Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Eισαγωγικές έννοιες

O ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Φυσικός κόσμος Μαθηματικό-Φυσικό μοντέλο αριθμοί Ευκλείδειος χώρος συντεταγμένες σημείου Νευτώνειος χρόνος αριθμητικός χρόνος Μαθηματικά αντικείμενα: διανύσματα συναρτήσεις συνιστώσες αριθμητικοί συντελεστές  αλγόριθμοι υπολογισμοί αποτελέσματα εφαρμογές

ΑΡΙΘΜΟΠΟΙΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ μαθηματικά αντικείμενα αριθμοί συντεταγμένες q1(Ρ), q2 (Ρ), q3 (Ρ) σημείο Ρ σύστημα συντεταγμένων q1, q2, q3 τοπική διανυσματική βάση e1, e2, e3 συνιστώσες u1, u2, u3 του u = u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 τοπικό διάνυσμα u συντελεστές α1, α2, ... της συνάρτησης f = a1φ1+ a2 φ2 + ... γνωστές συναρτήσεις βάσης φ1, φ2, ... συνάρτηση f BAΣΙΚΗ ΙΔΕΑ: Aπόδοση μαθηματικών αντικειμένων με γραμμικούς συνδυασμούς ομοειδών αντικειμένων. Οι αριθμητικοί συντελεστές των γραμμικών συνδυασμών αντιπροσωπεύουν πλέον τα αντικείμενα στους υπολογισμούς.

τοπική διανυσματική βάση ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ μαθηματικά αντικείμενα αριθμοί συντεταγμένες q1(Ρ), q2 (Ρ), q3 (Ρ) σημείο Ρ σύστημα συντεταγμένων q1, q2, q3 τοπική διανυσματική βάση e1, e2, e3 συνιστώσες u1, u2, u3 του u = u1e1 + u2e2 + u3e3 τοπικό διάνυσμα u Σύστημα αναφοράς = σημείο Ο (αρχή) και 3 διανύσματα e1, e2, e3 στο Ο Στόχος 1ος = συντεταγμένες x = OP = διάνυσμα θέσης του σημείου P P x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 e3 συνιστώσες x1, x2, x3 = = καρτεσιανές συντεταγμένες σημείου P O e2 e1

τοπική διανυσματική βάση ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ μαθηματικά αντικείμενα αριθμοί συντεταγμένες x1(Ρ), x2 (Ρ), x3 (Ρ) σημείο Ρ σύστημα συντεταγμένων x1, x2, x3 τοπική διανυσματική βάση e1, e2, e3 συνιστώσες u1, u2, u3 του u = u1e1 + u2e2 + u3e3 τοπικό διάνυσμα u Σύστημα αναφοράς = σημείο Ο (αρχή) και 3 διανύσματα e1, e2, e3 στο Ο Στόχος 1ος = συντεταγμένες x = OP = διάνυσμα θέσης του σημείου P P x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 e3 συνιστώσες x1, x2, x3 = = καρτεσιανές συντεταγμένες σημείου P O e2 e1

τοπική διανυσματική βάση ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ μαθηματικά αντικείμενα αριθμοί συντεταγμένες x1(Ρ), x2 (Ρ), x3 (Ρ) σημείο Ρ σύστημα συντεταγμένων x1, x2, x3 τοπική διανυσματική βάση e1, e2, e3 συνιστώσες u1, u2, u3 του u = u1e1 + u2e2 + u3e3 τοπικό διάνυσμα u Σύστημα αναφοράς = σημείο Ο (αρχή) και 3 διανύσματα e1, e2, e3 στο Ο Στόχος 1ος = συντεταγμένες x = OP = διάνυσμα θέσης του σημείου P P x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 e3 συνιστώσες x1, x2, x3 = = καρτεσιανές συντεταγμένες σημείου P O e2 e1

τοπική διανυσματική βάση Σύστημα αναφοράς = σημείο Ο (αρχή) και 3 διανύσματα e1, e2, e3 στο Ο μαθηματικά αντικείμενα αριθμοί συντεταγμένες x1(Ρ), x2 (Ρ), x3 (Ρ) σημείο Ρ σύστημα συντεταγμένων x1, x2, x3 τοπική διανυσματική βάση e1, e2, e3 συνιστώσες u1, u2, u3 του u = u1e1 + u2e2 + u3e3 τοπικό διάνυσμα u Στόχος 2ος = τοπική διανυσματική βάση σε οποιοδήποτε σημείο P e2 e3 e1 e2 e3 e1 Παράλληλη μετάθεση της βάσης του συστήματος αναφοράς από την αρχή Ο στο σημείο P O

