Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Το φως ως ηλεκτρομαγνητικό κύμα Περιλήψεις μαθημάτων Κύματα Μηχανικά κύματα – Ήχος Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Το φως ως ηλεκτρομαγνητικό κύμα Διασκεδασμός ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (κύματα) 1 Κύματα Μηχανικά κύματα Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Ορισμός: κύμα είναι μια συλλογική διαταραχή με την οποία μεταφέρεται ενέργεια από ένα σημείο του χώρου (μέσου) σε άλλο (χωρίς να μεταφέρεται μάζα). Μηχανικά κύματα Για τη διάδοσή τους απαιτείται υλικό μέσο το οποίο καθορίζει την ταχύτητα διάδοσης. Μπορεί να είναι εγκάρσια ή διαμήκη και κατά τη διάδοσή τους σημεία του μέσου ταλαντώνονται γύρω από μια θέση ισορροπίας. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Διαδίδονται και στο κενό με χωρική –χρονική μεταβολή ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου 1 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (κύματα) 2 Τα κύματα έχουν κάποιες κοινές ιδιότητες Μήκος κύματος, συχνότητα, ταχύτητα διάδοσης (φασική), αρχή επαλληλίας, ανάκλαση, διάθλαση, συμβολή, περίθλαση, κοινή μαθηματική περιγραφή Γιατί μας ενδιαφέρει η μελέτη των κυμάτων Ανθρώπινες αισθήσεις: όραση-φως (η/μ κύμα), ακοή-ήχος (μηχανικό κύμα) Διάδοση πληροφορίας- τεχνολογία: TV, radio, GPS, mobile phone, μικροκύματα, sonar, Απεικονιστικές, διαγνωστικές, θεραπευτικές μέθοδοι: υπέρηχοι, laser, ακτίνες Χ Μεταφορά ενέργειας: ακτινοβολία ηλίου Κυματική συμπεριφορά της ύλης: περιγραφή ιδιοτήτων υποατομικών σωματιδίων με κυματικές εξισώσεις (κβαντομηχανική) 2 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (κύματα) 3 Κυματική εξίσωση σε μία διάσταση Επαλληλία Είναι μια από τις βασικές εξισώσεις της φυσικής Συνδυάζει τη χωρική (x) και χρονική (t) μεταβολή Λύσεις της είναι συναρτήσεις της μορφής που περιγράφουν οδεύον κύμα (παλμό που διαδίδεται χωρίς μεταβολή του σχήματός του) ταχύτητας υ με φορά προς τα δεξιά (+x) για x-υt και προς τα αριστερά (-x) για x+υt. Επαλληλία Η κυματική εξίσωση είναι γραμμική, δηλαδή αν ψ1 και ψ2 είναι λύσεις της, τότε και οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός τους ψ=αψ1+βψ2 είναι επίσης λύση.  στον ίδιο χώρο/μέσο διαδίδονται πολλά κύματα διαφορετικών συχνοτήτων χωρίς το ένα να επηρεάζει το άλλο  σε κάποιες περιπτώσεις παρατηρούνται ενδιαφέροντα φαινόμενα π.χ. συμβολή 3 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (κύματα) 4 Αρμονικά κύματα Φάση Ημιτονοειδείς συναρτήσεις του : Μήκος κύματος, συχνότητα, κυκλική συχνότητα, περίοδος, κυματάριθμος Θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής λόγος ταχυτήτων: k=ω/υ ψ x λ Στιγμιότυπο του κύματος (t=σταθ) Α Τ ψ t Ταλάντωση συγκεκριμένου σημείου ή χρονική μεταβολή έντασης πεδίου (x=σταθ) Φάση Φάση = όρισμα του ημιτόνου, συνάρτηση του x,t: Ταχύτητα φάσης (φασική ταχύτητα) Ταχύτητα φάσης = φασική ταχύτητα = ταχύτητα κύματος = ταχύτητα με την οποία κινούνται σημεία σταθερής φάσης ( σταθερού πλάτους) 4 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (κύματα) 5 Μιγαδική αναπαράσταση z θ Αντί για ημιτονοειδείς συναρτήσεις μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μιγαδικές