Βαθμός Στατικής Αοριστίας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βαθμός Στατικής Αοριστίας (α) Δικτυώματα n = ρ-2κ ρ= αριθμός ράβδων + δεσμεύσεις στηρίξεων κ= αριθμός κόμβων n=0 n=1 n=2

(β) Ολόσωμοι φορείς n = R-L Σε περιπτώσεις κλειστών δίσκων, προστίθενται επιπλέον άγνωστοι. n=2 n=0 n=1 n=0 n=1 n=2 n=0 n=0 n=2

Διαφορές επίλυσης Ισοστατικών – υπερστατικών φορέων Τα εντατικά μεγέθη του ισοστατικού φορέα, εξαρτώνται μόνο από εξωτερικές φορτίσεις + συνθήκες ισορροπίας και όχι από το είδος υλικού και τη μορφή / μέγεθος διατομών . l q I1 I2 I2>I1 M= q*l2/8 l M= q*l2/8 q I1 I2 I1>I2

Τα εντατικά μεγέθη του υπερστατικού φορέα, λαμβάνουν υπόψη το υλικό και τη γεωμετρία των διατομών. l q I1>I2 I1 I2 -(ql2/12) +ql2/24 q l -r(ql2/12) I2>I1 +ql2/24*(3-2r) r = (4I1/h) / [4I1/h + 2I2/l]

Μέθοδοι επίλυσης: Μέθοδος δυνάμεων Μέθοδος παραμορφώσεων Μέθοδος CROSS Άμεση μέθοδος δυσκαμψίας Παραδοχές: Υλικό φορέα γραμμικώς ελαστικό (Hooke, Bernouli) Ατένεια – απειροστές παραμορφώσεις και μετακινήσεις σε σύγκριση με τις διαστάσεις του φορέα. Αρχή επαλληλίας – αποτέλεσμα ομάδας δράσεων άθροισμα αποτελεσμάτων κάθε μιας χωριστά.

Πλεονεκτήματα υπερστατικής μόρφωσης φορέων (I) Μικρότερα εντατικά μεγέθη - εκμετάλλευση υλικού l Α Β ΜΑ=ΜΒ= -ql2/12 MA-B=+ql2/24 l MaxM=ql2/8 Α Β l/2 MaxM= -ql2/32 MAB=ΜΑΓ= ql2/56,8 Α Β Γ (II) Δυνατότητα "σταδιακής" αστοχίας της κατασκευής πριν την κατάρρευση (απόθεμα στατικής επάρκειας). (III) Σταθερότητα πριν την ολοκλήρωση της κατασκευής – εν προβόλω δόμηση.

Μειονεκτήματα υπερστατικής μόρφωσης φορέων (I) Ευαισθησία σε υποχωρήσεις στηρίξεων - καθιζήσεις (II) Δυσκολία υπολογισμών

Προαπαιτούμενες γνώσεις από την θεωρία ισοστατικών φορέων M N V Προσήμανση M, V, N Διαγράμματα  [ N+ , N- ] [ V+ , V- ] [ M- , M+ ] Σχέση μεταξύ q, V, M  dV(x)/dx = -q(x), dM(x)/dx = V(x)

M = maxM(x)= M(αρχής) + εμβαδόν V(x)αρχή-x0 Εύρεση μέγιστου ΜΧο Αν x0 = σημείο μηδενισμού του V(x) (V=0) τότε M = maxM(x)= M(αρχής) + εμβαδόν V(x)αρχή-x0 Αν V(x) = τριγωνικό  εμβαδόν = V(αρχής)2 / 2q Vαρχ x0 εμβαδόν = ½ * V(αρχής) * xo = ½ * V(αρχής) * [V(αρχής) /q] = V(αρχής)2 / 2q Άρα, M(x) = M(αρχής) + V(αρχής)2 / 2q

Παραδείγματα Ρ A B l A B α β α+β=l ql/2 VA=Pβ/l q Pβ/l Pα/l M = MA+ (Pβ/l)*α = Pαβ/l α+β=l VA=Pβ/l Ρ A B maxM = MA+ VA2 / 2q = 0 + (ql/2)2/2q = ql2/8 l ql/2 q A B

Vαριστερά = V0 + (Mδεξιά – Mαριστερά) / L Υποκατάστατη Δοκός Αν οι ροπές αρχής (αριστερά) και τέλους (δεξιά) ενός τμήματος φορέα είναι γνωστές, τότε η τέμνουσα αρχής (αριστερά),δίνεται ως: Vαριστερά = V0 + (Mδεξιά – Mαριστερά) / L όπου V0 = η τέμνουσα αμφιέρειστης δοκού με ίδιο μήκος και φορτίο Ενώ, η τέμνουσα τέλους: Vδεξιά = Vαριστερά - (άθροισμα φορτίων ανοίγματος)

Ζητούνται τα διαγράμματα Μ και V της μονοπροέχουσας δοκού. Παράδειγμα 4kN 2kN/m 2 4 Α Γ Β Ζητούνται τα διαγράμματα Μ και V της μονοπροέχουσας δοκού. +6 -2 -4 [V] -8 +1 [M] ΜΑ= -42 = -8KNm, VΑ= -4 VΑΒ = V0 + (MΒ – MΑ) / 4 = 2*4/2 + [0 – (-8)] /4 = +6 VΒΑ = VΑΒ – ΣP = 6 – 2*4 = -2 maxMΑ-Β = MA+ εμβαδόν V = -8 + 62/2*2 = 1 kNm