τοπική διανυσματική βάση Σύστημα αναφοράς = σημείο Ο (αρχή) και 3 διανύσματα e1, e2, e3 στο Ο μαθηματικά αντικείμενα αριθμοί συντεταγμένες x1(Ρ), x2 (Ρ), x3 (Ρ) σημείο Ρ σύστημα συντεταγμένων x1, x2, x3 συνιστώσες u1, u2, u3 του u = u1e1 + u2e2 + u3e3 τοπική διανυσματική βάση e1, e2, e3 τοπικό διάνυσμα u Στόχος 2ος = τοπική διανυσματική βάση σε οποιοδήποτε σημείο e2 e3 e1 u3 u P u2 u1 e2 e3 e1 Aνάλυση τοπικού διανύσματος σε γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων της τοπικής βάσης με συντελεστές τις συνιστώσες O

τοπική διανυσματική βάση Σύστημα αναφοράς = σημείο Ο (αρχή) και 3 διανύσματα e1, e2, e3 στο Ο μαθηματικά αντικείμενα αριθμοί συντεταγμένες x1(Ρ), x2 (Ρ), x3 (Ρ) σημείο Ρ σύστημα συντεταγμένων x1, x2, x3 συνιστώσες u1, u2, u3 του u = u1e1 + u2e2 + u3e3 τοπική διανυσματική βάση e1, e2, e3 τοπικό διάνυσμα u Στόχος 2ος = τοπική διανυσματική βάση σε οποιοδήποτε σημείο e2 e3 e1 u3 u u P u2 u1 O e2 e3 e1 Aνάλυση τοπικού διανύσματος σε γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων της τοπικής βάσης με συντελεστές τις συνιστώσες

e3 u x3 u3 P e2 e3 u1 u2 x e1 e2 O x2 e1 x1 x1, x2, x3 κάθε σημείου P Σύστημα αναφοράς = σημείο Ο (αρχή) και 3 διανύσματα e1, e2, e3 στο Ο Aπό το σύστημα αναφοράς προκύπτουν: Καρτεσιανές συντεταγμένες x1, x2, x3 κάθε σημείου P ως συνιστώσες του διανύσματος θέσης x = OP Περιγραφή σημείων με αριθμούς Ένα σύνολο τοπικών βάσεων σε κάθε σημείο P με παράλληλη μετάθεση της βάσης του συστήματος αναφοράς u u3 u1 u2 P x3 x1 x2 x e3 e1 e2 Οι συνιστώσες u1, u2, u3 οποιουδήποτε τοπικού διανύσματος u στο σημείο P ως προς την τοπική βάση στο P O e3 e2 e1 Περιγραφή διανυσμάτων με αριθμούς

Η ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Oρισμός μονάδας χρόνου: Αριθμητικές τιμές χρονικών διαστημάτων Oρισμός αφετηρίας χρόνου: Αριθμητικές τιμές χρονικών στιγμών Πρώτες μονάδες χρόνου Αντίστοιχο «ρολόι» ημέρα (ημερονύχτιο) = εναλλαγή ημέρας-νύχτας περιστροφή της γης (φαινομενικά: περιστροφή ήλιου) σεληνιακός μήνας = από πανσέληνο σε πανσέληνο 29.5 ημέρες (29 ή 30) τροχιά της σελήνης γύρω από τη γη έτος = εναλλαγή εποχών 365.25 ημέρες τροχιά της γης γύρω από τον ήλιο Ασυμβατότητα σεληνιακού μήνα και έτους: 12  29.5 = 354 = 365 – 11 Εμβόλιμες ημέρες – εμβόλιμοι μήνες Αρχαιοελληνική οκταετηρίδα 3 εμβόλιμοι μήνες σε 8 χρόνια 12  8  29.5 + 3  30 = 8  365.25

Πρώτη μέτρηση της διάρκειας του έτους από τον Θαλή 23 χειμερινό ηλιοστάσιο θερινό ηλιοστάσιο 22 ΔΕΚ 22 ΙΟΥΝ Β θερινό ηλιοστάσιο 22 ΙΟΥΝΙΟΥ π 23 23 π χειμερινό ηλιοστάσιο 22 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 1 έτος = 365.25 (σήμερα = 365.2424)

ΠΟΙΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΡΟΛΟΙ ΣΕ ΧΡΗΣΗ ; μέσα 20ου αιώνα πριν μετά Περιστρεφόμενη γη Aτομικά ρολόγια 1 δευτερόλεπτο = = 1 / (24  60  60) ημέρας 1 δευτερόλεπτο = = 9 192 631 770 ταλαντώσεις του ατόμου Καισίου 133 = περιστροφές μέση ηλιακή ημέρα = 365.25+1 365.25 ?

