Μαθηματικοί Υπολογισμοί Χειμερινό Εξάμηνο η Διάλεξη Εισαγωγή Οκτώβρη 2002

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 2 Περιεχόμενα Το Αντικείμενο του Μαθήματος Η Γλώσσα Προγραμματισμού Maple Αναλυτικότερη Περιγραφή της Ύλης Προσέγγιση Αριθμών & Συναρτήσεων Παρεμβολή Δεδομένων Σχεδιασμός Καμπύλων με Παρεμβολή Επίλυση Εξισώσεων - Ολοκλήρωση Συναρτήσεων Φιλτράρισμα Σημάτων Ακριβείς & Προσεγγιστικοί Υπολογισμοί Συμβολικοί Υπολογισμοί Παράδειγμα: Πληρώνοντας το Στεγαστικό Δάνειο Υλοποίηση, συγκριτική μελέτη μεθοδολογιών

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 3 Το Αντικείμενο του Μαθήματος Πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μαθηματικά μοντέλα για να απαντήσουμε καθημερινές ερωτήσεις, η να κάνουμε διάφορες ενέργειες. Σχεδιασμός της συνταξιοδότησης: Πόσο γρήγορα θα αυξηθούν τα χρήματα που έχω επενδύσει; Πόσο χρόνο πιθανώς θα ζήσω; Πόσο θα είναι το κόστος ζωής όταν θα είμαι συνταξιούχος; Παγκόσμια αλλαγή του κλίματος: Τι επίπτωση έχουν οι ανθρωπογενείς και οι φυσικές αλλαγές του περιβάλλοντος στο κλίμα; Πόσο διοξείδιο του άνθρακα θα παραχθεί στο μέλλον κάτω από τους διάφορους περιορισμούς της κυβέρνησης; Γραφικά στον υπολογιστή: Πως μπορούμε να συνθέσουμε εικόνες οι οποίες μας δίνουν την αίσθηση του φυσικού ή και του ιδεατού μας περιβάλλοντος; Πώς μπορούμε να σχεδιάσουμε ένα τέτοιο λογισμικό περιβάλλον εύκολα;

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 4 Η Επίλυση του Προβλήματος σε δύο Βήματα 1. Διατύπωσε το πρόβλημα σε μαθηματική μορφή. 1. Διατύπωσε το πρόβλημα σε μαθηματική μορφή. Το θέμα αυτό θα μας απασχολήσει σποραδικά και θα το αντιμετωπίσουμε επιφανειακά. Τυχόν λάθη όμως στο βήμα αυτό πιθανότατα θα μας οδηγήσουν σε μια παντελώς λανθασμένη απάντηση. 2. Πάρε τις απαντήσεις που θέλεις χρησιμοποιώντας το μαθηματικό μοντέλο. 2. Πάρε τις απαντήσεις που θέλεις χρησιμοποιώντας το μαθηματικό μοντέλο. Υπάρχουν δύο κυρίως προσεγγίσεις: Συμβολικές μέθοδοι που μας αποφέρουν σαφείς γενικούς τύπους. Αριθμητικές μέθοδοι οι οποίες παράγουν απάντηση για μία συγκεκριμένη περίπτωση του προβλήματος. Ανεξάρτητα από ποια προσέγγιση θα ακολουθήσουμε το αποτέλεσμα μπορεί να είναι είτε ακριβές είτε προσεγγιστικό. Η εύρεση των λύσεων είναι προφανώς πολύ πιο εύκολη με χρήση υπολογιστή.

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 5 Η Γλώσσα Προγραμματισμού Maple Θα χρησιμοποιήσουμε την γλώσσα προγραμματισμού Maple μερικά χαρακτηριστικά της οποίας διαφέρουν από τις συμβατικές γλώσσες προγραμματισμού (C, Fortran): Η Maple είναι μία γλώσσα αλληλεπίδρασης, πχ. μπορείς να την χρησιμοποιήσεις σαν calculator: >125+7; 132 Υποστηρίζει συμβολικούς υπολογισμούς: > expand((x+10)*(x-1)); x 2 +9x-10 Επειδή είναι γλώσσα άμεσης μετάφρασης είναι συγκριτικά πιο αργή από τις γλώσσες με μεταγλωττιστές (compilers) όπως οι C, Fortran.

