ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΦΥΣ 685 – ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΑΝΟΙΞΗ 2013 Διδάσκων: Γρηγόριος Ίτσκος. Γραφείο: B233, Πτέρυγα Ε, Όροφος -2, Τμήμα Φυσικής E-mail: itskos@ucy.ac.cy Ώρες Μαθημάτων: Πέμπτη 15:30-19:30 Ιστοσελίδα Μαθήματος: http://www.ucy.ac.cy/goto/physics/el-GR/PHYS685.aspx Εργαστηριακός Χώρος: Εργαστήριο Οπτικής B101 Εργαστηριακές Σημειώσεις: Θα δίνονται από τον διδάσκοντα στο εργαστήριο της πρoηγούμενης εβδομάδας

Ύλη Μαθήματος: Εισαγωγή – Πειραματικές Μέθοδοι – Ανάλυση Δεδομένων, Σφαλμάτων 2. Επίδειξη Πειράματoς - Υπόδειγμα Αναφοράς 3. Φυσική της Καθημερινότητας -Διακρότημα, καμπύλες Lissajous, ανάλυση φωνής με παλμογράφο -Εξοικονόμηση θερμότητας σε μοντέλο σπιτιού -Μέτρηση διαστάσεων μικρών αντικειμένων με περίθλαση -Φασματοσκόπιο από CD -Μέτρηση ταχύτητας φωτός με την μέθοδο του Φουκώ -Κατασκευή συμβολομέτρου 4. Μοντέρνα Φυσική -Μέτρηση ενεργειακού χάσματος με φασματοσκοπία απορρόφησης -Αρχής λειτουργίας ενός ηλιακού κυττάρου -Ηλεκτρονικός/Πυρηνικός Συντονισμός -Πως λειτουργούν τα LEDs, Lasers 5. Παρουσιάσεις εργαστηριακών ομάδων

Αξιολόγηση 30% Εργαστηριακές Αναφορές Μέσος όρος από τις αναφορές όλων των εργαστηριακών ασκήσεων 20% Παρουσιάσεις Παρουσιάσεις (ppt, δύο συνολικά) ανά εργαστηριακή ομάδα. Η πρώτη (20-25 min) επί άσκησης του Α’ κύκλου, θα πραγματοποιηθεί σε ώρα εργαστηρίου. Η δεύτερη (40-45 min) επί άσκησης του Β’ κύκλου θα πραγματοποιηθεί την 13η εβδομάδα 50% Τελική εξέταση Σχεδιασμός και διεκπεραίωση πειράματος, ανάλυση πειραματικών δεδομένων, απάντηση σε ερωτήσεις σχετικές με τις εργαστηριακές ασκήσεις

Βιβλιογραφία που μπορεί να φανεί χρήσιμη: Σακκόπουλος, "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων - Θεωρία Σφαλμάτων", Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών Taylοr, "An Intrοductiοn tο Errοr Analysis", Uniνersity Science Bοοks, H.D. Young, “Πανεπιστημιακή Φυσική”, Εκδόσεις Παπαζήση P. Hewitt, “Οι Έννοιες της Φυσικής”, Τόμος 1-3, Πανεπ. Εκδόσεις Κρήτης B. Streetman, S. Banerjee, “Solid State Electronic Devices”, Prentice Hall Charles Kittel, “Introduction to Solid State Physics”, Wiley Σκοπός Μαθήματος Εξοικείωση με προχωρημένες πειραματικές μεθόδους, ανάλυση δεδομένων και θεωρία σφαλμάτων Ανάπτυξη πειραματικής κριτικής σκέψης και αυτοσχεδιασμού. Πρακτική στο στήσιμο πειραμάτων Εισαγωγή σε αυτοματοποίηση μετρήσεων και εφαρμογή σε πειράματα Εξοικείωση με σύγχρονα θέματα στερεάς κατάστασης, οπτοηλεκτρονικής και επιστήμης υλικών.

Υποχρεώσεις Μαθήματος - Η παρουσία και συμμετοχή στα εργαστήρια είναι υποχρεωτική. Δεν επιτρέπονται απουσίες πέρα από σοβαρούς λόγους και μετά από συνεννόηση. Σε αυτήν την περίπτωση η απουσία αναπληρώνεται με την πρώτη ευκαιρία. Πέρα της μιας απουσίας ισοδυναμεί με αυτόματη αποτυχία Προετοιμαστείτε για το εργαστήριο. Η προετοιμασία περιλαμβάνει μελέτη των σημειώσεων που σας δίνονται (θεωρία, διατάξεις, μεθοδολογία) αλλά και περαιτέρω προετοιμασία, έρευνα (βιβλιογραφία, internet) και κριτική σκέψη επί του πειράματος. -Κάθε πειραματική ομάδα (2 ατόμων) καλείται να συνεργαστεί και να δουλέψει στο πείραμα ανεξάρτητα από τις άλλες ομάδες. Κάθε ομάδα καταγράφει στο log-book της, μετρήσεις και σχόλια για την άσκηση. -Ως μεταπτυχιακοί φοιτητές, αναμένεται να σκεφτείτε κριτικά, να αυτοσχεδιάσετε και να προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας πιθανά προβλήματα στην πειραματική διαδικασία.

