Leonard Euler (1707-1783)

Γεννήθηκε 15 Aπριλίου 1707 Βασιλεία, Ελβετία Πέθανε 18 Σεπτεμβρίου 1783 (ηλικία76) Αγία Πετρούπολη. Κατοικία Πρωσσία Ρωσία Σουηδία Εθνικότητα Ελβετός Πεδία Μαθηματικά Φυσική Αστρονομία

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ 1707-1727 Σε ηλικία 13 ετών γράφτηκε στο πανεπιστήμιο της Βασιλείας και σε ηλικία 16 χρονών πήρε το Master του με μια διατριβή στην οποία σύγκρινε τις φιλοσοφίες των Καρτέσιου και Νεύτωνα. Τα απογεύματα των Σαββάτων έκανε ιδιαίτερα μαθήματα μαθηματικών από τον οικογενειακό φίλο Bernoulli ο οποίος σύντομα ανακάλυψε το ταλέντο του νέου του μαθητή. Σε ηλικία 19 ετών τελείωσε τη διδακτορική διατριβή του στη διάδοση του ήχου με τίτλο De Sono. Έκανε μια αίτηση για καθηγεσία στη φυσική στο πανεπιστήμιο της Βασιλείας, χωρίς επιτυχία.

1727-1741 Μετά από πρόταση του φίλου του Daniel Bernoulli, γιου του Bernoulli, ο οποίος ήδη δίδασκε στην Ρώσικη ακαδημία των επιστημών της Αγίας Πετρούπολης, ταξίδεψε στην Ρωσική πρωτεύουσα και κατέλαβε μια θέση της Φισιολογίας. Στη συνέχεια προήχθει σε μια θέση στο τμήμα Μαθηματικών. Το 1731 σε ηλικία 24 ετών έγινε καθηγητής της φυσικής, μετά από δύο χρόνια και λόγω της αποχώρησης του Daniel έγινε ο πρόεδρος του τμήματος Μαθηματικών.

1741-1766 Λόγω τον πολιτικών αναταραχών στη Ρωσία φεύγει από την Αγία Πετρούπολη και καταλαμβάνει μια θέση στην Ακαδημία του Βερολίνου που την πρόσφερε ο Φρειδερίκος Β’ της Πρωσσίας και αναλαμβάνει τη θέση του διευθυντή του τμήματος των μαθηματικών της Ακαδημίας. Έγινε ξακουστός για τις εργασίες του: Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis Όσο βρισκόταν στη Γερμανία τυφλώθηκε εντελώς αλλά παρόλα αυτά δεν μειώθηκε στο ελάχιστο η απόδοσή του. Μάλιστα μετά την τύφλωσή του, παρήγαγε το μισό από το συνολικό επιστημονικό έργο του με τρομερούς ρυθμούς που έφταναν το 1775 σε ένα paper κάθε εβδομάδα!

1766-1783 Η πολιτική κατάσταση στη Ρωσία άρχισε να βελτιώνεται από τη στιγμή που στο θρόνο ανέβηκε η Αικατερίνη η Μεγάλη. Μετά από μια πρόσκληση επέστρεψε στην Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης. Πέθανε 18 Σεπτεμβρίου μετά από ένα εγκεφαλικό επεισόδιο.

ΑΞΙΖΕΙ ΝΑ ΘΥΜΟΜΑΣΤΕ Ο Laplace έλεγε:<< Διαβάστε Euler, διαβάστε Euler είναι ο καθηγητής όλων μας>> Δημοσίευσε περί τα 900 συγγράμματα, μελέτες και βιβλία (148 εργασίες μόνο για τη Θεωρία Αριθμών), τα οποία κατά ένα μέρος δημοσιεύτηκαν 50 χρόνια μετά το θάνατο του. Ήταν ένας σκληρά εργαζόμενος επιστήμονας και ένας απλά θρησκευόμενος άνθρωπος.

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Οι εργασίες του ξεκινούν μεν από τον Απειροστικό Λογισμό, τη Γεωμετρία, την Αριθμοθεωρία και την Άλγεβρα, καταλήγουν δε στην Πιθανοθεωρία, τη θεωρητική και εφαρμοσμένη Μηχανική, τη Φυσική, την Αστρονομία καθώς και τη Φιλοσοφία. Στην Άλγεβρα ο Euler προσέθεσε μερικές νέες μεθόδους επίλυσης των τριτοβαθμίων και τεταρτοβαθμίων εξισώσεων και, περαιτέρω, έκανε την εσφαλμένη, όπως απέδειξε αργότερα ο Abel , υπόθεση πως οι ρίζες κάθε αλγεβρικής εξίσωσης, οποιουδήποτε βαθμού, μπορούν να εκφραστούν μέσω ενός πεπερασμένου πλήθους προσθαφαιρέσεων, πολλαπλασιασμών, διαιρέσεων και εξαγωγών ριζών.