αναπαραστάσεις Τύπος του Euler Αρμονικό κύμα: Im{z} z |z| θ Re{z} Μέτρο του z=x+iy: Συζυγής z*=x-iy: 5 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (κύματα) 6 Σειρά Fourier [εκτός ύλης] Οι ημιτονοειδείς / αρμονικές και μιγαδικές κυματοσυναρτήσεις είναι χρήσιμες γιατί οποιαδήποτε περιοδική συνάρτηση με μήκος κύματος λ μπορεί να γραφεί ως άθροισμα αρμονικών συναρτήσεων των οποίων τα μήκη κύματος είναι υποπολλαπλάσια του λ. m=0,1,2... m=1,2,3... 6 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

Διάδοση παλμού 7 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

Διάδοση παλμού 8 Επαλληλία δύο όμοιων τριγωνικών παλμών που κινούνται με ίσες ταχύτητες αντίθεσης φοράς Επαλληλία δύο «συμπληρωματικών» τριγωνικών παλμών που κινούνται με ίσες ταχύτητες αντίθεσης φοράς 8 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

sincx 9 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

arctanx 10 1 2 3 4 arctan(y/x) arctan(y/x) arctan(y/x)+π X>0, y>0 X<0 X<0 x>0, y<0 3 4 arctan(y/x)+π arctan(y/x)+2π 10 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

Στρεφόμενα ανύσματα 11 wikipedia ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (κύματα) 12 Κύματα σε 3 διαστάσεις Επίπεδα κύματα Κυματική εξίσωση (3D): Επίπεδα κύματα x y z k P (x,y,z) Εξίσωση επιπέδου: z x y k θ1 θ2 θ3 Εξίσωση επιπέδου κύματος: 12 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (κύματα) 13 Επίπεδα κύματα Μέτωπα κύματος Φασική ταχύτητα Κυματοδιάνυσμα: δείχνει τη διεύθυνση διάδοσης και έχει μέτρο 2π/λ Η διαταραχή μπορεί να είναι παλμός ή αρμονικό κύμα Μέτωπα κύματος = ισοφασικές επιφάνειες = γεωμετρικός τόπος σημείων ίσης φάσης Σε υλικά ανισότροπα ή/και ανομοιογενή οι ισοφασικές επιφάνειες δεν ταυτίζονται με τις επιφάνειες σταθερής τιμής της συνάρτησης Φασική ταχύτητα = ρυθμός με τον οποίο κινούνται τα μέτωπα κύματος z y x 13 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (κύματα) 14 Επίπεδα κύματα = επίπεδo μέτωπο κύματος επιφάνειες στις οποίες η φάση είναι τέτοια ώστε z k y wikipedia x συμβολισμός λ ψ wikipedia Τιμή της συνάρτησης y 14 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (κύματα) 15 Γραμμική πόλωση ψ(y,t) Το κύμα διαδίδεται κατά y Καταστάσεις πόλωσης: Γραμμική, κυκλική, ελλειπτική Κυματική συνάρτηση: βαθμωτή / αριθμητική π.χ. απομάκρυνση τμήματος σχοινιού από τη θέση ισορροπίας διανυσματική π.χ. ένταση ηλεκτρικού πεδίου φωτός Γραμμική πόλωση ψ(y,t) Το κύμα διαδίδεται κατά y Η συνάρτηση μεταβάλλεται στο yz επίπεδο y x z y λ x Το κύμα διαδίδεται κατά y Η συνάρτηση μεταβάλλεται στο xy επίπεδο x y ψ(x,t) 15 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (κύματα) 16 Σφαιρικά κύματα Λαπλασιανή της κυματικής (3D) εξίσωσης σε σφαιρικές συντεταγμένες ή επιβολή συνθήκης για r=σταθ. 1 Κυματική εξίσωση σε μία διάσταση (x) Κυματοσυνάρτηση ψ΄=rψ η rψ ικανοποιεί την Κ.Ε. σε «μία» διάσταση r και εξαρτάται με τον ίδιο τρόπο από την απόσταση r προς οποιαδήποτε διεύθυνση 1 16 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (κύματα) 17 Σφαιρικά κύματα λ συμβολισμός μετώπων κύματος sin(kr-ωt)=σταθ Σφαιρικά κύματα Χωρική εξάρτηση Χωρο-χρονική εξάρτηση (προβολή σε επίπεδο) wikipedia Σύγκριση κυματοσυναρτήσεων επίπεδου και σφαιρικού κύματος... 