Ήλιος 1 365.25 περιστροφές Γη 1 έτος = = 365.25 περιστροφές της γης μεσημέρι k+1 μεσημέρι k 1 ηλιακή ημέρα = περιστροφές = 1+ = 1 365.25 366.25

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ: Από τη GEWMETRIA στη GEWDAISIA Ηρόδοτος (485-425 π.Χ.) - «Ιστορία», βιβλίο 2 «Ευτέρπη», 109, 1-12 : Κατανείμαι δε την χώρην Αιγυπτίοισι άπασι τούτον έλεγον τον βασιλέα, κλήρον ίσον εκάστω τετράγωνον διδόντα, και από τούτου τας προσόδους ποιήσασθαι, επιτάξαντα αποφορήν επιτελέειν κατ’ ενιαυτόν. Ει δε τινός του κλήρου ο ποταμός τι παρέλοιτο, ελθών αν προς αυτόν εσήμαινε το γεγενημένον. ο δε έπεμπεν τους επισκεψομένους και αναμετρήσοντας όσω ελάσσων ο χώρος γέγονε, όπως του λοιπού κατά λόγον της τεταγμένης αποφορής τελέσι. Δοκέει δε μοι ενθεύτεν γεωμετρίη ευρεθείσα ες την Ελλάδα επανελθείν. Λένε πως ο βασιλιάς μοίρασε τη γη σε όλους τους Αιγυπτίους, δίνοντας σε κάθε ένα ίσο τετράγωνο, ορίζοντας να πληρώνεται ετήσιος φόρος για τα εισοδήματα που θα προέκυπταν. Εάν ο ποταμός παρέσυρε τμήμα του κλήρου κάποιου, αυτός μπορούσε να παρουσιαστεί και να το δηλώσει. Τότε (ο βασιλιάς) έστελνε ανθρώπους να επισκεφτούν το μέρος και να μετρήσουν κατά πόσο μειώθηκε το εμβαδόν, ώστε να μειωθεί αναλογικά και ο φόρος. Μου φαίνεται λοιπόν πως η γεωμετρία επινοήθηκε εκεί και από εκεί ήλθε στην Ελλάδα). γεωμετρία = ταυτόσημη με σημερινή τοπογραφία

Αριστοτέλης (384-322 π.Χ.) - «Μετά τα Φυσικά», 997, 26-28 : Αριστοτέλης (384-322 π.Χ.) - «Μετά τα Φυσικά», 997, 26-28 : ... ει γαρ τούτω διοίσει της γεωδαισίας η γεωμετρία μόνον, ότι η μεν τούτων εστίν ων αισθανόμεθα η δ’ ουκ αισθητών. ... κατά τούτο μόνο διαφέρει από τη γεωδαισία η γεωμετρία, κατά το ότι η πρώτη ασχολείται με όσα μπορούμε να αντιληφθούμε με τις αισθήσεις μας ενώ η δεύτερη με τα μη αισθητά. γεωμετρία = ταυτόσημη με σημερινή τοπογραφία (κυριολεξία) Στον Ηρόδοτο: γεωμετρία = με τη σημερινή έννοια (κλάδος μαθηματικών) γεωδαισία = τοπογραφία με τη σημερινή έννοια Στον Αριστοτέλη: Τι μεσολάβησε στα 100 χρόνια από τον Ηρόδοτο στον Αριστοτέλη ; Εισαγωγή των αφηρημένων μαθηματικών εννοιών Θεμελίωση της λογικής, και της μαθηματικής και επιστημονικής σκέψης Γέννηση του «δυτικού πολιτισμού»

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ Προηγείται ο προσδιορισμός του σχήματος (π.χ. συνόλου αγροτεμαχίων) Η θέση αναφέρεται στη σχέση του σχήματος με άλλα σχήματα (αναφορά)