Υποχρεώσεις Μαθήματος -Το γράψιμο της αναφοράς απαιτεί συλλογική προσπάθεια από τα όλα τα άτομα της ομάδος. Αντιγραφή στις αναφορές είναι ανεπίτρεπτη και έχει συνέπειες (μηδενισμός). Ενθαρρύνεται το γράψιμο της αναφοράς σε Η/Υ. -Γραφικές παραστάσεις γίνονται με γραφικό software εκτός των περιπτώσεων στις οποίες οι σημειώσεις απαιτούν τον σχεδιασμό και ανάλυση χωρίς την βοήθεια H/Y (αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να είστε σε θέση να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις ή να κάνετε ανάλυση μετρήσεων χωρίς Η/Υ). -Οι γραπτές αναφορές των εργαστηριακών ασκήσεων θα παραδίνονται στον διδάσκοντα στο εργαστήριο της επόμενης εβδομάδας. Οι βαθμολογημένες αναφορές θα επιστρέφονται διορθωμένες στους φοιτητές από τον διδάσκοντα μετά από μία εβδομάδα -Κάθε εργαστηριακή ομάδα θα παρουσιάσει (ppt) δύο εργαστηριακές ασκήσεις. Κατά την διάρκεια/Μετά από κάθε παρουσίαση θα ακολουθούν ερωτήσεις από τον διδάσκοντα και τους λοιπούς φοιτητές.

6. Απάντηση Ερωτήσεων 7. Προτάσεις για Βελτίωση του Πειράματος 8. Βιβλιογραφία

Εργαστηριακή Αναφορά Περίληψη (abstract): Σύντομη παράγραφος στην οποία ορίζονται οι ποσότητες τις οποίες μετράτε, η μέθοδος που χρησιμοποιήσατε και τα αποτελέσματά σας Σκοπός της να περιγράφει την μέθοδο σας ούτως ώστε κάποιος που διαβάζει μόνο τη περίληψη (χωρίς προηγούμενη γνώση αυτών που κάνατε) να έχει κατανόηση του θέματος που θα περιγράψετε. Για παράδειγμα έστω ότι κάνατε πείραμα στο οποίο μετράτε τη σχέση μεταξύτων φάσεων της σελήνης και του μήκους μιας σανίδας: Περίληψη «Διερευνήσαμε τη σχέση μεταξύ των φάσεων της σελήνης και του μήκους μιας σανίδας οξιάς. Μετρήσαμε το μήκος της σανίδας κατά τη διάρκεια ενός πλήρους σεληνιακού μήνα. Μέσα στα όρια των αβεβαιοτήτων, η μέτρησή μας έδειξε ότι το μήκος της σανίδας είναι σταθερό και ότι δεν υπάρχει συσχετισμός μεταξύ των φάσεων της σελήνης και του μήκους της σανίδας. Προσδιορίσαμε με βάση τη μέση τιμή των μετρήσεών μας, ότι το μήκος της σανίδας είναι (12.4±0.6)cm»

Εργαστηριακή Αναφορά Εισαγωγή/Θεωρία Περιέχει το ιστορικό χρονικό (αν υπάρχει) που σχετίζεται με τη μέτρηση που προσπαθείτε να κάνετε, τη βασική θεωρία του πειράματος, και επίσης το λόγο που η μέτρηση είναι σημαντική για τη Φυσική. -Ιστορικό Χρονικό Αναφέρει τις κύριες προσπάθειες που έγιναν στο παρελθόν για τη συγκεκριμένη μέτρηση και δίνει αναφορές σε άρθρα τα οποία έχουν δημοσιευθεί στο παρελθόν από άλλους ερευνητές. π.χ.«Η σχέση μεταξύ σανίδων ξύλου και των φάσεων της σελήνης αποτελεί αντικείμενο πολλών εργασιών το τελευταίο διάστημα. Τα περισσότερα πειράματα τελευταία επικεντρώνονται στη μελέτη σανίδων οξιάς [1]. Τέτοιου είδους σανίδες επιλέγονται κυρίως λόγω της πυκνότητάς τους και το χρώμα τους. Στις δυο αυτές ιδιότητες αποδίδονται οι διαφορές που παρουσιάζονται. Η τεχνική που χρησιμοποιήσαμε είναι ίδια με αυτή που χρησιμοποιήθηκε από άλλους ερευνητές [2]. - Προηγούμενες δημοσιεύσεις ή τεχνικές προσδιορίζονται σε αγκύλες που παραπέμπουν στις αναφορές στο τέλος της αναφοράς σας

Εργαστηριακή Αναφορά Εισαγωγή/Θεωρία -Βασική Θεωρία Αναφερθείτε συνοπτικά στο κύριο θεωρητικό υπόβαθρο του πειράματος χωρίς απλή αναπαραγωγή των σημειώσεων που σας δίδονται. Χρησιμοποίηστε και πάλι παραπομπές για να δηλώσετε ποιες πληροφορίες δεν είναι πρωτότυπες και τις πηγές που χρησιμοποιήσατε. Περιλάβατε εξισώσεις και γραφικές παραστάσεις που αναφέρονται στην βασική θεωρία του πειράματος. Περιλάβατε ακόμη υπολογισμούς που πιθανά να χρειαστούν για να καταλήξετε σε σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών που θέλετε να επαληθεύσετε πειραματικά: Όλοι οι υπολογισμοί που δεν υπάρχουν στις πηγές που αναφέρεστε, θα πρέπει να παρουσιάζονται αναλυτικά στην αναφορά σας με τις αντίστοιχες εξηγήσεις Για παράδειγμα έστω ότι μετράτε τη θέση ενός σώματος που εκτελεί ελεύθερη πτώση συναρτήσει του χρόνου. Εξηγήστε τον συσχετισμό που υπάρχει μεταξύ της κλίσης του διαγράμματος θέσης – χρόνου [2] με την επιτάχυνση της βαρύτητας.