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 6 Αναλυτικότερη Περιγραφή της Ύλης Παράσταση αριθμών στον υπολογιστή Υπολογισμός προσεγγιστικών συναρτήσεων Παρεμβολή δεδομένων Παράσταση καμπυλών και επιφανειών Προσομοίωση δυναμικών συστημάτων Εύρεση ριζών εξισώσεων Υπολογισμός ολοκληρωμάτων Σύνθεση και φιλτράρισμα σημάτων Προφανώς υπάρχουν πολλές άλλες μαθηματικές μέθοδοι στις οποίες δεν θα προλάβουμε να αναφερθούμε στο μάθημα αυτό.

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 7 Προσέγγιση Αριθμών & Συναρτήσεων Στους αριθμητικούς υπολογισμούς, συχνά θα χρησιμοποιήσουμε προσεγγιστικές παραστάσεις αριθμών. Πώς μπορούμε να το κάνουμε αυτό με τον καλλίτερο τρόπο; Συχνά επίσης θα χρειασθεί να υπολογίσουμε τιμές συναρτήσεων π.χ. τετραγωνικές ρίζες, λογάριθμοι, ημίτονα. Πώς θα γίνει αυτό; Σε αντίθεση με τον calculator και τις περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού η Maple μπορεί να παραστήσει αριθμούς με όσα ψηφία επιθυμούμε, και να προσεγγίσει συναρτήσεις με την ίδια ακρίβεια: > Digits:=30; Digits := 30 >evalf(Pi); > evalf(sqrt( ));

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 8 Παρεμβολή Δεδομένων Σε πολλές εφαρμογές, χρειαζόμαστε να παρεμβάλουμε μεταξύ δεδομένων σημείων: Για παράδειγμα, έστω ότι γνωρίζουμε την συνολική συγκέντρωση CO 2 στην ατμόσφαιρα το 1960, 1970, 1980 και το 1990, και θέλουμε να μάθουμε την συγκέντρωση Υπάρχουν πολλοί τρόποι να το πετύχουμε αυτό. Θα εξετάσουμε μερικούς από αυτούς.

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 9 Σχεδιασμός Καμπύλων με Παρεμβολή Η παρεμβολή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στο να ζωγραφίζουμε εικόνες στον υπολογιστή Εδώ, χρησιμοποιούμε μια παραμετρική παράσταση μιας καμπύλης, σαν συνάρτηση των συντεταγμένων x και y σημείων της. Μετά εφαρμόζουμε παρεμβολή στις συναρτήσεις αυτές. Στην εφαρμογή αυτή, δεν προσπαθούμε να μοντελοποιήσουμε την πραγματικότητα. Απλά επιθυμούμε το σχήμα που χρησιμοποιούμε να συμπεριφέρεται με τρόπο που να μας επιτρέπει εύκολα να δημιουργήσουμε τις εικόνες που θέλουμε.

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 10 Επίλυση Εξισώσεων Για να υπολογίσει την βέλτιστη τιμή, ένας οικονομολόγος συνήθως χρειάζεται να λύση μια εξίσωση (εξισώνει την προσφορά και την ζήτηση): Το πρόβλημα αυτό ισοδυναμεί με την εύρεση του σημείου μηδενισμού μιας συνάρτησης. Η εύρεση των ακρότατων μιας συνάρτησης είναι ένα παραπλήσιο πρόβλημα. Έχετε συνηθίσει να λύνετε εξισώσεις συμβολικά, με το χέρι. Συχνά όμως είναι απαραίτητο αυτό να γίνει αριθμητικά, με χρήση υπολογιστή. Ποσότητα Τιμή Ζήτηση Προσφορά

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 11 Ολοκλήρωση Συναρτήσεων Προβλήματα που αφορούν εμβαδά, όγκους αθροίσματα και μέσους όρους συχνά ανάγονται στον υπολογισμό ενός (ορισμένου) ολοκληρώματος μιας συνάρτησης: Εδώ, παρατηρούμε ότι μπορούμε να βρούμε την συνολική συγκέντρωση CO 2 από το 1970 έως το 1990 υπολογίζοντας ένα ολοκλήρωμα. Στο σχήμα, αυτό γίνετε χρησιμοποιώντας παρεμβολή με ευθύγραμμα τμήματα, αλλά μπορούμε και αλλιώς...

