Leonardo Pisano ή Fibonacci Γεννήθηκε στην Ιταλία το 1170 μ.Χ. Πέθανε στην Ιταλία το 1250 μ.Χ. Leonardo Pisano ή Fibonacci

Βιογραφία Γενικά Ο Λεονάρντο της Πίζας ή Λεονάρντο Πιζάνο γεννήθηκε το 1170 περίπου και πέθανε 1250 περίπου πιθανώς στην Πίζα. Ιταλός μαθηματικός που έμεινε στην ιστορία για την περίφημη φερώνυμη ακολουθία του και για την εισαγωγή στην Ευρώπη του αραβικού δεκαδικού συστήματος αρίθμησης καθώς και άλλων μαθηματικών καινοτομιών σε μια σκοτεινή εποχή για τις επιστήμες στην Ευρώπη. Η ζωή του Ήταν γιος του Γκιγιέρμο Μπονάτσι (Bonacci, που σημαίνει απλός), εξ ου και το παρώνυμο του Φιμπονάτσι (γιος του Μπονάτσι: φίλιους μπονάτσι).

Βιογραφία Ο ίδιος χρησιμοποιούσε μερικές φορές το όνομα Μπίγκολο που μπορεί να σημαίνει πολύ για το τίποτα ή ταξιδιώτης. Όπως ο ίδιος δήλωσε: «Μπορεί ένας επαρχιώτης να εκφράσει με αυτό το επίθετο (Μπίγκολο) την περιφρόνηση για ένα άνδρα που ασχολείται με ερωτήσεις που δεν έχουν καμιά πρακτική αξία ή να εκφράσει, όπως η λέξη αυτή σημαίνει στην διάλεκτο της Τοσκάνης, ένα πολυταξιδεμένο άνδρα. Ποίος πραγματικά είμαι;» Γεννήθηκε στη Πίζα αλλά εκπαιδεύτηκε στη σχολή λογιστικής στη Βόρεια Αφρική οπού ο πατέρας του κατείχε διπλωματικό πόστο ως εκπρόσωπος των εμπόρων της Πίζας στην πόλη Μπεχάια λιμάνι στη σημερινή Αλγερία στις εκβολές του ποταμού Γουάντι Σουμάμ κοντά στο όρος Γκουράια και στον κόλπο Καρμπόν. Διδάχτηκε Μαθηματικά και ταξίδεψε στην Αίγυπτο στην Συρία και την Ελλάδα με τον πατέρα του γνωρίζοντας τα τεράστια προνόμια των Αραβικών μαθηματικών συστημάτων .

Liber abaci Αυτά τα πρώτα του ταξίδια τελειώνουν γύρω στο 1200 και τότε επιστρέφει στην Πίζα όπου γράφει τα μαθηματικά κείμενα τα οποία είμαστε τυχεροί να κατέχουμε καθώς την εποχή του δεν είχε εφευρεθεί η τυπογραφία. Το 1202 δημοσιεύει το liber abaci ή βιβλίο των υπολογισμών, γεμάτο με τις μαθηματικές γνώσεις που είχε περισυλλέξει στα ταξίδια του. Το βιβλίο του το προόριζε για εμπόρους, για αυτό εξηγεί λεπτομερειακά τις έννοιες ώστε να μπορέσουν να τις καταλάβουν με συνοδεία παραδειγμάτων από την καθημερινή ζωή του εμπορίου, την τιμή των αγαθών, τον υπολογισμό των κερδών και την μετατροπή σε ξένο νόμισμα Στο βιβλίο του έδειχνε την πρακτικότητα του αραβικού αριθμητικού συστήματος στην τήρηση εμπορικών βιβλίων, στις χρηματοσυναλλαγές, τις μετατροπές των μέτρων και σταθμών, στον υπολογισμό των επιτοκίων και άλλες εφαρμογές του. Οι έμποροι του Μεσαίωνα χρησιμοποιούσαν το ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης το οποίο είναι απλό για την καταγραφή αριθμών, την πρόσθεση και την αφαίρεση αλλάς όχι για τον πολλαπλασιασμό και την διαίρεση. Οι έμποροι στις συναλλαγές τους χρησιμοποιούσαν αριθμητικό άβακα, αριθμητήριο για να κάνουν υπολογισμούς