Εργαστηριακή Αναφορά Πειραματική Μέθοδος/Διάταξη Να είστε ξεκάθαροι στις προτάσεις σας σχετικά με την μεθοδολογία που ακολουθήσατε, το λόγο που επιλέξατε να κάνετε κάτι συγκεκριμένο στη διαδικασία της μεθόδου σας και επίσης πως το κάνατε. Σε οποιαδήποτε πειραματική αναφορά είναι απαραίτητος ο σχεδιασμός και σχολιασμός της πειραματικής διάταξης που χρησιμοποιήθηκε. Σχεδιάστε μόνοι σας (χωρίς αναπαραγωγή των σχημάτων των σημειώσεων) ένα απλό αλλά παραστατικό σχήμα της διάταξης που να περιλαμβάνει: -Όλα τα όργανα/διατάξεις που χρησιμοποιήσατε -Όλες τις απαραίτητες συνδέσεις (ηλεκτρικές, οπτικές, μηχανικές κλπ) μεταξύ των οργάνων της διάταξης Σχολιάστε συνοπτικά την λειτουργία κάθε οργάνου στην διάταξή σας και γιατί επιλέγετε κάποια συγκεκριμένη ρύθμιση σε κάποιο από αυτά π.χ. για έναν ενισχυτή που ενισχύει το σήμα ενός φωτοδιόδου, γιατί επιλέγετε μια ενίσχυση 102 αντί για 101 ή 103 . Ποια η επίδραση στις μετρήσεις σας μιας αρκετά μικρότερης ή μεγαλύτερης τιμής ενίσχυσης;

Εργαστηριακή Αναφορά Παρουσίαση και Ανάλυση Μετρήσεων/Σφαλμάτων Παραθέστε μετρήσεις (μη επεξεργασμένα δεδομένα) και υπολογιζόμενα αποτελέσματα σε πίνακες. Οι πίνακες θα πρέπει να έχουν τίτλο περιγραφής και όλες οι ποσότητες θα πρέπει να αναφέρονται με τις μονάδες μέτρησής τους και το σφάλμα τους. Όταν κάνετε στατιστική ανάλυση π.χ. μέση τιμή, αναφέρετε όλες τις μετρήσεις που πήρατε, την υπολογιζόμενη μέση τιμή και την αντίστοιχη αβεβαιότητα. Όταν σας ζητάται να συγκρίνετε δύο μετρήσεις/αποτελέσματα Μ1, Μ2 πάντοτε συγκρίνετε την επί τοις εκατό απόκλισή τους: [(M1 – M2)/(M1 +M2)/2] * 100% Όταν σας ζητάται να συγκρίνετε πειραματική τιμή Μ με μια γενικώς αποδεκτή (αναμενόμενη) τιμή μεγέθους Α υπολογίστε την επί τοις εκατό απόκλισή της από την Α: (M-A)/A*100% Θυμηθείτε η Φυσική είναι ποσοτική επιστήμη!

Εργαστηριακή Αναφορά Παρουσίαση και Ανάλυση Μετρήσεων/Σφαλμάτων Ένα σχήμα ή μια φωτογραφία ισοδυναμεί πολλές φορές με χίλιες λέξεις: Γραφικές παραστάσεις γίνονται με το χέρι σε αντίστοιχο χαρτί (χιλιοστομετρικό, (ημι)λογαριθμικό) ή ηλεκτρονικά με γραφικό πακέτο Η/Υ Ο σχεδιασμός των γραφικών πρέπει να ακολουθεί τους κανόνες που θα συζητηθούν στην επόμενη διάλεξη και πρέπει να περιέχουν τις μεθόδους εύρεσης των αβεβαιοτήτων,κλίσης και τεταγμένης (σημείο τομής με τον άξονα y) σύμφωνα με τις μεθόδους ανάλυσης δεδομένων. Σχολιασμός Μετρήσεων/Αποτελεσμάτων Κάθε πείραμα έχει συγκεκριμένους στόχους και θα πρέπει να περιγράψετε στην αναφοράς σας μέχρι ποιο σημείο τους επιτύχατε. Π.χ. αν ήταν να μετρήσετε το πόσο σταθερή είναι η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας θα πρέπει στη συζήτηση των αποτελεσμάτων σας να εξηγήσετε εάν το πείραμά σας έδειξε αυτή τη σταθερότητα και με ποια αβεβαιότητα. Αν μετρούσατε τη τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας θα πρέπει να δώσετε την καλύτερη εκτίμηση της τιμής που μετρήσατε καθώς και την εκτιμούμενη αβεβαιότητα της