17 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (κύματα) 18 Σφαιρικά κύματα προσέγγιση Χωρο-χρονική εξάρτηση (3D) wikipedia 18 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (κύματα) 19 Ανάπτυγμα Taylor ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (μηχανικά κύματα) Μηχανικά κύματα Η διάδοσή τους απαιτεί την ύπαρξη ενός υλικού μέσου που καθορίζει και την ταχύτητα διάδοσης  Εγκάρσια, διαμήκη κύματα Αρμονικό κύμα σε χορδή Παραγωγή αρμονικών κυμάτων: τεντωμένη οριζόντια χορδή στο ένα άκρο της οποίας είναι δεμένο ένα σώμα το οποίο είναι συνδεδεμένο με κατακόρυφο ελατήριο. Εξίσωση αρμονικού κύματος σε χορδή: Ταχύτητα διάδοσης κύματος = φασική ταχύτητα Εγκάρσια ταχύτητα σημείων της χορδής: Εγκάρσια επιτάχυνση: 20 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (μηχανικά κύματα) Μηχανικά κύματα: δόνηση χορδής Ταχύτητα διάδοσης κύματος / διαταραχής σε χορδή γραμμικής πυκνότητας μ που τείνεται με τάση Τ: Ενέργεια δονούμενης χορδής Κινητική ενέργεια στοιχειώδους τμήματος Δx: Δυναμική ενέργεια στοιχειώδους τμήματος Δx: Ολική ενέργεια: Πυκνότητα ενέργειας: 21 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (μηχανικά κύματα) Ενέργεια δονούμενης χορδής Ροή ενέργειας – ισχύς : (ποσότητα ενέργειας που σε χρόνο Δt διέρχεται από το στοιχειώδες τμήμα της χορδής Δx) Ισχύς (για αρμονικό κύμα): Μέση ισχύς (για αρμονικό κύμα): Ένταση κύματος (σφαιρικά μέτωπα): wikipedia 22 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (μηχανικά κύματα) Οριακές συνθήκες σε δονούμενη χορδή Ασυνέχεια σε χορδή (χωρίς απόδειξη) μ1, υ1 μ2, υ2 Συντελεστής ανακλαστικότητας Συντελεστής διαπερατότητας υ1>υ2 υ1<υ2 http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/reflect/reflect.html 23 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (μηχανικά κύματα) Στάσιμα κύματα Ανάκλαση σε ακλόνητο άκρο Ανάκλαση σε ελεύθερο άκρο http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/reflect/reflect.html 24 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (μηχανικά κύματα) Χορδή πακτωμένη σε δύο άκρα Κόμβοι (δεσμοί) για κάθε Μήκος χορδής L = ακέραιο πολ/σιο του λ/2 Κανονικός τρόπος δόνησης για Θεμελιώδης αρμονική (m=1): http://www.physics.ohio-state.edu/~ntg/h133/Mathematica/pulses.php 25 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (μηχανικά κύματα) Διαμήκη κύματα σε ελατήριο Χωρίς διασπορά (όπως και στη χορδή), δηλαδή υ ανεξάρτητο της συχνότητας Wave animations (youtube) 26 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (ήχος) Μηχανικό κύμα που διαδίδεται σε ρευστά (διάμηκες) και σε στερεά (διάμηκες & εγκάρσιο) και γίνεται αντιληπτό από το αυτί Εύρος συχνοτήτων (20Hz – 20kHz), οξύτητα, χροιά, ένταση Στον αέρα διαδίδεται ως διάμηκες κύμα με τοπικές μεταβολές της πίεσης (πυκνώματα – αραιώματα). Σημειακή πηγή  σφαιρικό κύμα  προσέγγιση: αρμονικό επίπεδο/1D κύμα  εξίσωση απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας Οι μεταβολές της πίεσης μετρώνται με αναφορά την ατμοσφαιρική πίεση (~101kPa) Μέτρο ελαστικότητας Young Μέτρο ελαστικότητας όγκου 27 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (ήχος) Ο αέρας αντιμετωπίζεται ως συνεχές μέσο  μελετάμε την κίνηση στοιχειωδών τμημάτων του αέρα και όχι επμέρους μορίων Η περιγραφή με τη βοήθεια μεταβολών πίεσης είναι προτιμητέα (ευαισθησία αυτιού, ενέργεια) 28 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (ήχος) 29 Για μεταβολές όγκου Αδιαβατική μεταβολή (PVγ=σταθ) Ιδανικά αέρια (PV=nRT) Αέρας Κ.