ΟΜΙΛΟΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ» ΟΜΙΛΟΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ» LOGICOMIX 2ο ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΛ ΑΘΗΝΩN 2012-13

Kurt Gödel Μη Πληρότητα Άννα Παναγοπούλου Διονύσιος Σπηλιόπουλος

«Μόνο οι μύθοι παρουσιάζουν τον κόσμο όπως θα έπρεπε να είναι για να έχει κάποιο νόημα». (Kurt & Rudolf Gödel)

Βιογραφία Γεννήθηκε στο Μπρνο το 1906 1910: Συμπτώματα αγχώδους νεύρωσης 1912: Συμπτώματα ρευματικής αρθρίτιδας 1923: Αποφοιτεί από το σχολείο στο Μπρνο (Μπρνο, Τσεχία)

1923: Μπαίνει στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης 1929: Διδακτορική διατριβή 1929: Διδακτορική διατριβή 1930: Μέλος στη σχολή του θετικισμού (Hans Hahn)

1929: Πεθαίνει ο πατέρας του 1931: Δημοσιεύει τα αποτελέσματά του στις «επίσημα μη αποφασίσιμες προτάσεις του Principia Mathematica και των συναφών συστημάτων» 1934: Διαλέξεις στο Πρίνστον (Princeton University)

1934: Παθαίνει νευρικό κλονισμό 1934: Παθαίνει κατάθλιψη 1938: Επίσκεψη στο Γκέτιγκεν 1938: Παντρεύεται την Adele Porkert

1938-39: Περνάει ένα χρόνο στο Ινστιτούτο Ανώτερων Σπουδών 1939: Απόρριψη της αίτησής του να γίνει καθηγητής επί πληρωμή 1948: Λαμβάνει την αμερικανική υπηκοότητα

«O Gödel ήταν ο μόνος από τους συναδέλφους μας που μιλούσε με τον Άινστάιν επί ίσοις όροις» Freeman

1940-46: Μέλος του Ινστιτούτου Ανωτέρων Σπουδών Πεθαίνει το 1978

Διακρίσεις 1951: Einstein Award 1974: National Medal of Science Μέλος της διεθνούς Ακαδημίας Επιστημών των Η.Π.Α. Συνάδελφος της Royal Society Μέλος του Ινστιτούτου της Γαλλίας Συνάδελφος της Royal Academy Επίτιμο μέλος της London Mathematical Society

Εισαγωγή για την απόδειξη Απανωτές επαναστάσεις σε επίπεδο ιδεών Μεγάλη προσπάθεια από τους μαθηματικούς για την θεμελίωση των μαθηματικών συστημάτων Ανθρωποκεντρική θεώρηση των πραγμάτων στην τέχνη και την διανόηση

Φορμαλισμός και μαθηματικά: Η αντίληψη ότι τα μαθηματικά ταυτίζονται με την τελειότητα, την τυπικότητα, την πληρότητα, την αδιαμφισβήτητη βεβαιότητα, τον απόλυτο υπολογισμό. (Hilbert)

Κύκλος της Βιέννης Θετικισμός: Τα μαθηματικά, όπως η λογική, είναι απαλλαγμένα περιγραφικού περιεχομένου και είναι εμπειριοκρατικά. Vs Πλατωνισμός: Οι αλήθειες των μαθηματικών είναι ανεξάρτητες από ανθρώπινες δραστηριότητες (έλλειψη στήριξης στην εμπειρία) (Πλάτων)

Συνέπεια - Πληρότητα Μια θεωρία θα τη λέμε συνεπή όταν δεν θα οδηγεί σε αντιφάσεις Μια θεωρία θα τη λέμε πλήρη όταν για κάθε πρόταση που ισχύει υπάρχει τυπική απόδειξη που να αποδεικνύει την πρόταση (Από τον Λευτέρη Παναγόπουλο)

«Σε κάθε τυπικό σύστημα επαρκές για τη θεωρία αριθμών υπάρχει ένας τύπος που δεν είναι αποδείξιμος και που η άρνησή του είναι επίσης μη αποδείξιμη»

Σκιαγράφηση απόδειξης του πρώτου θεωρήματος πληρότητας Σκιαγράφηση απόδειξης του πρώτου θεωρήματος πληρότητας 1ο ΒΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗ Gödel: Θεωρούμε ένα Αξιωματικό Σύστημα όπως αυτό των Φυσικών Αριθμών σε κάθε λογικό τύπο p σε κάθε φυσικό αριθμό p σε κάθε πρόταση p σε κάθε ακολουθία αποδείξεων p Αντιστοίχιση Μοναδικό Φυσικό Αριθμό τον Αριθμό Gödel G(p) Οι αριθμοί G(p) κατασκευάστηκαν έτσι ώστε Για κάθε προτασιακό τύπο f(x) με μεταβλητή φυσικό αριθμό να υπάρχει φυσικός ν με G(f(ν))=ν Διαγώνια ιδιότητα

Δημιουργία ειδικού προτασιακού τύπου 2ο ΒΗΜΑ Δημιουργία ειδικού προτασιακού τύπου F(x)={Η πρόταση με τον αριθμό Gödel x δεν είναι αποδείξιμη} Δημιουργία πρότασης (πρόταση Gödel) g={Δεν είμαι αποδείξιμη} με αριθμό Gödel G(g) Από Διαγώνια Ιδιότητα ισχύει: G(F(G(g)))=G(g) 3ο ΒΗΜΑ Τι λέει το G(F(G(g)))=G(g) Υπάρχουν δύο επιλογές Η πρόταση Gödel είναι αληθής άρα μη αποδείξιμη Η πρόταση Gödel είναι ψευδής άρα η άρνηση της μη αποδείξιμη

«Άραγε η ψυχική του αρρώστια είναι συνέπεια του ότι απέδειξε τη μή αποδειξιμότητα της φορμαλιστικής αριθμητικής ή μήπως η αρρώστιά του είναι αναγκαία για ένα τέτοιο εγχείρημα;» Filip Furtwangler