Εργαστηριακή Αναφορά Σχολιασμός Μετρήσεων/Αποτελεσμάτων Θα πρέπει ακόμη να συζητήσετε την ανάλυση των σφαλμάτων σας: 1. Δείξτε πως καταλήξατε στην εκτίμηση των αβεβαιοτήτων σας (εφόσον αυτές δεν προκύπτουν απευθείας από το όργανο ή από υπολογισμούς) 2. Δείξτε τους υπολογισμούς σας που αφορούν την διάδοση σφαλμάτων που χρησιμοποιήσατε. Η διάδοση σφαλμάτων εκμαιεύει αποφάσεις για το σχεδιασμό πειραμάτων. Αν κάποια αβεβαιότητα υπερισχύει κάποιας άλλης αυτό θα πρέπει να αναφερθεί και να συζητηθεί. Εξηγήστε πως σχεδιάσατε τη διαδικασία και τη στρατηγική σας ώστε να μειώσετε την αβεβαιότητα. 3. Κάντε ουσιαστικές και ποσοτικές συγκρίσεις όπου θεωρείτε απαραίτητο. Όταν το πείραμά σας έχει αριθμητικά αποτελέσματα υπολογίσετε την % απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή και το % σφάλμα της μέτρησης, συγκρίνετέ τα και σχολιάστε για την ακρίβεια και πιστότητα του πειράματος

Εργαστηριακή Αναφορά Συμπεράσματα Η ενότητα όπου γίνεται επισκόπηση των σημαντικών σημείων του πειράματος, δίνονται αναφορές και συσχετίσεις μεταξύ των δικών σας ευρημάτων και των θεωρητικών ή αυτών άλλων πειραμάτων που είναι γνωστά από τη βιβλιογραφία. Τα συμπεράσματά σας θα πρέπει να περιέχουν πληροφορίες όπως τι γνώσεις αποκομίσατε από την πραγματοποίηση του συγκεκριμένου πειράματος, τι συμπεράσματα εξάγατε σχετικά με το φυσικό μέγεθος ή ποσότητα που μετρήσατε, και τις πηγές της αβεβαιότητας στη μέτρησή σας. Αποφύγετε γενικά και μη-τεκμηριωμένα σχόλια του τύπου «η απόκλιση της μέτρησης σας και της αναμενόμενης τιμής οφείλεται στο όργανο μέτρησης ή σε ανθρώπινο λάθος» Προσπαθήστε να εκθέσετε επιχειρήματα σας, όπου δυνατόν ποσοτικά, με αποδείξεις, λογική ή παραπομπές από την βιβλιογραφία και δείξτε πως συγκρίνονται τα δεδομένα σας με αυτό που αναμένατε

Εργαστηριακή Αναφορά Συμπεράσματα Προτάσεις για Βελτίωση του Πειράματος Εφόσον επισημάνετε τις κύριες πηγές σφαλμάτων στο πείραμα (τυχαία ή συστηματικά) παραθέστε προτάσεις με τις οποίες η πιστότητα και ακρίβεια του πειράματος μπορεί να βελτιωθεί είτε χρησιμοποιώντας μια βελτιωμένη πειραματική διαδικασία είτε με χρήση της ίδιας μεθοδολογίας αλλά προτείνοντας την αντικατάσταση συγκεκριμένων οργάνων που θεωρείτε ότι ευθύνονται σημαντικά για πειραματικά σφάλματα στις μετρήσεις σας

Εργαστηριακή Αναφορά Βιβλιογραφία Η αναφορά σας θα πρέπει να περιέχει όλες τις πηγές που χρησιμοποιήσατε κατά την συζήτηση της πειραματικής σας διάταξης, μεθόδου και θεωρητικού υπόβαθρου. Συνήθως οι πηγές που θα χρησιμοποιήσετε είναι βιβλία, ωστόσο ενδεχομένως να χρησιμοποιήσετε και το internet και δημοσιεύσεις σε επιστημονικά περιοδικά. Ειδικά για την περίπτωση πηγών από το internet φροντίστε να ελέγξετε μεθοδικά την εγκυρότητα της πηγής σας. Προτιμήστε γνωστές σας πηγές ή sites γνωστών πανεπιστημίων, ερευνητικών ινστιτούτων κλπ. Αν ακολουθείτε την απόδειξη που παρουσιάζεται σε κάποιο βιβλίο τότε θα πρέπει να δώσετε το τίτλο του βιβλίου, όνομα συγγραφέα, εκδότη και ημερομηνία έκδοσης. Οτιδήποτε επιχείρημα παραθέτετε αν δεν έχει ανάλογη παραπομπή τότε θεωρείται ότι είναι καθαρά προσωπικό και προέρχεται από προσωπική σας εργασία. Είναι αντικανονικό να αντιγράφετε χωρίς να δίνετε την αρχική πηγή. Χρησιμοποιήστε πάντοτε τον ίδιο τρόπο για να δίνετε τις παραπομπές σας με τον αριθμός παραπομπής μέσα σε τετραγωνικές αγκύλες “[]”.

Εργαστηριακή Αναφορά Βιβλιογραφία Παραδείγματα Ένας καλός τρόπος γραφής των παραπομπών σε βιβλία είναι ο ακόλουθος: 1. H. Young and D. Freedman, “University Physics”, 8η έκδοση, σελ. 5-9, εκδόσεις Πανεπιστημίου Αθηνών, μετάφραση Λ. Ρεσβάνης, (1985). Για αναφορές σε άρθρα δημοσιευμένα σε κάποιο επιστημονικό περιοδικό χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο τρόπο: 2. M. Mouse, Phys. Rev. Lett. 78, 1553, (1930).