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ Προηγείται ο προσδιορισμός του σχήματος (π.χ. συνόλου αγροτεμαχίων) Η θέση αναφέρεται στη σχέση του σχήματος με άλλα σχήματα (αναφορά) οροθετημένα αγροκτήματα με μετρημένες πλευρές και διαγώνιους

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ Προηγείται ο προσδιορισμός του σχήματος (π.χ. συνόλου αγροτεμαχίων) Η θέση αναφέρεται στη σχέση του σχήματος με άλλα σχήματα (αναφορά) πλημμύρα

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ Προηγείται ο προσδιορισμός του σχήματος (π.χ. συνόλου αγροτεμαχίων) Η θέση αναφέρεται στη σχέση του σχήματος με άλλα σχήματα (αναφορά) απώλεια ορόσημων

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ Προηγείται ο προσδιορισμός του σχήματος (π.χ. συνόλου αγροτεμαχίων) Η θέση αναφέρεται στη σχέση του σχήματος με άλλα σχήματα (αναφορά) επανατοποθέτηση ορόσημων με μετρημένα μήκη (χάραξη)

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ Προηγείται ο προσδιορισμός του σχήματος (π.χ. συνόλου αγροτεμαχίων) Η θέση αναφέρεται στη σχέση του σχήματος με άλλα σχήματα (αναφορά) Τα σταθερά ορόσημα αποτελούν την «αναφορά» για τον προσδιορισμό της θέσης των χαμένων ορόσημων

ΤΑ ΠΡΩΤΑ «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ» (για την «επίπεδη» γη) Α Δ Β Ν (1) η πορεία του ήλιο στον ουράνιο θόλο Διευθύνσεις Ανατολής-Δύσης και Βορά-Νότου μεταβάλλεται με την εποχή του έτους (2) Ο άξονας της φαινομενικής περιστροφής του ουράνιου θόλου Α Δ Β Ν Πολικός Διευθύνσεις Βορά-Νότου και Ανατολής-Δύσης σταθερή

ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΘΕΣΗΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΗ Πολικός Ζενίθ 90-φ φ λ φ R 90-φ Όσο προχωράμε βορειότερα τόσο αυξάνεται η γωνία φ του πολικού πάνω από τον ορίζοντα! Κριτήριο «βοριότητας» ! = γεωγραφικό πλάτος φ Κριτήριο σχετικής «ανατολικότητας-δυτικότητας» = = διαφορά γεωγραφικού μήκους Δλ. Δεν υπάρχει φυσική αναφορά (αρχή) για τα μήκη!

ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΘΕΣΗΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΗ Το πλάτος φ και το μήκος λ εκφρασμένα ως μήκη τόξων (αποστάσεις στις διευθύνσεις βορά-νότου και ανατολής-δύσης, αντίστοιχα) Δsφ = R φ Δsλ Δsλ = R sinφ Δλ R Δsφ Σύστημα αναφοράς για το φ = άξονας περιστροφής της γης φυσική επιλογή φ Δλ για το λ = αυθαίρετη επιλογή μηδενικού μεσημβρινού Ρόδος  Αλεξάνδρεια  Θούλη  Greenwich

Η ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΥ ΤΗΣ ΓΗΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ Συήνη Αλεξάνδρεια στήλη στην Αλεξάνδρεια πηγάδι στη Συήνη 7.2° απόσταση 5000 στάδια Περίμετρος γης = 5000  360 / 7.2 = 250 000 στάδια = 41000 km (ελληνικό στάδιο 164 m) Λάθος +2.30 % = 39375 km (αλεξανδρινό στάδιο 157.5 m) Λάθος -1.75 % πραγματική τιμή ισημερινής περιμέτρου = 40075 km

ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ ΣΩΣΤΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ D = 5000 στ. S 7.2° 7.2° D 7.2° Μοντέλο Ερατοσθένη: - Σφαιρική γη - Ήλιος σε άπειρη απόσταση Σωστό ! Λανθασμένο μοντέλο: - Επίπεδη γη - Ήλιος σε πεπερασμένη απόσταση Απόσταση ήλιου-γης S = 5000 cot(7.2°) = = 39579 στάδια