Ο Euler ήταν πεπεισμένος ότι κάθε πολυώνυμο αναλύεται σε πρωτοβάθμιους παράγοντες, όπως δηλώνει σε μια επιστολή του προς τον Goldbach, αν και αναγνώριζε ότι κάπου εκεί κρυβόταν ένα πολύ σημαντικό θεώρημα, το γνωστό σε εμάς Θεμελιώδες Θεώρημα. Κυριότερο σύγγραμμα του Euler επί του θέματος, εκτός των υπολοίπων 166 μικρότερου όγκου εργασιών, είναι η “Άλγεβρα” , έργο το οποίο γράφτηκε όταν ήταν ήδη τυφλός και το οποίο πραγματεύεται θέματα από τις αριθμητικές πράξεις μεταξύ παντοειδών αριθμών και τη θεωρία αναλογιών και προόδων ως τα στοιχειώδη αναπτύγματα σε σειρές και την απροσδιόριστη ανάλυση πρωτοβαθμίων και δευτεροβαθμίων εξισώσεων.

Λόγω της επίδρασης του Bernoulli η μελέτη του Απειροστικού Λογισμού έγινε από τους πρώτους στόχους της έρευνάς του. Συχνά χρησιμοποιούσε σειρές δυνάμεων για να εκφράσει τις συναρτήσεις σαν αθροίσματα απείρων σειρών.

Βρήκε ένα τρόπο να υπολογίζει ολοκληρώματα με μιγαδικά όρια προμηνύοντας την μεγάλη πρόοδο που θα είχε η Μιγαδική Ανάλυση. Επίσης εφεύρε το λογισμό των διαφορών και απέδειξε το πρώτο σπουδαίο θεώρημα στη θεωρία γραφημάτων. Ακόμα, ανέπτυξε εργαλεία που καθιστούσαν το λογισμό εφαρμόσιμο σε προβλήματα της φυσικής και της καθημερινής πραγματικότητας. Εκτός από την επιτυχή εφαρμογή των αναλυτικών μεθόδων σε προβλήματα της κλασσικής μηχανικής ο Euler εφάρμοσε τις τεχνικές αυτές σε αστρονομικά προβλήματα. Οι συνεισφορές του στην αστρονομία περιλαμβάνουν τον ακριβή προσδιορισμό της τροχιάς των κομητών, της κατανόησης της φύσης των κομητών και των φάσεων του ηλίου.

είναι πρώτοι, αποδεικνύοντας ότι ο αριθμός Στη Θεωρία Αριθμών, όπου άφησε περίπου 148 εργασίες, ο Euler άρχισε τις έρευνες του εμπνεόμενος από τη μελέτη των έργων του Διόφαντου και του Fermat. Επέκτεινε το Μικρό Θεώρημα του Fermat καταλήγοντας στο πολύ γνωστό θεώρημα όπου φ(n) είναι η συνάρτηση, η οποία δίνει το πλήθος των αριθμών που είναι μικρότεροι του n και πρώτοι προς αυτόν. Επιπλέον έδειξε, όπως ακριβώς είχε βεβαιώσει ο Fermat, ότι κάθε αριθμός της μορφής 4n+1 είναι ένα τετράγωνο ή άθροισμα δύο τετραγώνων, ενώ κατέρριψε τον ισχυρισμό του ότι όλοι οι αριθμοί της μορφής είναι πρώτοι, αποδεικνύοντας ότι ο αριθμός

γράφεται ως γινόμενο των 641x6700417. Τέλος, σε μια επιστολή του προς τον Goldbach (1753) έγραψε ότι είχε ανά χείρας την απόδειξη του περίφημου τελευταίου θεωρήματος του Fermat, για τις ειδικές περιπτώσεις των εκθετών 3 και 4. Επιπρόσθετα, πολύ νωρίτερα του Riemann μελέτησε την ζήτα συνάρτηση, και ανακάλυψε τη σχετική συναρτησιακή εξίσωση ζ(s)= (για s >1), όπου το pn διατρέχει όλους τους πρώτους αριθμούς. Αυτές οι ανακαλύψεις αποδίδονται λανθασμένα στον μεγάλο αυτόν μαθηματικό.