Σ. (γ=1.4, R=8.1J/mole.K, M=29×10-3 kg/mole) Ταχύτητα στα στερεά: πολύ μεγαλυτερη (μόλυβδος ~1200m/s) 29 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (ήχος) 30 Ενέργεια ηχητικών κυμάτων Ένταση του ήχου (W/m) Μέση ένταση του ήχου Σχέση έντασης και ισχύος της πηγής η οποία θεωρείται σημειακή  εκπέμπει (ισότροπα) σφαιρικά κύματα Στάθμη έντασης Ι0=10-12 W/m2 (κατώφλι ακουστότητας) Φαινόμενο Doppler Εξάρτηση της συχνότητας του ήχου που ακούει ο παρατηρητής όταν κινείται αυτός ή η πηγή ή και τα δύο Παρατηρείται και σε η/μ κύματα (εφαμογές στην κοσμολογία, ραντάρ αστυνομίας κ.α.) Κρουστικό κύμα (κατάρριψη φράγματος ήχου όταν υπηγής  υήχου )  πύκνωση των μετώπων κύματος στο χώρο και μεγάλη συσσώρευση ηχητικής ενέργειας 30 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (ήχος) 31 Φαινόμενο Doppler ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (ήχος) 32 Φαινόμενο Doppler ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (ήχος) 33 Φαινόμενο Doppler + - + + L S L S - + - - Γενική περίπτωση Γενική περίπτωση + - + + L S L S - + - - Θετική φορά ταχυτήτων = από τον παρατηρητή προς την πηγή. Αρνητική φορά = από την πηγή προς τον παρατηρητή. Θετική φορά ταχυτήτων πηγής και παρατηρητή = φορά προσέγγισης /πλησιάσματος ακροατή – πηγής. Αρνητική φορά = φορά απομάκρυνσης ακροατή – πηγής. 33 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (ηλεκτρομαγνητικά κύματα) Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι διαταραχές μου μεταφέρουν ενέργεια από ένα σημείο του χώρου στο άλλο με χωρική και χρονική μεταβολή της έντασης του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου χωρίς να είναι απαραίτητη η ύπαρξη κάποιου μέσου. Η διάδοση η/μ κυμάτων σε κάποιο μέσο επηρεάζει την ταχύτητα διάδοσης. Εξισώσεις του Maxwell στο κενό Διηλεκτρική συνάρτηση του κενού Διαφορική μορφή Ολοκληρωτική μορφή Μαγνητική διαπερατότητα του κενού 34 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (ηλεκτρομαγνητικά κύματα) 1η εξίσωση Maxwell = Νόμος Gauss ρ= πυκνότητα ηλεκτρονικού φορτίου (Cb/m3) Μη-μηδενική απόκλιση της Ε σημαίνει ότι στο χώρο υπάρχουν πηγές ή καταβόθρες πεδίου (Για μη-σημειακό φορτίο και κατανομή φορτίου στο χώρο) Το επιεπιφάνειο ολοκλήρωμα της έντασης Ε σε μια κλειστή επιφάνεια που περικλείει το φορτίο εκφράζει τη ροή ΦΕ (εξερχόμενη μείον εισερχόμενη) από την επιφάνεια και εξαρτάται από το φορτίο 2η εξίσωση Maxwell Δεν υπάρχουν μαγνητικά μονόπολα 35 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (ηλεκτρομαγνητικά κύματα) 3η εξίσωση Maxwell = Νόμος Faraday Η στροφή εκφράζει τη «στροβιλότητα» του πεδίου Ροή μαγνητικού πεδίου από επιφάνεια Α Χρονικώς μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο Β Η ηλεκτρεγερτική δύναμη που αναπτύσσεται δίνεται από το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της Ε κατά μήκος κλειστής καμπύλης. Ε 36 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (ηλεκτρομαγνητικά κύματα) 4η εξίσωση Maxwell = Νόμος Ampère J B Χρονικώς μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο ή/και ρεύμα (πυκνότητα ρεύματος J) δημιουργούν μαγνητικό πεδίο (πεδίο που δημιουργείται γύρω από ρευματοφόρο αγωγό). 