Δλ = ΔλΒ – ΔλΑ = (ΔtΒ – ΔtΑ)h × 360° / 24h ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΜΗΚΟΥΣ Με ταυτόχρονη παρατήρηση φυσικού φαινομένου (έκλειψη ήλιου ή σελήνης) Με τη βοήθεια ακριβούς χρονομέτρου Δλ tΑ tΒ Α Β ΔλΑ = ΔtAh × 360° / 24h ΔλB = ΔtBh × 360° / 24h Δλ = ΔλΒ – ΔλΑ = (ΔtΒ – ΔtΑ)h × 360° / 24h = Δth × 360° / 24h Ίδιο φαινόμενο: Στο Α, χρόνο ΔtA μετά την ανατολή Στο Β, χρόνο ΔtΒ μετά την ανατολή Δt = ΔtB-ΔtA Διόρθωση χρονομέτρου την επόμενη ανατολή

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΜΗΚΟΥΣ Με ταυτόχρονη παρατήρηση φυσικού φαινομένου (έκλειψη ήλιου ή σελήνης) Με τη βοήθεια ακριβούς χρονομέτρου Δλ tΑ tΒ Α Β Δλ Α Β t t+Δt Δλ = Δth  360 / 24h Ίδιο φαινόμενο: Στο Α, χρόνο ΔtA μετά την ανατολή Στο Β, χρόνο ΔtΒ μετά την ανατολή Δt = ΔtB-ΔtA Διόρθωση χρονομέτρου την επόμενη ανατολή Mεσουράνηση ίδιου άστρου: Στο Α, την χρονική στιγμή t Στο Β, την χρονική στιγμή t+Δt

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ Στην ξηρά = Διόρθωση χρονομέτρου κάθε 24 ώρες με την παρατήρηση αστρικού φαινομένου που συμβαίνει κάθε 24 ώρες Π.χ. ανατολή ήλιου κάθε 24 (μέσες) ηλιακές ώρες. Μέσες επειδή ο ήλιος «τρέχει» άλλοτε γρηγορότερα άλλοτε αργότερα (2ος νόμος του Kepler) ΓΗ ΗΛΙΟΣ Π.χ. μεσουράνηση άστρου κάθε 24 αστρικές ώρες. 1 ηλιακή ημέρα = 1 περιστροφή της γης ως προς τον ήλιο 1 αστρική ημέρα = 1 περιστροφή της γης ως προς τον ουράνιο θόλο (περίπου) 1 έτος = 1 περιστροφή γης γύρω από τον ήλιο = 365.25 ηλιακές ημέρες = 366.25 αστρικές ημέρες Στην θάλασσα = αδυναμία διόρθωσης χρονομέτρου τα αστρικά φαινόμενα δεν επαναλαμβάνονται κάθε 24 ώρες επειδή το πλοίο αλλάζει εν τω μεταξύ γεωγραφικό πλάτος 1714 : H αγγλική κυβέρνηση θεσμοθετεί βραβείο 20000 λιρών για την λύση του προβλήματος της εύρεσης του γεωγραφικού μήκους στη θάλασσα Και ο νικητής (1773) είναι ...

Ο John Harrison δημιουργεί διαδοχικά με συνεχείς βελτιώσεις 4 χρονόμετρα τα H1, H2, H3 και Η4 με το οποίο κερδίζει το βραβείο ! John Harrison John Harrison Η1 Η1 Η2 Η2 Η3 Η3 Η4 Η4

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Σφαιρικό μοντέλο σχήματος της γης + Σφαιρικό μοντέλο για το πεδίο βαρύτητας : Η διεύθυνση του διανύσματος της βαρύτητας (διεύθυνση νήματος της στάθμης) ίδια με την διεύθυνση προς το κέντρο της σφαίρας (ακτινική διεύθυνση) λ φ R r h=r-R Τοπικό οριζόντιο επίπεδο = = εφαπτόμενο στη σφαίρα Διαχωρισμος προσδιορισμού θέσης σε οριζόντιο μέρος (θέση στη σφαίρα : λ και φ) και κατακόρυφο μέρος (ύψος h)

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ To τοπικό μοντέλο (τοπογραφική προσέγγιση) Διευθύνσεις της βαρύτητας παράλληλες μεταξύ τους Επιλογή ενός οριζόντιου επιπέδου π ως αναφορά για τα ύψη Διαχωρισμός προσδιορισμού θέσης σε 2 μέρη: oριζόντιο μέρος (θέση x, y στο επίπεδο π) κατακόρυφο ύψος (απόσταση από το οριζόντιο επίπεδο π – ύψος h)

ΠΕΡΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΤΗΣ ΓΗΣ Αρχές 18ου αιώνα Isaac Newton Isaac Newton Jean Dominique Cassini Jean Dominique Cassini Νεύτων Γη πεπλατυσμένη στους πόλους Cassini (πατέρας και γιός) Γη πεπλατυσμένη στον ισημερινό Βάση: θεωρία (νόμος παγκόσμιας έλξης) Βάση: παρατηρήσεις (επηρεασμένες από σφάλματα)

a > b  Δsa > Δsb Επίλυση προβλήματος με την μέτρηση του μήκους τόξου 1 μοίρας στον ισημερινό και τους πόλους Γαλλική Ακαδημία: oργάνωση 2 αποστολών a > b  Δsa > Δsb Λαπωνία – Maupertuis Περού – La Condamine, Bouger (σημερινό Εκουαντόρ) Pierre-Louis Maupertuis La Condamine

a - b f = = 1 / 297 a AΠOTEΛEΣMATA TΩN 2 ΑΠΟΣΤΟΛΩΝ γη πεπλατυσμένη στους πόλους ! Δικαίωση του Νεύτωνα και της Θεωρίας ! Σημερινά δεδομένα ισημερινή ακτίνα a = = πολική ακτινα b + + 21.5 km f = = 1 / 297 a - b a (γεωμετρική) πλάτυνση

ΣΧΕΣΗ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΠΕΔΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Ελλειψοειδές μοντέλο σχήματος γης: ελλειψοειδές εκ περιστροφής (περιστροφή έλλειψης γύρω από τον μικρό ημιάξονα) = = ελλειψοειδές αναφοράς Ελλειψοειδές μοντέλο πεδίου βαρύτητας: διεύθυνση βαρύτητας κάθετη στην επιφάνεια ελλειψοειδούς εκ περιστροφής Όχι όμως για σημεία εκτός επιφάνειας ! Επιφάνεια ελλειψοειδούς αναφοράς = ισοδυναμική επιφάνεια πεδίου βαρύτητας (στάθμη νερού σε ηρεμία)

γa = βαρύτητα στον ισημερινό ΣΧΕΣΗ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΠΕΔΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ a = ισημερινή ακτίνα Eξίσωση Clairaut (σύνδεση σχήματος και βαρύτητας) b = πολική ακτινα f + f* = 5 2 φυγόκεντρη δύναμη στον ισημερινό βαρύτητα στον ισημερινό γεωμετρική πλάτυνση f = a - b a Alexis-Claude Clairaut γa = βαρύτητα στον ισημερινό γb = βαρύτητα στους πόλους δυναμική πλάτυνση f * = γb - γa γa

H MEΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΙΣΜΟΥ Τριγωνομετρικό δίκτυο: Προσδιορισμός σχήματος: από μετρήσεις γωνιών Προσδιορισμός μεγέθους: από μέτρηση μιας τουλάχιστον πλευράς

ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟΥ ΚΑΙ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟΥ ΜΕΡΟΥΣ Σφάλματα κατά τον προσδιορισμό θέσης με μετρήσεις γωνιών Κυρίως πρόβλημα: Σφάλματα στις ζενίθειες γωνίες λόγω ατμοσφαιρικής διάθλασης (καμπύλη πορεία του φωτός) Μικρή αβεβαιότητα στην οριζόντια θέση οριζόντιες γωνίες περιοχές αβεβαιότητας σημείο στόχος κατακόρυφες γωνίες σημείο σκόπευσης Μεγάλη αβεβαιότητα στην κατακόρυφη θέση

H MΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Carl Friedrich Gauss Επινοήθηκε ανεξάρτητα από τον Gauss και τον Legendre Ο Gauss απέδειξε ότι δίνει τη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια αξιοποιώντας την θεωρία πιθανοτήτων του Laplace b = f(x) + v σφάλματα παρατηρήσεων παρατηρήσεις γωνιών και πλευρών άγνωστες συντεταγμένες γνωστές συναρτήσεις Κριτήριο ελαχίστων τετραγώνων Σi vi2 = min ή Σi pi vi2 = min  βέλτιστες συντεταγμένες x  Adrien MarieLegendre Pierre-Simon Laplace