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 12 Φιλτράρισμα Σημάτων Ένα σήμα (πχ. ηχητικό) μπορεί να φιλτραριστεί, για να απαλλαγούμε από τυχόν παρεμβολές, ή για να τονίσουμε μερικά χαρακτηριστικά του. Ένα σήμα με παρεμβολές Μετά την εφαρμογή ενός σταθμιστικού φίλτρου

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 13 Μερικά Γενικά Θέματα Πολλές από τις μεθόδους που θα δούμε για την επίλυση των παραπάνω προβλημάτων έχουν κάποια κοινά χαρακτηριστικά: Συχνά εμπλέκουν προσεγγιστικές συναρτήσεις. Στην αρχή πολυωνυμικές και αργότερα ημιτονοειδείς. Συχνά εμπλέκουν γραμμικούς τελεστές L(a+b)= L(a)+L(b) Γραμμικές πράξεις μπορούν να παρασταθούν σε σχέση με την δράση τους σε απλά αντικείμενα – πχ. συναρτήσεις βάσης.

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 14 Ακριβείς & Προσεγγιστικοί Υπολογισμοί (Maple) Στην Maple μπορούμε να υπολογίσουμε αριθμητικά αποτελέσματα είτε ακριβώς (κλάσματα) είτε προσεγγιστικά (αριθμοί κινητής-υποδιαστολής) > 1/2 + 1/3; 5/6 > Digits:=5; Digits := 5 > 1.0/ /3.0; > Digits:=10; Digits := 10 > 1.0/ /3.0; > 1.0/ /3.0; > evalf(1/3+1/3);

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 15 Αποθήκευση Τιμών σε Μεταβλητές Μπορούμε να αποθηκεύσουμε το αποτέλεσμα ενός υπολογισμού σε μία μεταβλητή (της Maple) και να αναφερθούμε σε αυτήν αργότερα: > a := 1/7; a := 1/7 > b := (1+a)^7; b := ­­­­­­­ > evalf(b); > pow := 100; pow := 100 > ( /pow)^pow;

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 16 Συμβολικοί Υπολογισμοί στην Maple Όταν αναφερθούμε σε μια μεταβλητή στην οποία δεν έχουμε δώσει κάποια τιμή, η Maple την θεωρεί σαν άγνωστη, και κάνει μόνον συμβολικές πράξεις με αυτήν: > (x^5­1)/(x­1); 5 x ­ 1 ­­­­­­ x ­ 1 > simplify((x^5­1)/(x­1)); x + x + x + x + 1 > (x+1)^5; 5 (x + 1) > expand((x+1)^5); x + 5 x + 10 x + 10 x + 5 x + 1 > b := x^2+1; 2 b := x + 1 > subs(x=5,b); 26

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 17 Παράδειγμα: Πληρώνοντας το Στεγαστικό Δάνειο Ας δούμε πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Maple για να βρούμε τις πληρωμές ενός δανείου, και με συμβολικό και με αριθμητικό τρόπο. Ξεκινάμε με οφειλή D ευρώ. Κάθε χρόνο, το επιτόκιο στην υπολειπόμενη οφειλή είναι r (r=0.06 για 6%), και πληρώνουμε για απόσβεση της οφειλής Α ευρώ. Εάν P είναι το χρέος στην αρχή του χρόνου, τότε το χρέος στο τέλος του χρόνου (μετά την πληρωμή και τον τοκισμό) θα είναι Δοθέντων των a) D, r και A, πόσα θα χρωστάμε μετά από n χρόνια; b) D και r, πόσο πρέπει να είναι το Α έτσι ώστε να εξοφλήσουμε σε ακριβώς n χρόνια;

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 18 Λύση (της Maple) στο (a) Eρώτημα daneio := proc (D,r,A,n) local P, i; P := D; for i from 1 to n do P := P + r*P ­ A; od; P; end;