37 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (ηλεκτρομαγνητικά κύματα) Οι 4 εξισώσεις του Μaxwell αν συνδυαστούν κατάλληλα οδηγούν σε η/μ κύματα Ταυτότητα: Στα η/μ κύματα τα μεταβαλλόμενα μεγέθη είναι διανυσματικά (Ε,Β) Αρμονικές λύσεις (επίπεδα κύματα): Μπορεί να έχει οποιαδήποτε διεύθυνση Μπορεί να έχει καθορισμένη διεύθυνση π.χ. γραμμικά πολωμένο 38 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (ηλεκτρομαγνητικά κύματα) Γραμμικά πολωμένο επίπεδο αρμονικό η/μ κύμα κατά μήκος του z που διαδίδεται κατά y Οι διευθύνσεις ταλάντωσης του Ε και του Β είναι κάθετες μεταξύ τους και κάθετες στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Ροή ενέργειας Περιγράφεται από το διάνυσμα Poynting [μεταβάλλεται ταχύτατα – για το φως ~1014 φορές/sec – και έτσι έχει νόημα η μέση τιμή του σε μια περίοδο που ισούται με την ένταση (W/m2)] για σφαιρικά μέτωπα κύματος (ισότροπη εκπομπή) 39 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (ηλεκτρομαγνητικά κύματα) Πυκνότητα ενέργειας (u) =ενέργεια ανά μονάδα όγκου 40 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (ηλεκτρομαγνητικά κύματα) Εκπομπή η/μ ακτινοβολίας από ταλαντούμενο δίπολο Διπολική ροπή: Η εκπομπή ακτινοβολίας από ταλαντούμενο δίπολο είναι μέγιστη σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση του διπόλου. Για την εκπομπή η/μ ακτινοβολίας είναι απαραίτητη η επιτάχυνση του φορτίου (οι δυναμικές γραμμές αποκτούν και εγκάρσια συνιστώσα του Ε) 41 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

Για r>>λ (ζώνη ακτινοβολίας- μακριά από το δίπολο) ΣΥΝΟΨΗ (ηλεκτρομαγνητικά κύματα) Εκπομπή η/μ ακτινοβολίας από ταλαντούμενο δίπολο Για r>>λ (ζώνη ακτινοβολίας- μακριά από το δίπολο) 42 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (το φως ως η/μ κύμα) Το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα Ραδιοκύματα: ΑΜ, FM, TV (συχνότητες από λίγα έως 109 Ηz) Μικροκύματα: τηλεπικοινωνίες, ραντάρ, ραδιοαστρονομία (109 – 31011Hz) Υπέρυθρη ακτιν.: (π.χ. θερμότητα από τον ήλιο) 31011 – 3.81014 Hz Φως: 390-750 nm Υπεριώδης ακτιν.: (μαύρισμα) 770 THz – 31017 Hz Ακτίνες Χ: (ιονίζουσα ακτινοβολία, μελέτη δομής υλικών, απεικονιστικές ιατρικές μέθοδοι) 31017 – 51019 Hz Ακτίνες γ: 104 – 1019 eV 43 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (το φως ως η/μ κύμα) Καμπύλη απόκρισης ματιού Το ορατό φάσμα Κυματική φύση του φωτός: αρχή επαλληλίας, διασκεδασμός, πόλωση, συμβολή, περίθλαση. Σωματιδιακή φύση του φωτός (κβαντική): εκπομπή- απορρόφηση φωτός (κβάντο ενέργειας =hν). Γεωμετρική οπτική: ανάκλαση, διάθλαση (μεγάλες διαστάσεις εμποδίων  πορείες ακτίνων) Για την κυματική περιγραφή έχει επικρατήσει η χρήση του Ε (απόκριση ανιχνευτών / ματιού) επίπεδο (το δηλώνει και την πόλωση) σφαιρικό Ένταση του