Μαθηματικοί Υπολογισμοί Χειμερινό Εξάμηνο η Διάλεξη Παραστάσεις Καμπυλών και Επιφανειών Οκτώβρη 2002

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 2 Περιεχόμενα  Ρητές Παραστάσεις - Άμεσες Παραστάσεις  Παραμετρικές Παραστάσεις Καμπυλών  Δεν είναι μοναδικές!  Δύο Παραμετρικά Ελικοειδή  Παραμετρικές Επιφάνειες  Παράσταση Ευθύγραμμου Τμήματος  Αλλάζοντας Παραμετροποίηση  Αλλάζοντας την Παραμετροποίηση στην Maple  Μετασχηματισμοί Καμπυλών  Μια Καμπύλη  Περιστρέφοντάς την κατά π/2  Περιστρέφοντάς την κατά 0.31

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 3 Εισαγωγή Καμπύλες σε 2δ και 3δ, και επιφάνειες σε 3δ είναι ιδιαίτερα χρήσιμα εργαλεία σε πολλές εφαρμογές πληροφορικής:  Ψηφιακή σχεδίαση (CAD): πχ. Ο σχεδιασμός ενός αυτοκινήτου.  Εικονογράφηση: πχ. Η παραγωγή των εικόνων (με γραμμές) ενός βιβλίου.  Μοντελοποίηση της πραγματικότητας: πχ. Η τροχιά πάνω στην οποία κινείται κάτι, ή η φιγούρα / σχήμα ενός αντικείμένου. Θα δούμε πως μπορούμε να παραστήσουμε καμπύλες και επιφάνειες με κατάλληλο και βολικό τρόπο.

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 4 Ρητές Παραστάσεις Μερικές καμπύλες και επιφάνειες μπορούν να παρασταθούν με ρητές συναρτήσεις. Για παράδειγμα: Μια παραβολή, δίνεται από την εξίσωση y=x 2 > plot(x“2,x=­2..2); Δυστυχώς δεν μπορούμε να δούμε όλες τις καμπύλες (ή τις επιφάνειες) σαν συναρτήσεις. Μερικές καμπυλώνουν έτσι ώστε να υπάρχουν περισσότερες τιμές του y για μια συγκεκριμένη τιμή του x.

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 5 Άμεσες Παραστάσεις Κάθε καμπύλη ή επιφάνεια μπορεί να παρασταθεί με μια εξίσωση η οποία ικανοποιείται στα σημεία της καμπύλης ή τις επιφάνειας. Για παράδειγμα: x 2 +y 2 =r 2 ορίζει έναν κύκλο με ακτίνα r και κέντρο στην αρχή των αξόνων. Μπορούμε να πάρουμε την μορφή μιας σφαίρας με ακτίνα r ως εξής x 2 +y 2 +z 2 =r 2 Ωστόσο, οι παραστάσεις αυτές μπορεί να είναι δύσκολες να επεξεργασθούν γενικότερα. Ειδικότερα, συνήθως δεν είναι καθόλου εύκολο να τις λύσουμε!

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 6 Παραμετρικές Παραστάσεις Καμπυλών Μπορούμε εύκολα να παραστήσουμε μια καμπύλη ( σε 2δ ή 3δ) εάν την θεωρήσουμε σαν ένα σημείο που ταξιδεύει με τροχιά που ορίζει η καμπύλη αυτή. Να καθορίσουμε λοιπόν τις συντεταγμένες κάθε σημείου της σαν συνάρτηση του χρόνου. Για παράδειγμα, για να πάρουμε έναν κύκλο ακτίνας r έχουμε x = cos(t), y = sin(t) και αφήνουμε το t να τρέξει από το 0 στο 2π. Στο Maple, αυτό μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε άμεσα: > plot([sin(t),cos(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained);

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 7 Παραμετρικές Παραστάσεις – Δεν είναι μοναδικές! Υπάρχουν πάντα πολλοί τρόποι να παρασταθεί παραμετρικά μια καμπύλη. Ένας κύκλος μπορεί να παρασταθεί και ως εξής x = cos(-t 2 ), y = sin (-t 2 ) για t από 0 έως. Σε τι διαφέρει η παράσταση αυτή από την παραπάνω; Ειδικότερα ως προς το τρόπο ανίχνευσης του κύκλου.