Liber abaci Ο Φιμπονάτσι τους έδωσε ένα λειτουργικό σύστημα ψηφίων (το γνωστό δεκαδικό σύστημα) για τον υπολογισμό των αριθμητικών πράξεων. Καταρχήν περιγράφει τα εννιά δεκαδικά ψηφία καθώς το σύμβολο 0 το οποίο ονομαζόταν ζέφιρουμ στα αραβικά. Από εκεί προέρχονται και οι αγγλικές λέξεις zero.Έτσι το βιβλίο έτυχε θερμής υποδοχής ανάμεσα στους λογίους της Ευρώπης και τους επηρέασε σημαντικά αν και το σύστημα έγινε ευρέως χρηστό μετά την εφεύρεση της τυπογραφία O Φιμπονάτσι χρησιμοποίησε την κλασματική γραμμή που ήταν γνωστή από παλιά στην Αραβία. Ένα ακόμη σημαντικό βιβλίο που διασώζεται είναι το «Practica Geometriae»(πρακτική Γεωμετρία, 1220). Στο βιβλίο αυτό περιέγραψε με όμοιο τρόπο όποια γνώση είχε ανακαλύψει πως υπήρχε στην γεωμετρία και την τριγωνομετρία.. Το βιβλίο αυτό πιθανόν βασίζεται στην αραβική εκδοχή της «Διαίρεσης σχημάτων του Ευκλείδη» που έχει χαθεί. Σ’ αυτό το βιβλίο χρησιμοποίησε αλγεβρικές μεθόδους για να λύσει αλγεβρικά προβλήματα.

Βιογραφία Ο Φιμπονάτσι υπήρξε ερευνητής προικισμένος με πρωτοτυπία , γιατί τα βιβλία του περιέχουν πολλά παραδείγματα που δεν υπάρχουν πανομοιότυπα στην αραβική βιβλιογραφία. Ωστόσο παραπέμπει στον Αλ Χουαρίζμι σε προβλήματα όπως η λύση της χ2+10χ=39. Το γνωστότερο πρόβλημα που περιέχεται στοLiber abaci ήταν πόσο γρήγορα τα κουνέλια θα μπορούσαν να αναπαραγάγουν στις ιδανικές περιστάσεις. Κάποιος τοποθέτησε σε έναν αποκλεισμένο τόπο ένα ζευγάρι κουνελιών. Τα κουνέλια αυτά αναπαράγονται με ρυθμό ένα νέο ζευγάρι τον μήνα και κάθε νέο ζευγάρι γίνεται γόνιμο δύο μήνες μετά κι αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών έχουν παραχθεί σε έναν χρόνο από το αρχικό ζεύγος;

Βιογραφία Επίσης ο Φιμπονάτσι απέδειξε ότι η λύση της εξίσωσης χ3+2χ2+10χ=20 δεν μπορούν να εκφραστούν διαμέσου των ευκλείδειων άρρητων αριθμών (επομένως δεν μπορούν να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη) Για την απόδειξη αυτή, Ο Φιμπονάτσι έλεγξε κάθε μια από τις δεκαπέντε περιπτώσεις του Ευκλείδη και έπειτα προσδιόρισε την θετική ρίζα της εξίσωσης, φτάνοντας στην εξηνταδική θέση!! Ο αυτοκράτορας της Αγίας Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας Φρειδερίκος Β‘ γνώρισε το έργο του Φιμπονάτσι μέσω των λογίων της αυλής του και ζήτησε να συναντήσει τον Φιμπονάτσι στην επίσκεψη του στην Πίζα το 1225. Ο Ιωάννης του Παλέρμο, ένα άλλο μέλος της αυλής του Φρειδερίκου Β', παρουσίασε στον Φιμπονάτσι έναν αριθμό προβλημάτων προκλήσεων τρία εκ των οποίων όντως έλυσε.