-Η Φυσική είναι η κατ’εξοχή πειραματική επιστήμη Εισαγωγή -Η Φυσική είναι η κατ’εξοχή πειραματική επιστήμη πείραμα → ανάλυση δεδομένων → θεωρία ή θεωρία → πρόβλεψη → πείραμα → επαλήθευση θεωρίας Οι θεωρίες στη φυσική αναπτύσσονται είτε με πειραματικές παρατηρήσεις ή επαληθεύονται με σύγκριση των προβλέψεων τους με πειραματικές μετρήσεις. Κάθε φυσικό μέγεθος το οποίο μετράμε ή αναφερόμαστε σε αυτό συνοδεύεται από κάποιες μονάδες μέτρησης οι οποίες το προσδιορίζουν πλήρως (Δεν έχει κανένα νόημα να πούμε ότι μετρήσαμε την απόσταση που κάλυψε ένα κινούμενο σώμα και βρήκαμε ότι είναι s = 10…10 τι? cm, mm, μέτρα, Κm?) Το σύστημα μονάδων που χρησιμοποιείται κατά κόρον από επιστήμονες διεθνώς είναι γνωστό (από το 1960) ως Διεθνές Σύστημα Μονάδων ή SI. Αυτό το σύστημα θα χρησιμοποιήσουμε από εδώ και στο εξής.

-Χρησιμοποιώντας τις μονάδες μέτρησης σε μια μαθηματική σχέση που συνδέει φυσικά μεγέθη μπορούμε να: (α) ελέγξουμε αν το αποτέλεσμα που έχουμε είναι σωστό και ενδεχομένως (β) να «μαντέψουμε» την λύση χωρίς καν λύσουμε το πρόβλημα - Γράφοντας τις διαστάσεις κάθε μεγέθους, καταλήγουμε σε ένα σύστημα εξισώσεων η λύση του οποίου δίνει τον τρόπο που συνδέονται οι ποσότητες μεταξύ τους.

Θεωρητικά μια μπάλα 5 gr που αφήνεται ελεύθερη να πέσει υπό την επίδραση της βαρύτητας μόνο από ύψος 1 m πέφτει με σταθερή επιτάχυνση g = 9.81 m/s2

Κατηγορίες σφαλμάτων 1. Συστηματικά Σφάλματα Εμφανίζονται όταν μέτρηση δίνει αποτελέσματα συστηματικά μεγαλύτερα (ή μικρότερα) από την πραγματική (αληθινή) τιμή του μετρούμενου μεγέθους. Πιθανές Πηγές Συστηματικών Σφαλμάτων: Όργανα Μέτρησης (π.χ. κακή βαθμονόμηση οργάνου) -Συνθήκες Περιβάλλοντος (Θερμοκρασία, Πίεση, Μαγνητικό Πεδίο Γης…) -Σφάλματα Θεωρητικής Φύσης (Μη ακριβές Μοντέλο, Προσέγγιση) -Σφάλματα Παρατήρησης Τα συστηματικά σφάλματα σε ένα πείραμα δεν αναγνωρίζονται γενικά εύκολα και ο προσδιορισμός τους είναι πολλές φορές επίπονος Τα συστηματικά σφάλματα επηρεάζουν κυρίως πιστότητα ή ακρίβεια; ΠΡΟΣΟΧΗ: Υπάρχει η σύγχυση να αποδίδεται κάθε σφάλμα οργάνου ως συστηματικό. Αυτό είναι λάθος. Ο χαρακτηρισμός συστηματικό αναφέρεται στο γεγονός ότι το σφάλμα εκτρέπει συστηματικά προς την ίδια φορά ένα αποτέλεσμα και δεν αφορά την πηγή του. Γενικά ένα συστηματικό σφάλμα μπορεί να μην είναι σταθερό αλλά έχει την «ίδια φορά» πάντα.

Τυχαία ή Στατιστικά Σφάλματα Σφάλματα που επιδρούν σε μέτρηση με τυχαίο τρόπο: Mπορεί η μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους να δώσει τιμή μεγαλύτερη της αναμενόμενης ενώ η επανάληψη της μέτρησης να δώσει τιμή μικρότερη της αναμενόμενης Τα τυχαία σφάλματα είναι αναπόφευκτα και μπορούν να ληφθούν υπόψη μόνο στατιστικά. Εμφανίζονται και όταν έχουν απαλειφτεί τα συστηματικά. Παράδειγμα τυχαίων σφαλμάτων σε πείραμα δειγματοληψίας: Έστω ότι μελετάμε ραδιενεργό διάσπαση σε δείγμα με 1000 ραδιενεργές διασπάσεις/sec τότε ο αναμενόμενος αριθμός διασπάσεων σε 5sec είναι 5000. Αν πάρουμε μια μέτρηση σε 5sec, οι τιμές των διασπάσεων που θα μετρήσουμε πιθανότατα θα διαφέρει από την αναμενόμενη τιμή 5000 κατά το τυχαίο σφάλμα της μέτρησης (μετρούμενη τιμή διασπάσεων μεγαλύτερη ή μικρότερη του 5000) Ερώτηση: Τα τυχαία σφάλματα επηρεάζουν κυρίως την πιστότητα ή την ακρίβεια ενός πειράματος;

Παράδειγμα 1 Έστω ότι πραγματοποιούμε πείραμα προσδιορισμού της επιτάχυνσης της βαρύτητας g με μαθηματικό εκκρεμές με μήκος σχοινιού l, μικρή σφαίρα μάζας m και περιόδου Τ. Μετρούμε την Τ και το l και υπολογίζουμε το g από την σχέση (1) Ποια τα πιθανά συστηματικά και τυχαία σφάλματα της μέτρησης; . 1. To χρονόμετρο δεν είναι ψηφιακό και ο δείκτης του χρονομέτρου βρίσκεται ανάμεσα σε δύο μικρότερες υποδιαιρέσεις του 2. Ο χρόνος αντίδρασης του παρατηρητή. 3. Μη-μηδενική μάζα σχοινιού 4. Μη σημειακή μάζα (φυσικό αντί για μαθηματικό εκκρεμές) 5. Τριβή 6. Αντίσταση αέρα Άλλα σφάλματα;