Επί της θεωρίας των τετραγωνικών υπολοίπων, ανακάλυψε επαγωγικά τον γνωστό νόμο της τετραγωνικής αντιστροφής, το διάσημο “theorema aureum” ο οποίος λέει ότι υπάρχει μία όμορφη “αντιστροφή” ανάμεσα στο ζεύγος των ισοτιμιών όπου p, q πρώτοι: και οι δύο ισοτιμίες επιλύονται ή και οι δύο δεν επιλύονται, εκτός κι αν και ο p και ο q αφήνουν υπόλοιπο 3 όταν διαιρεθούν δια του 4, οπότε η μία επιλύεται ενώ η άλλη όχι. Ο Gauss ήταν ο πρώτος που τον απέδειξε (στην εκπληκτική ηλικία των δεκαεννέα ετών, πράγμα που θα πείσει οποιονδήποτε προσπαθήσει να αποδείξει τον νόμο ότι ο Gauss ήταν κάτι παραπάνω από ικανός στα μαθηματικά). Τέλος, αν και άφησε στον Lagrange την δόξα να αποδείξει την δυνατότητα αναλύσεως κάθε ακεραίου αριθμού σε άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων, ο ίδιος απέδειξε τον θεμέλιο λίθο της απόδειξης αυτής, ότι δηλαδή το γινόμενο δύο αριθμών, έκαστος των οποίων είναι άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων, εκφράζεται ομοίως.

Λίγη ιστορία για το Sudoku... Sudoku – Euler Λίγη ιστορία για το Sudoku... Όλα ξεκίνησαν 222 χρόνια πριν, όταν ο Ελβετός μαθηματικός Leonard Euler σε ηλικία 76 ετών δημιούργησε τα "μαγικά τετράγωνα" (carres magiques). Την ίδια χρονιά που "γεννήθηκε" η πρώτη μορφή του σημερινού παιχνιδιού Σουντόκου, ο Ελβετός μαθηματικός πεθαίνει και το παιχνίδι παραμένει στην αφάνεια για δυο περίπου αιώνες.

Πώς παίζεται Elementary, που θα έλεγε και ένας πρόγονος των Άγγλων. Ουσιαστικά υπάρχει ένας βασικός κανόνας που διέπει το παιχνίδι: στα 81 κενά κουτάκια του τετραγώνου ο παίκτης πρέπει να τοποθετήσει αριθμούς με τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε σειρά, στήλη και πλαίσιο 3x3 να περιλαμβάνει όλα τα ψηφία από το 1 ώς το 9. Τα τετράγωνα του Sudoku χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με το επίπεδο δυσκολίας.

Ας παίξουμε!   Στο παρακάτω Su Doku - το οποίο χαρακτηρίζεται «πολύ εύκολο» - ξεκινήστε με τον αριθμό 7. Όπως βλέπουμε, ο αριθμός αυτός υπάρχει ήδη στην πρώτη σειρά του τετραγώνου (τρίτο πλαίσιο), αλλά και στη δεύτερη (δεύτερο πλαίσιο). Άρα μπορούμε να τοποθετήσουμε το 7 μόνο στην τρίτη σειρά του πρώτου πλαισίου (πάνω αριστερά). Παρατηρούμε ότι κενός χώρος γι' αυτό υπάρχει μεταξύ του 9 και του 2. Συνεχίζουμε με τον αριθμό 9 για το δεύτερο πλαίσιο (στο μέσο της πάνω σειράς). Βλέπουμε ότι ο αριθμός υπάρχει ήδη στην τέταρτη στήλη (στο μεσαίο πλαίσιο της δεύτερης σειράς) και στην πέμπτη (προτελευταίο πλαίσιο). Άρα μπορούμε να τοποθετήσουμε το 9 μόνο στην έκτη στήλη. Εδώ υπάρχουν δύο «υποψήφιες» θέσεις: μία στην πρώτη σειρά και μία στην τρίτη. H τρίτη όμως ήδη περιέχει τον αριθμό 9, οπότε απορρίπτεται. 8 1 7 3 6 9 2 4 5

Η ΛΥΣΗ 8 1 6 4 5 9 7 2 3