φωτός (διάδοση στο κενό) Ταχύτητα φωτός στο κενό: 44 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (το φως ως η/μ κύμα) Διατήρηση ενέργειας στο η/μ πεδίο Παραγωγή έργου στα φορτία της ύλης Ρυθμός ελάττωσης πυκνότητας ενέργειας Ροή ακτινοβολίας Ορμή ακτινοβολίας Το φως έχει ορμή λόγω της δύναμης (Lorentz) που ασκεί το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο του στα φορτία της ύλης ενέργεια (J) Ε k Για πλήρως απορροφητική επιφάνεια ταχύτητα (m/s) Β Για πλήρως ανακλαστική επιφάνεια Υπολογισμός δύναμης που ασκείται 45 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (το φως ως η/μ κύμα) Πίεση ακτινοβολίας Το φως ασκεί πίεση (δύναμη / επιφάνεια) πλήρης απορρόφηση πλήρης ανάκλαση Λαμβάνοντας υπόψη ότι Ι=uc πίεση ακτινοβολίας = πυκνότητα ενέργειας (μέση τιμή) Ταχύτητα διάδοσης του φωτός (πειραματικός προσδιορισμός) Πείραμα Fizeau Γαλιλαίος, Roemer, Bradley, Fizeau, Michelson (συνοπτικά) 46 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (το φως ως η/μ κύμα) φωτοηλεκτρόνια Κβαντική φύση του φωτός Φως (UV) Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο μέταλλο * αύξηση της έντασης του φωτός  αύξηση του αριθμού των φωτοηλεκτρονίων * αύξηση της συχνότητας του φωτός  αύξηση της κινητικής ενέργειας των φωτοηλεκτρονίων Ενέργεια κβάντου = hν, Ενέργεια δέσμης = nhν (n= αριθμός κβάντων) Ορμή: Ενέργεια: Στροφορμή (πείραμα Beth): αριστερόστροφα κυκλικά πολωμένο φως: σπιν φωτονίου δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο φως: σπιν φωτονίου γραμμικά πολωμένο φως: σπιν φωτονίου +1 -1 47 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (το φως ως η/μ κύμα) Αντιστοιχία κβαντικής και κυματικής περιγραφής Ενέργεια φωτονίου: Κυματάριθμος: Κβαντικοί αριθμοί: kx, ky, kz, σ Φωτόνια με ίδιους κβαντικούς αριθμούς (ίδιο k= ίδια διεύθυνση και μήκος κύματος, ίδιο σπιν) συνεισφέρουν στην ενέργεια της ίδιας δέσμης φωτός Ε=nhν, ένταση(Ι) = ενέργεια(Ε)/ [χρόνος  επιφάνεια] Ακτίνες φωτός Γραμμές κάθετες στα μέτωπα κύματος (προσδιορίζουν τη διεύθυνση διάδοσης δέσμης φωτός στη γεωμετρική οπτική) ακτίνα ακτίνα  μέτωπο κύματος 48 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (το φως ως η/μ κύμα) Δείκτης διάθλασης (βλ. διασκεδασμό) Οπτικός δρόμος (πορεία της δέσμης αν διαδιδόταν στο κενό) Αρχή Huygens Κάθε σημείο του μετώπου κύματος αποτελεί πηγή σφαιρικών κυματιδίων ίδιας συχνότητας. Η περιβάλλουσα αυτών των κυματιδίων μετά από κάποιο χρονικό διάστημα αποτελεί το νέο μέτωπο κύματος. 49 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) Δείκτης διάθλασης Η διάδοση φωτός σε ένα μέσο επηρεάζεται σημαντικά από την πόλωση που προκαλεί σε αυτό λόγω της επίδρασης του Ε στα ηλεκτρικά φορτία του μέσου (ο δείκτης διάθλασης είναι συνάρτηση της συχνότητας). Εξίσωση διασποράς Η διάδοση φωτός σε ένα μέσο παρουσιάζει διασπορά επειδή η ταχύτητα είναι συνάρτηση της συχνότητας του φωτός. Εξισώσεις Maxwell σε διηλεκτρικό (υλικό χωρίς ελεύθερα ηλεκτρόνια) ένταση εξωτ. ηλ. πεδίου Σχετική διηλεκτρική «σταθερά» του μέσου ηλεκτρική μετατόπιση Σχετική μαγνητική διαπερατότητα ένταση εξωτ. μαγν. πεδίου πόλωση του υλικού μαγνητική επαγωγή μαγνήτιση 50 