1. Στην πραγματικότητα ο τύπος προκύπτει από την Σφάλματα θεωρ. φύσης: 1. Στην πραγματικότητα ο τύπος προκύπτει από την προσέγγιση ημθ ≈ θ. Ο αναλυτικός τύπος προκύπτει από την λύση → ολοκλήρωση → αντιστροφή → ολοκλήρωση το οποίο προσδιορίζεται με τη βοήθεια ελλειπτικών συναρτήσεων ως: ή (2) π.χ. για θ=10°, Α = 1.001907. Έστω μετράμε Τ= 2 s και l = 1m, τότε g = 9.77 m/s2 με τον τύπο (1) και g = 9.81 m/s2 με τον (2) Τι σφάλμα είναι αυτό;

Παράδειγμα 2 Ποιες οι πιθανές πηγές σφαλμάτων στην μέτρηση του μήκους ενός αντικειμένου με έναν χάρακα; (θεωρήστε ότι ο ίδιος παρατηρητής κάνει την μέτρηση) Μη σύμπτωση του μηδενός της κλίμακας με το ένα άκρο του αντικειμένου Μη σύμπτωση υποδιαίρεσης της κλίμακας με το άλλο άκρο του αντικειμένου Μη-παραλληλία χάρακα-αντικειμένου Παράλλαξη: Ο παρατηρητής βλέπει την κλίμακα του χάρακα υπό γωνία Η κλίμακα του χάρακα δεν είναι σωστά βαθμονομημένη Ποια είναι τυχαία και ποια συστηματικά Ποια νομίζεται ότι είναι η σημαντικότερη; Ποια καθορίζει/ζουν κατά κύριο λόγο το σφάλμα της μέτρησης; Δεν υπάρχει κάποιος κανόνας που να καθορίζει το σφάλμα! Η σωστή εκτίμησή του επαφίεται στην ακριβή μεθοδολογία και κρίση του πειραματιστή

(το σφάλμα οργάνου όπως το ορίσαμε πριν)

Ας ξαναεπισκεφτούμε τον τρόπο υπολογισμού της αβεβαιότητας σε μέγεθος γ, το οποίο προκύπτει μετρώντας τα μεγέθη α, β, με: γ = α + β. Τα α και β προσδιορίζονται α = α0 ± δα και β = β0 ± δβ. Η μεγαλύτερη πιθανή τιμή είναι γmax = α0 +β0 + (δα + δβ) ενώ η η μικρότερη πιθανή τιμή είναι γmin = α0 +β0 - (δα + δβ) Για να συμπέσει ωστόσο η τιμή του γ με την γmax θα πρέπει η μέτρησή μας να έχει υπερεκτιμήσει τόσο το α όσο και το β κατά τα μέγιστα επιτρεπόμενα σφάλματα δα και δβ αντίστοιχα. Είναι πιθανό να συμβεί αυτό αν τα α και β μετρούνται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο; Αν τα σφάλματα είναι τυχαία υπάρχει 50% πιθανότητα μια υπερεκτίμηση του α να συνοδεύεται από μια υποεκτίμηση του β και αντίστροφα. Επομένως η πιθανότητα να υπερεκτιμήσουμε ταυτόχρονα το α και β είναι ελάχιστη και αν δεχόμασταν ως σφάλμα της μέτρησης το δα + δβ θα υπερεκτιμούσαμε το δγ. Πως θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε μια καλύτερη τιμή του δγ; Αν γνωρίζαμε την πιθανότητα μια τιμής του α να βρίσκεται ανάμεσα σε α0 ± δα και αντίστοιχα μιας τιμής του β να βρίσκεται ανάμεσα σε β0 ± δβ Για μια μέτρηση που βαρύνεται μόνο με τυχαία σφάλματα των οποίων το πλήθος είναι μεγάλο αλλά το μέγεθος μικρό θα δούμε ότι οι μετρήσεις ακολουθούν την Κανονική Κατανομή (Gauss)

Σε αυτή την περίπτωση το σφάλμα του γ δίνεται από Προσέξτε ότι πάντα ισχύει δγ < δα + δβ με την προϋπόθεση ότι τα α και β έχουν μετρηθεί το ένα ανεξάρτητα από το άλλο και τα σφάλματα είναι τυχαία Γενικά αν έχουμε μια συνάρτηση γ = γ (x): Αν θεωρήσουμε ότι η καμπύλη μεταξύ x0-δx και x0+δx προσεγγίζει ευθύγραμμο τμήμα (δx μικρό), τότε ισχύει γ(x) x0 x0+δx x0-δx γ0 γmin γmax x Επομένως το σφάλμα μπορεί να προσεγγιστεί με Δηλαδή το σφάλμα δγ εξαρτάται τόσο από το σφάλμα στην μεταβλητή x όσο και από το πόσο μεταβάλλεται η τιμή της συνάρτησης γ(x) γύρω από την τιμή γ0

