σε ένα χρυσό ορθογώνιο και δόμησε τον υπόλοιπο πίνακα γύρω από το πρόσωπο χωρίζοντάς τον επίσης σε χρυσά ορθογώνια.

Η Χρυσή Τομή χρησιμοποιήθηκε εκτενώς από το Leonardo Da Vinci

Το Φ στη μουσική Ο Mozart διαίρεσε μεγάλο αριθμό από τις σονάτες του σε δύο μέρη, η χρονική αναλογία των οποίων αντιστοιχεί στη χρυσή τομή, τον αριθμό φ, αν και υπάρχει σημαντική διχογνωμία για το κατά πόσο αυτό έγινε σκόπιμα.

Επίλογος Φυσικά και όλα αυτά που αναφέραμε είναι μία απλή καταγραφή όσων μπορέσαμε να βρούμε στον περιορισμένο χρόνο ενός σχολικού τετράμηνου , ας τα διαβάσουμε και ας κρατήσουμε ότι "αυτός ο κόσμος δεν μπορεί να είναι κάτι τυχαίο" , όπως τυχαίο δεν είναι ότι τόσες και διαφορετικές μεταξύ τους επιστήμες χρησιμοποιούν τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ Φ .

Ξεχάστε ότι έχετε διαβάσει , απλά όταν μελλοντικά βρεθείτε στο δίλημμα να κατασκευάσετε κάτι .... όταν δείτε κάτι ωραίο .... πάρτε την μεζούρα... και το μολύβι , κάντε τις πράξεις και βγάλτε τα συμπεράσματα σας . Υπεύθυνος καθηγητής : Χαλικιάς Θεόδωρος ΠΕ03