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) Στο διηλεκτρικό δεν υπάρχουν ελέυθερα φορτία και ρεύματα Εξισώσεις Maxwell σε διηλεκτρικό Ταχύτητα διάδοσης στο μέσο Δείκτης διάθλασης Όλες οι σχέσεις ισχύουν για ομοιογενές και ισότροπο μέσο. 51 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) Δίπολο p Διπολική ροπή: δημιουργείται μεταξύ δύο ίσων και αντίθετων φορτίων που απέχουν απόσταση . - + + - Άτομα: το κέντρο του θετικού φορτίου (πυρήνας) και του αρνητικού (ηλεκτρονικό νέφος που τον περιβάλλει) συμπίπτουν. Ε Επαγόμενη διπολική ροπή: διαχωρισμός του κέντρου του θετικού και του αρνητικού φορτίου με την επίδραση εξωτερικού πεδίου. - - - - + + - - Μόρια: υπάρχουν πολικά (με μόνιμη διπολική ροπή) και μη-πολικά. Ο C + - Πόλωση: παρουσία εξωτερικού ηλ. πεδίου τα άτομα/μόρια πολώνονται και προσανατολίζονται  ανάπτυξη πόλωσης (Cb/m2) - + - + - + - + - + - + - + - + Ε - + - + - + - + 52 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) ηλεκτρική επιδεκτικότητα Νόμος Gauss (1η εξ. Maxwell) Ατομικοί ταλαντωτές: τα δέσμια ηλεκτρόνια σε ένα άτομο θεωρούμε ότι συμπεροφέρονται ως (εξαναγκασμένοι) ταλανωτές  δύναμη επαναφοράς= -Κx [κάθε ηλεκτρόνιο έχει τη δική του συχνότητα συντονισμού ] δέσμια φορτία Ταλαντωτές στην ύλη: στα υλικά υπάρχουν διαφόρων ειδών ταλαντωτές [ατομικοί (ηλεκτρόνια), ιοντικοί, δονητικοί, περιστροφικοί]  η συχνότητα συντονισμού ελαττώνεται αυξανόμενης της αδράνειας. Ορατό φως  απόκριση κυρίως ατομικών ταλαντωτών συντελεστής απόσβεσης [sec-1] Μοντέλο ταλαντωτή του Lorentz 53 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) χρονική μεταβολή του πεδίου (η χωρική είναι πολύ μικρή επειδή οι διαστάσεις του ατόμου [~10-10 m] είναι πολύ μικρότερες του μήκους κύματος του φωτός [~10-6 m] ) Διπολικη ροπή ηλεκτρονίου (ηλεκτρόνιο q= -e, πυρήνας μαζί με τα υπόλοιπα ηλεκτρόνια q=+Ze-(Z-1)e= -e Επαγόμενη πόλωση από το πεδίο του φωτός Για ω>ω0  πόλωση και εξ. πεδίο αντίρροπα Για ω~ω0  συντονισμός  πόλωση Για ω<ω0  πόλωση και εξ. πεδίο ομόρροπα & Διηλεκτρική συνάρτηση 54 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) Συνεισφορά πολλών ατομικών ταλαντωτών fj: ισχύς ταλαντωτή (λαμβάνει υπόψη την πιθανότητα μετάπτωσης – υπολογίζεται κβαντομηχανικά) συντελεστής εξασθένισης Χωρίς απόσβεση (γ=0) 55 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) Χωρίς απόσβεση (γ=0) ε1<0 56 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) Με απόσβεση (γ0) 57 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) Μιγαδικός δείκτης διάθλασης: προκύπτει λόγω απόσβεσης του (εξαναγκασμένου) ταλαντωτή  διαφορά φάσης μεταξύ x (P) και E  το φανταστικό μέρος σχετίζεται με ιδιότητες απορρόφησης. Επίπεδο κύμα που διαδίδεται κατά z z x Νόμος Beer Συντελεστής απορρόφησης: συντονισμός ταλαντωτή  κ  0  εξηγείται η απορρόφηση  διασκεδασμός 58 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) Διασκεδασμός: εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από τη συχνότητα (ή το μήκος κύματος) περιοχή ανώμαλου διασκεδασμού περιοχή κανονικού διασκεδασμού περιοχή κανονικού διασκεδασμού 59 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) Διασκεδασμός γυαλιού Τα γυαλιά έχουν περιοχές