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν. Ωστόσο τα τυχαία σφάλματα μπορούν να ληφθούν υπόψη αν η μέτρηση επαναληφθεί πολλές φορές. Σε αυτή την περίπτωση μπορούν να χρησιμοποιηθούν στατιστικές μεθόδους με τις οποίες είναι δυνατό να προσδιορίσουμε την πιθανότητας εμφάνισης των δυνατών εκδοχών της μέτρησης Για να προσδιορίσουμε μια ακριβή πιθανότητα εμφάνισης θεωρούμε μεγάλο αριθμό Ν από πανομοιότυπα συστήματα με αυτό που μελετούμε (ίδιες συνθήκες μέτρησης). Αν Νr είναι ο αριθμός των συστημάτων στα οποία εμφανίζεται η εκδοχή r ορίζουμε σαν πιθανότητα εμφάνισης το μέγεθος:

Παράδειγμα 2 Αν ρίξουμε ένα ζάρι σε ένα τραπέζι υπάρχουν 6 εκδοχές για το αποτέλεσμα. Η έκβαση της ρίψης του ζαριού θα μπορούσε να προβλεφθεί αν γνωρίζαμε πως ακριβώς ρίχνεται το ζάρι καθώς και την δύναμη που ασκεί πάνω του το τραπέζι. Καθώς δεν έχουμε αυτές τις πληροφορίες και ακόμη και αν τις γνωρίζαμε θα χρειαζόμασταν εξαιρετικά πολύπλοκους υπολογισμούς, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα. Αυτό ωστόσο που μπορούμε να πούμε αν το ζάρι είναι ομοιογενές είναι ότι μετά από ένα μεγάλο αριθμό ρίψεων, θα προκύψει ίσος αριθμός αποτελεσμάτων 1-6. Αν n αποτελεί την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τα πιθανά αποτελέσματα της ρίψης του ζαριού και ονομάσουμε p(n) την αντίστοιχη πιθανότητα, η στατιστική περιγραφή της ρίψης δίδεται από τον πίνακα n 1 2 3 4 5 6 p(n) 1/6 Ποια η αναμενόμενη τιμή και ποια η διασπορά του n στο παράδειγμα αυτό;

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους Ας θέσουμε τώρα το ερώτημα: Σε ένα σύνολο μετρήσεων Ν θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα να έχουμε την τιμή Νr ή Ns. Σύμφωνα με τα προηγούμενα αυτή θα δίνεται από: Αν υποθέσουμε τώρα ότι κάθε μέτρηση δίνει δύο αποτελέσματα, στατιστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους το ένα από τα οποία χαρακτηρίζεται από τον δείκτη r (με r = 0,1,2…) και το άλλο από τον δείκτη s (με s=0,1,2…) τότε η πιθανότητα της συνδυασμένης εμφάνισης του αποτελέσματος r και του s δίνεται από: Στο στατιστικό σύνολο, Νr μετρήσεις εμφανίζουν το αποτέλεσμα r και από αυτές υπάρχει πιθανότητα ps να εμφανίζουν και το αποτέλεσμα s. Επομένως ο αριθμός Νrs των μετρήσεων που εμφανίζουν τα r και s δίνεται από:

Διωνυμική Κατανομή Θεωρούμε το παρακάτω πρόβλημα: Ένας μεθυσμένος ξεκινά από ένα φανάρι στη μέση ενός δρόμου και αρχίζει να περπατάει τρεκλίζοντας στην διεύθυνση x κάνοντας ωστόσο βήματα σταθερού μήκους l, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η πιθανότητα να κάνει βήμα προς τα δεξιά είναι p ενώ η προς τα αριστερά είναι q. Ποια η σχέση p και q; Ο άνθρωπος είναι τόσο μεθυσμένος που δεν έχει μνήμη του τελευταίου του βήματος (στατιστικά ανεξάρτητα βήματα). Αν κάνει Ν βήματα ποια η πιθανότητα p(n), ότι n από αυτά έγιναν προς τα δεξιά (και επομένως Ν-n έγιναν προς τα αριστερά); Είναι φανερό ότι σε αυτήν την περίπτωση ο άνθρωπος βρίσκεται σε απόσταση από το φανάρι ίση με: Σύμφωνα με την σχέση που αποδείξαμε πριν για στατιστικά ανεξάρτητες μετρήσεις η πιθανότητα αυτή θα δίνεται από: p + q = 1 l x n φορές Ν-n φορές

Διωνυμική Κατανομή Μια ακολουθία Ν βημάτων από τα οποία n προς τα δεξιά και τα υπόλοιπα Ν-n προς τα αριστερά μπορεί να προκύψει κατά διαφορετικούς τρόπους Επομένως η πιθανότητα να προκύψει μια συγκεκριμένη ακολουθία n βημάτων δεξιά και Ν-n αριστερά θα δίνεται από την: Η συνάρτηση p(n) ονομάζεται διωνυμική συνάρτηση και ορίζει την διωνυμική κατανομή πιθανότητας. Μια τέτοια συνάρτηση περιγράφει στατιστικά ένα γενικό πρόβλημα στο οποία δίνονται Ν στατιστικά ανεξάρτητα γεγονότα, το καθένα από τα οποία έχει πιθανότητα p να συμβεί και q=1-p να μην συμβεί. Η πιθανότητα να συμβούν n από τα Ν αυτά γεγονότα δίνεται από την διωνυμική κατανομή. φορές