ΠΙΟ ΑΚΡΙΒΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΤΗΣ ΓΗΣ Ανάπτυξη των μοντέλων για το σχήμα και το πεδίο βαρύτητας της γης ισοδυναμική επιφάνεια = στάθμη νερού (κάθετη στη διεύθυνση της βαρύτητας) g ισοδυναμική επιφάνεια h γεωδαιτικό ύψος γεωειδές = ισοδυναμική επιφάνεια στη μέση στάθμη της θάλασσας H ορθομετρικό ύψος κατακόρυφη καμπύλη = εφαπτόμενη παντού στο διάνυσμα της βαρύτητας γεωειδές ζ ύψος γεωειδούς ελλειψοειδές κάθετη στο ελλειψοειδές h  H + ζ

H ANAΓΚΗ ΓΙΑ ΓΝΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ απόκλιση κατακορύφου Θ = «αστρονομική» γωνία (δίεδρη με ακμή την κατακόρυφη) κατακόρυφη Θ αναγωγή στην κάθετο απαιτείται γνώση της κατακόρυφης κατεύθυνσης (αστρονομικό μήκος Λ και αστρονομικό πλάτος Φ) κάθετη στο ελλειψοειδές διάνυσμα βαρύτητας «οριζόντια» τριγωνομετρικά δίκτυα πάνω στο ελλειψοειδές

H ANAΓΚΗ ΓΙΑ ΓΝΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ απόκλιση κατακορύφου Θ = «αστρονομική» γωνία (δίεδρη με ακμή την κατακόρυφη) κατακόρυφη Θ θ αναγωγή στην κάθετο απαιτείται γνώση της κατακόρυφης κατεύθυνσης (αστρονομικό μήκος Λ και αστρονομικό πλάτος Φ) κάθετη στο ελλειψοειδές θ = «γεωδαιτική» γωνία (δίεδρη με ακμή την κάθετη στο ελλειψοειδές) διάνυσμα βαρύτητας αναγωγή στο ελλειψοειδές απαιτείται γνώση των γεωδαιτικών υψών των 3 σημείων «οριζόντια» τριγωνομετρικά δίκτυα πάνω στο ελλειψοειδές

H ANAΓΚΗ ΓΙΑ ΓΝΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ απόκλιση κατακορύφου Θ = «αστρονομική» γωνία (δίεδρη με ακμή την κατακόρυφη) κατακόρυφη θ αναγωγή στην κάθετο απαιτείται γνώση της κατακόρυφης κατεύθυνσης (αστρονομικό μήκος Λ και αστρονομικό πλάτος Φ) κάθετη στο ελλειψοειδές θ = «γεωδαιτική» γωνία (δίεδρη με ακμή την κάθετη στο ελλειψοειδές) διάνυσμα βαρύτητας αναγωγή στο ελλειψοειδές απαιτείται γνώση των γεωδαιτικών υψών των 3 σημείων θ0 «οριζόντια» τριγωνομετρικά δίκτυα πάνω στο ελλειψοειδές θ0 = γωνία πάνω στο ελλειψοειδές

ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟΥ ΚΑΙ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ (Μεγάλες περιοχές – Σύνολο της γης) ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΜΕΡΟΣ: Τριγωνομετρικά δίκτυα πάνω στο ελλειψοειδές Πλευρές = = γεωδαισιακές καμπύλες = συντομότερες καμπύλες μεταξύ σημείων

ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟΥ ΚΑΙ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ (Μεγάλες περιοχές – Σύνολο της γης) ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΜΕΡΟΣ: Τριγωνομετρικά δίκτυα πάνω στο ελλειψοειδές Παρατηρήσεις: οριζόντιες γωνίες Θ και χωρικές αποστάσεις s αποκλίσεις κατακορύφου από αστρονομικές παρατηρήσεις ή παρατηρήσεις βαρύτητας προσεγγιστικά υψόμετρα γωνίες Θ (ως προς την κατακόρυφο) γωνίες θ ως προς την κάθετο στο ελλειψοειδές γωνίες θ0 στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς

ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟΥ ΚΑΙ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ (Μεγάλες περιοχές – Σύνολο της γης) ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΜΕΡΟΣ: Τριγωνομετρικά δίκτυα πάνω στο ελλειψοειδές Παρατηρήσεις: οριζόντιες γωνίες Θ και χωρικές αποστάσεις s προσεγγιστικά υψόμετρα πλευρές s στον τρισδιάστατο χώρο πλευρές s0 στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς

ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟΥ ΚΑΙ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ (Μεγάλες περιοχές – Σύνολο της γης) KATAKOΡΥΦΟ ΜΕΡΟΣ: Τριγωνομετρικά δίκτυα πάνω στο ελλειψοειδές Παρατηρήσεις: υψομετρικές διαφορές ΔH (ορθομετρικά υψόμετρα H) από χωροσταθμίσεις ύψη ζ του γεωειδούς (πάνω από το ελλειψοειδές) από παρατηρήσεις βαρύτητας διαφορές ΔΗ ορθομετρικών υψών (πάνω από το γεωειδές) διαφορές Δh ελειψοειδών υψών (πάνω από το ελλειψοειδές)

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Tύπος του Stokes P Q ψ dσ α ζP = S(ψPQ) ΔgQ dσQ R 4π G  σ ζ = ύψος γεωειδούς (πάνω από το ελλειψοειδές) George Gabriel Stokes S(ψ) = συνάρτηση του Stokes Δg = ανωμαλία βαρύτητας (βαρύτητα στο γεωειδές μείον κανονική βαρύτητα στο ελλειψοειδές) dσ = στοιχείο επιφάνειας στη μοναδιαία σφαίρα R = ακτίνα της γης G = παγκόσμια σταθερά έλξης

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Tύπος του Vening Meinesz α P ψ dσ Q  σ ξ = Φ- = cosα Δg dσ 1 4π G dS dψ  σ η = cos (Λ-λ) = sinα Δg dσ 1 4π G dS dψ George Gabriel Stokes ξ, η = αποκλίσεις της κατακόρυφου = διαφορές ανάμεσα στην κατεύθυνση της κατακόρυφου (αστρονομικό μήκος Λ και πλάτος Φ) και την κάθετη στο ελλειψοειδές (γεωδαιτικό μήκος λ και πλάτος ) Προσδιορισμός κατακόρυφης κατεύθυνσης από μετρήσεις βαρύτητας αντί για επίπονες αστρονομικές παρατηρήσεις !

ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ από τον Helmert στο σύγγραμμα του «Γεωδαισία» (τέλη 19ου αιώνα) Γεωδαισία είναι η επιστήμη του σχήματος και του πεδίου βαρύτητας της γης σήμερα προσθέτουμε: Friedrich Robert Helmert και της μεταβολής τους με τον χρόνο

Χ, Υ, Ζ Η ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ ΣΤΗΝ ΔΙΑΣΤΗΜΙΚΗ ΕΠΟΧΗ Απευθείας προσδιορισμός καρτεσιανών συντεταγμένων Χ, Υ, Ζ και σφάλματος ρολογιού δέκτη από μετρήσεις (ψευδο)αποστάσεων από 4 τουλάχιστον δορυφόρους με γνωστή θέση Τέλος διαχωρισμού σε οριζόντιο (ελλειψοειδές) και κατακόρυφο μέρος GPS - Παγκόσμιο σύστημα προσδιορισμού θέσης

Χ, Υ, Ζ Η ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ ΣΤΗΝ ΔΙΑΣΤΗΜΙΚΗ ΕΠΟΧΗ Z h H ζ λ, φ, h φ Y ζ λ X Προσδιορισμός καρτεσιανών συντεταγμένων Χ, Υ, Ζ από παρατηρήσεις GPS Z h H ζ Mετατροπή σε γεωδαιτικές συντεταγμένες λ, φ, h Γεωειδές Ελλειψοειδές φ Y Χρειάζεται το ύψος του γεωειδούς ζ λ X Χρειαζόμαστε ακόμη το πεδίο βαρύτητας ! Για τον προδιορισμό του ορθομετρικού ύψους H = h − ζ Σημαντικό στις εφαρμογές

g Η ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ ΣΤΗΝ ΔΙΑΣΤΗΜΙΚΗ ΕΠΟΧΗ Προσδιορισμός του πεδίου βαρύτητας : Από διαθέσιμες επίγειες τιμές βαρύτητας και από διαστημικές μεθόδους : (1) Με ανάλυση της τροχιάς δορυφόρου που διαμορφώνεται από το διάνυσμα της βαρύτητας (επιτάχυνση) g GRACE (α) Παρατηρήσεις γης-δορυφόρου π.χ. αποστάσεις με LASER (SLR) Σύστημα DORIS g SLR (β) Παρατηρήσεις δορυφόρου-δορυφόρου π.χ. ζεύγος δορυφόρων GRACE GOCE (2) Παρατηρήσεις παραγώγων των συνιστωσών της βαρύτητας Αποστολή GOCE