απορρόφησης στο UV (λ0~100 nm) [κανονικός διασκεδασμός στο ορατό, γ~0] wikipedia Εκφράσεις διασκεδασμού D 589.2nm F 486.1nm C656.3nm Αριθμός Abbe Τύπος Sellmeier (λ>λ0) προσδιορισμός λ0 από μετρήσεις στην περιοχή του ορατού Τύπος Cauchy (λ>λ0) 60 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) Διασκεδασμός από λεπτό πρίσμα: γωνία εκτροπής ε = A(n-1) Διάλυμα φουξίνης (ανώμαλος διασκεδασμός) Γυαλί (κανονικός διασκεδασμός) Y V O B G R Y O R V B έντονη απορρόφηση του πράσινου Α Α ε λευκό φως R O B λευκό φως V Y G R V B Y O nB< nV< nR< nO< nY 61 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) Ποιοτική ερμηνεία του διασκεδασμού Φως = αρμονικό κύμα  το ηλεκτρόνιο ταλαντώνεται με διαφορά φάσης φ  εκπέμπει ακντινοβολία με διαφορά φάσης π/2 ως προς την ταλάντωση (το πεδίο της εκπεμπόμενης καθορίζεται από την επιτάχυνση του φορτίου)  εκπομπή δευτερογενούς κύματος δευτερογενές κύμα Συνολική καθυστέρηση φάσης Δφ= π/2+φ A προσπίπτον συνιστάμενο κύμα Β Γ Δ Ε Α Β Γ Δ Ε 1 ω<<ω0  -Δφ=0-π/2 ω<ω0  -π/2<-Δφ<-π ω=ω0  -Δφ=-π & συντονισμός ω>ω0  -π<-Δφ<-3π/2 ω>>ω0  -Δφ~-3π/2 φαινομενική προήγηση φάσης  το φως (τα σημεία σταθερής φάσης) φαίνεται να τρέχει με υ>c  πραγματική ταχύτητα διάδοσης σήματος: ταχυτητα ομάδας 62 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) Διακρότημα Διάδοση δύο επιπέδων κυμάτων ίδιου πλάτους με λίγο διαφορετική συχνότητα Δω=ω2-ω1 και λίγο διαφορετικά μήκη κύματος Δk=k2-k1 Το φως που εκπέμπεται από τις συνήθεις πηγές είναι ένα κυματόδεμα που προκύπτει από μεγάλο αριθμό κυμάτων [sin(kiz-ωit)] με συχνότητες σε μια περιοχή Δω. Όσο μεγαλύτερο είναι το Δω τόσο πιο περιορισμένος χωρικά και χρονικά είναι ο παλμός. 63 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) Ταχύτητα ομάδας (υg) Είναι η ταχύτητα διάδοσης ενός σημείου σταθερής φάσης (π.χ. μεγίστου) της περιβάλλουσας του διακροτήματος Ταχύτητα φάσης Είναι η ταχύτητα διάδοσης ενός σημείου σταθερής φάσης (π.χ. μεγίστου) του κύματος, δηλαδή του όρου Η ταχύτητα ομάδας μπορεί να είναι ίση, μικρότερη ή μεγαλύτερη της ταχύτητας φάσης. Μπορεί να είναι ακόμη και αρνητική. Αυτό καθορίζεται από το Δk, Δω και τις ιδιότητες διασκεδασμού του μέσου 64 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) Σχέσεις μεταξύ ταχύτητας ομάδας και ταχύτητας φάσης λ: μήκος κύματος στο μέσο, λ0: μήκος κύματος στο κενό 65 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)

ΣΥΝΟΨΗ (διασκεδασμός) 1 ω0 Περιοχή κανονικού διασκεδασμού (Κ.Δ.) Περιοχή ανώμαλου διασκεδασμού (Α.Δ.) n, ω>0 ω<ω0 ω>ω0 Κανονικός διασκεδασμός και Ανώμαλος διασκεδασμός Η κλίση της καμπύλης διασκεδασμού είναι πολύ μεγάλη. Η ταχύτητα ομάδας μπορεί να είναι >c ή/και αρνητική. Η ταχύτητα ομάδας, δηλαδή η ταχύτητα με την οποία κινείται το μέγιστο της περιβάλλουσας του κυματοδέματος, δεν μπορεί να συσχετιστεί με την ταχύτητα μεταφοράς ενέργειας ή διάδοσης σήματος καθώς το κυματόδεμα υφίσταται σημαντική χωρική παραμόρφωση (chirping). Αποδεικνύεται όμως, ότι σε κάθε περίπτωση η ταχύτητα διάδοσης της πυκνότητας ενέργειας είναι μικρότερη της c. 66 ΦΥΣΙΚΗ IV (2013-2014) ● KYMATIKH – OΠTIKH ● ΜΑΡΙΑ ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ (T3)