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 8 Δύο Παραμετρικά Ελικοειδή Χρησιμοποιόντας παραμετρικές παραστάσεις μπορούμε να κατασκευάσουμε εύκολα πολλών ειδών περίπλοκες καμπύλες: > plot ([t*cos(t),t*sin(t),t=0..10], scaling=constrained); > plot ([(t+sin(10*t)/3)*cos(t),(t+sin(10*t)/3)*sin(t),t=0..10], scaling=constrained);

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 9 Παραμετρικές Επιφάνειες Η παραμετρική παράσταση μιας επιφάνειας μας δίνει τις συντεταγμένες x, y και z σαν συναρτήσεις δύο παραμέτρων, u και v. x = cos(u) cos(v), y = cos(u) sin(v), z = sin(u). Στην Maple: > plot3d ([cos(u)*cos(v),cos(u)*sin(v),sin(u)], > u=­Pi..Pi, v=­Pi..Pi, > scaling=constrained, axes=frame, colour=black);

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 10 Παράσταση Ευθύγραμμου Τμήματος Η απλούστερη καμπύλη είναι το ευθύγραμμο τμήμα. Μπορούμε να παραστήσουμε τα περισσότερα ευθύγραμμα τμήματα δίνοντας άμεσα το y σαν συνάρτηση του x: y = ax + b κάποιου μήκους, Τι είναι τα a και b; Γιατί η παραπάνω δεν δουλεύει πάντα ; Μπορούμε εναλλακτικά να χρησιμοποιήσουμε μια παραμετρική παράσταση σαν την εξής x = (1-t)x 0 + tx 1, y = (1-t)y 0 + ty 1 όπου Εδώ, P 0 = (x 0,y 0 ) και P 1 = (x 1,y 1 ) είναι τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος. Μπορούμε να γράψουμε την παραμετροποίηση αυτή σε μορφή διανυσμάτων ως εξής L(t) = (1-t) P 0 + t P 1

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 11 Αλλάζοντας Παραμετροποίηση Μπορούμε να αλλάξουμε από μια παραμετροποίηση x = F x (t), y = F y (t) Σε άλλη θέτοντας t = g(u). Η νέα μας παραμετροποίηση είναι x = F x ( g(u) ), y = F y ( g(u) ). Πρέπει όμως να βρούμε το πεδίο τιμών του u που αντιστοιχεί στο πεδίο τιμών του t. Είναι κάτι τέτοιο πάντα εφικτό; Για παράδειγμα, το ευθύγραμμο τμήμα x = 1 + 2t, y = 3 - t για t στο [-8,8] μπορεί να ανα-παραμετροποιηθεί με t=u 3 x = 1 + 2u 3, y = 3 - u 3 για u στο [-2,2].

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 12 Αλλάζοντας την Παραμετροποίηση στην Maple Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις συμβολικές δυνατότητες της Maple για να αλλάξουμε την παραμετροποίηση: > x := 1+2*t; x := t > y := 3­t; y := 3 ­ t > plot([x,y,t=­8..8]); > x:=subs(t=u^3,x); x := u 3 > y:=subs(t=u“3,y); y := 3 ­ u 3 > solve(u^3=­8,u); ­2, 1 + I 3 1/2, 1 ­ I 3 1/2 > solve(u^3=8,u); 2, ­ 1 + I 3 1/2, ­ 1 ­ I 3 1/2 > plot([x,y,u=­2..2]);

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 13 Μετασχηματισμοί Καμπυλών Από την στιγμή που έχουμε την παραμετρική παράσταση μιας καμπύλης, μπορούμε να παράγουμε άλλες καμπύλες απλά μετασχηματίζοντάς την – πχ, με περιστροφή. Περιστρέφοντας το σημείο (x,y) αριστερόστροφα κατά μια γωνία a ακτίνια καταλήγουμε στο παρακάτω σημείο (x’,y’): x’ = cos(a)x – sin(a)y y’ = sin(a)x – cos(a)y Η περιστροφή αυτή υλοποιείται στην Maple με την εξής διαδικασία: rotate:=proc(x,y,a) cos(a)*x ­ sin(a)*y, sin(a)*x + cos(a)*y end;

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 14 Μια Καμπύλη Ας ξεκινήσουμε θεωρώντας την παρακάτω καμπύλη την οποία θα περιστρέψουμε > plot ([sin(t),sin(2*t), t=­Pi..Pi], > scaling=constrained);

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 15 Περιστρέφοντας την Καμπύλη κατά π/2 Ας περιστρέψουμε τώρα την καμπύλη κατά π/2 ακτίνια (90 ο ): > plot ([rotate(sin(t),sin(2*t),Pi/2), t=­Pi..Pi], > scaling=constrained); Η Maple κάνει την περιστροφή συμβολικά, καταφέρνει μάλιστα να απλοποιήσει το αποτέλεσμα: > rotate(sin(t),sin(2*t),Pi/2); ­ sin(2 t), sin(t)

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 16 Περιστρέφοντας την Καμπύλη κατά 0.31 Ας προσπαθήσουμε να περιστρέψουμε την καμπύλη κατά 0.31 ακτίνια: > plot ([rotate(sin(t),sin(2*t),0.31), t=­Pi..Pi], > scaling=constrained); Η Maple αυτή την φορά χρησιμοποιεί αριθμητική υποδιαστολής: > rotate(sin(t),sin(2*t),0.31); sin(t) ­ sin(2 t), sin(t) sin(2 t)