Παράδειγμα Γραφική Παράσταση; Διωνυμική Κατανομή Ρίχνουμε τέσσερα νομίσματα σε ένα τραπέζι και μετρούμε πόσα από αυτά δείχνουν γράμματα. Ποια η πιθανότητα να προκύψει ένα από τα παρακάτω αποτελέσματα: α) n=0, β) n=1,γ) n=2, δ) n=3, ε) n=4 Κάθε νόμισμα μπορεί να δείξει κορώνα ή γράμματα ανεξάρτητα από το τι θα δείξουν τα άλλα 3, επομένως έχουμε 4 στατιστικά ανεξάρτητα γεγονότα. Ένα γεγονός πραγματοποιείται όταν το νόμισμα φέρνει γράμματα και η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί/μην πραγματοποιηθεί το γεγονός είναι p = 0.5/q =0.5, αντίστοιχα, επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση διωνυμικής κατανομής p(n) για να προσδιορίσουμε τις πιθανότητες: Γραφική Παράσταση;

Για μεγάλο αριθμό μετρήσεων ο υπολογισμός της κατανομής p(n) είναι δύσκολος καθώς τα αντίστοιχα παραγοντικά είναι πολύ μεγάλοι αριθμοί. Π.χ.100!~ 10157. Ωστόσο για μεγάλα Ν και για μικρές πιθανότητες συμβάντος n . Όταν Μπορεί να δειχθεί ότι οι μετρήσεις ενός φυσικού μεγέθους που βαρύνονται με πολλά τυχαία σφάλματα και αμελητέα συστηματικά σφάλματα έχουν σαν οριακή κατανομή (για μεγάλο Ν) την κανονική κατανομή ή κατανομή Gauss. Η συνάρτηση που παριστάνει την προσέγγιση αυτή για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή είναι: Αν θέσουμε μ = Νp και σ = (Νpq)1/2 και αλλάξουμε το σύμβολο της μεταβλητής από n σε x καταλήγουμε στην γνωστή έκφραση της συνάρτησης Gauss:

Gaussian Κατανομή Όπως αναφέραμε η πιθανότητα να κείται μια τιμή στο διάστημα x–x+dx δίνεται για συνεχείς κατανομές από την πυκνότητα πιθανότητας f(x)dx. Αν η μεταβλητή x ακολουθεί κανονική κατανομή τότε f(x) είναι η συνάρτηση Gauss και η πιθανότητα να κείται μια τιμή του x στο διάστημα (μ-σ, μ+σ) δίνεται από

Gaussian Κατανομή Το ολοκλήρωμα αυτό δεν μπορεί να προσδιοριστεί αναλυτικά, υπολογίζεται ωστόσο αριθμητικά (ισούται με το εμβαδό της καμπύλης στο διάστημα (μ-σ, μ+σ)) και δίνει p ≈ 0.68. Δηλαδή η πιθανότητα να κείται μια μέτρηση του μεγέθους x στο διάστημα (μ-σ, μ+σ) είναι 68%, ενώ η αντίστοιχη πιθανότητα για το διάστημα μ-2σ και μ+2σ είναι 95.4% και αυτή για το διάστημα μ-3σ και μ+3σ είναι 99.7% (εμπεριέχονται πρακτικά όλες οι μετρούμενες τιμές)

Υπολογισμός γραφικής παράστασης χ2 με γραφικό πρόγραμμα Σε πολλές από τις πειραματικές ασκήσεις θα σας δοθεί η ευκαιρία να υπολογίσετε την γραφική χ2 με κάποιο γραφικό πρόγραμμα (software), όπως το Origin, Excell κλπ. Είναι σημαντικό να γνωρίζετε τον τρόπο με τον οποίο υπολογίζει την γραφική το πρόγραμμα, καθώς και την φυσική σημασία των παραμέτρων που εξάγει. Παρουσιάζεται εδώ ένα απλό παράδειγμα προσαρμογής ευθείας χ2 στο Origin 2. Fit Options 1. Input Data Specifies the input dataset(s). Errors as Weight Use error bars as value for weights.  If yErr column is selected, Origin will use them as weights in two modes: 1. Direct Weighting: wi = values from the ith row of yErr column and                                                            or 2. Instrumental Weighting: wi = 1/σi2, where σi = values from the ith row of yErr column                                                              Fix Intercept Restrict the intercept to the value specified. Fix Intercept at Specifies the intercept. Fix Slope Restrict the slope to the value specified. Fix Slope at Specifies the slope. Use Reduced Chi-Sqr Available when fit with weight, This check box only affects the error on the parameters reported from the fitting process, and does not affect the fitting process or the data in any way. By default, it is checked, and the covariance matrix is calculated by: σ(X’X)-1, othervise, (X’X)-1. x X column of the curve y Y column of the curve Error The Y error column

3. Quantities to Compute Use this branch to specify the quantities to be computed and displayed: Fit Parameters Value Parameters’ value. Standard Error Standard error of parameters Fit Statistics Number of Points Total number of fitting points Degrees of Freedom Model degrees of freedom R Value The R value, Residual Sum of Squares Residual sum of squares (RSS); or sum of square error. R-Square (COD) Coefficient of determination Coefficient of Determination: The quality of linear regression can be measured by the coefficient of determination (COD), or R-square, which can be computed as: The R2 is a value between 0 and 1. Generally speaking, if it is close to one, the relationship between X and Y will be regarded as very strong, and we can have a high degree of confidence in our regression model.

=

Παράδειγμα