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 19 Αριθμητικοί Υπολογισμοί με την Διαδικασία daneio Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την διαδικασία αυτή για να υπολογίσουμε απαντήσεις για συγκεκριμένες τιμές των D, r, A, και n: > daneio(10000,0.06,1000,1); > daneio(10000,0.06,1000,10); > daneio(10000,0.06,1000,20); ­ Ο τρόπος αυτός δεν μας επιτρέπει να απαντήσουμε εύκολα στην ερώτησή μας. Επιπρόσθετα δεν μας δίνει μια συνοπτική εικόνα του πώς ελαττώνεται το δάνειο συν τω χρόνω.

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 20 Χρησιμοποιώντας την daneio Συμβολικά Ας προσπαθήσουμε υπολογισμούς με αγνώστους αντί με συγκεκριμένες τιμές (εκτός του n): > daneio (D,r,A,1); D + r D ­ A > daneio (D,r,A,2); D + r D ­ 2 A + r (D + r D ­ A) > daneio (D,r,A,3); D + r D ­ 3 A + r (D + r D ­ A) + r (D + r D ­ 2 A + r (D + r D ­ A)) > simplify( daneio (D,r,A,3)); D + 3 r D ­ 3 A + 3 r D ­ 3 r A + r D ­ r A > simplify( daneio (D,r,A,10)); D ­ 10 A + 10 r D + 45 r D ­ 45 r A r D ­ 120 r A r D ­ 210 r A r D ­ 252 r A r D ­ 210 r A ­ 45 r A r D r D ­ 120 r A ­ r A + r D ­ 10 r A + 10 r D Κάπως περίπλοκο, αλλά ας συνεχίσουμε όμως...

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 21 Λύνοντας για το Προσεγγιστικό Ποσό της Δόσης Ας ζητήσουμε τώρα από την Maple να υπολογίσει συμβολικά την λύση: > apaitoumeno—poso := solve(daneio(D,r,A,5)=0,A); apaitoumeno—poso := D (1 + 5 r + 10 r + 10 r + 5 r + r ) ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ r + 10 r + 5 r + r Μπορούμε να δώσουμε συγκεκριμένες τιμές στις μεταβλητές του τύπου και να πάρουμε αριθμητικές απαντήσεις: > subs(D=10000,r=0.06, apaitoumeno—poso ); Η απάντηση που πήραμε είναι αρκετά σωστή: > daneio(10000,0.06, ,5); ­5 ­.3 10

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 22 Πόσο έξυπνη ήταν η Maple στο παράδειγμα αυτό; Κατάφερε βέβαια να λύση το πρόβλημα συμβολικά, υπάρχει όμως καλλίτερος τρόπος. Χρειάζεται την βοήθειά μας για να τον βρει. Μπορούμε να διατυπώσουμε την βασική εξίσωση Και να δούμε ότι το οφειλόμενο ποσό μετά από n χρόνια με αρχικό χρέος D θα είναι Το άθροισμα μέσα στις αγκύλες είναι. Εάν το θέσουμε ίσο με 0 και λύσουμε την εξίσωση παίρνουμε

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 23 Σύγκριση των δύο Τρόπων Η νέα λύση δίνει τα ίδια αποτελέσματα με την πρώτη. Ας το ελέγξουμε: > eksypni-apantisi := D*(r*(1+r)^5)/((1+r)^5­1); 5 D r (1 + r) eksypni-apantisi := ­­­­­­­­­­­­ 5 (1 + r) ­ 1 > simplify (apaitoumeno—poso ­ eksypni-apantisi); 0 Είναι όμως πιο απλή και έξυπνη. Από την άλλη μεριά, απαιτεί κάποια εφυία. Δεν μπορούμε όμως να είμαστε πάντα ευφυείς και μερικές φορές δεν υπάρχει ευφυής τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος.

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 24 Ασκήσεις Μελετήστε προσεκτικά την ιστοσελίδα του μαθήματος Στείλτε μου ένα μήνυμα με την ηλεκτρονική σας διεύθυνση. Ξεκινήστε την μελέτη της Maple.