Βιογραφία Ένα από αυτά παρουσιάζεται στο Flos όπoυ ο Fibonacci δίνει μια ακριβή προσέγγιση της εξίσωσης 10x+2x2+x3=20. Απέδειξε ότι η λύση δεν είναι ακέραιη, ούτε κλάσμα, ούτε τετραγωνική ρίζα κλάσματος. Χωρίς να εξηγεί πως δίνει την εξής λύση στο εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης 1.22.7.42.33.4.40 που αν μετατραπεί στο δεκαδικό είναι η 1.3688081075 που τα εννιά δεκαδικά ψηφία είναι σωστά. Δεν ξέρουμε πως το κατάφερε το πιθανότερο είναι να χρησιμοποίησε την σημερινή «μέθοδο Horner” που ήταν ήδη γνωστή στην Κίνα. Στο Flos , που έγραψε το 1225, υπάρχουν αόριστα προβλήματα που θυμίζουν τον Διόφαντο και προβλήματα που θυμίζουν τον Ευκλείδη, του άραβες και τους Κινέζους.

Βιογραφία Στο Liber quadratorum που γράφτηκε το 1225 ο Fibonacci κάνει εντυπωσιάκή δουλειά. Το όνομα του βιβλίου σημαίνει «βιβλίο των τετραγώνων» και είναι βιβλίο θεωρίας αριθμών. H δουλειά του Φιμπονάτσι αγνοήθηκε τον Μεσαίωνα και τα ίδια αποτελέσματα εμφανήστηκαν τριακόσια χρόνια αργότερα από τον Μαυρόλυκο. Σ’ αυτό το βιβλίο ασχολείται με μεθόδους που μας δίνουν Πυθαγόρειες τριάδες. Ο Φιμπονάτσι σημειώνει ότι τετράγωνα αριθμών μπορούν να κατασκευαστούν ως άθροισμα περιττών και ιδιαίτερα περιγράφει την επαγωγική κατασκευή χρησιμοποιώντας τον τύπο n2+(2n+1)=(n+1)2 Στο ίδιο βιβλίο χρησιμοποιούνται συχνά οι ταυτότητες : (α2+β2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2 και (α2+β2)(c2+d2)=(ad+bc)2+(ac-bd)2 τις οποίες πρώτος απέδειξε ο Διόφαντος και χρησιμοποίησαν οι Άραβες. Όμως η ιστορία του μετά από το 1228 είναι αρκετά σκοτεινή καθώς υπάρχει μόνο μια αναφορά του ονόματος του σε διασωθέντα κείμενα κι η οποία είναι ένα έγγραφο μισθοδοσίας το 1240 από την Πολιτεία της Πίζα.

Ακολουθία Fibonacci Το πρόβλημα που ενέπνευσε τους μεταγενέστερους μαθηματικούς είναι το πρόβλημα που γέννησε την περίφημη ακολουθία Φιμπονάτσι.Στο τρίτο μέρος του liber abaci εμφανίζεται το εξής πρόβλημα: Κάποιος τοποθέτησε σε έναν αποκλεισμένο τόπο ένα ζευγάρι κουνελιών. Τα κουνέλια αυτά αναπαράγονται με ρυθμό ένα νέο ζευγάρι τον μήνα και κάθε νέο ζευγάρι γίνεται γόνιμο δύο μήνες μετά κι αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών έχουν παραχθεί σε έναν χρόνο από το αρχικό ζεύγος; Το αποτέλεσμα είναι η ακολουθία Ο, 1, 1,2,3,5,8, 13,21,34,55,89, 144, 233, 377, 610 ,987, 1597, 2584,4181, 6765, 10946 ... (ο Φιμπονάτσι παρέλειψε τον πρώτο όρο στο Liber abaci). Εδώ λοιπόν κάθε νέος όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων όρων. Η ακολουθία Φιμπονάτσι (Fibonacci) δημιουργεί μία ακολουθία αριθμών που ονομάζονται αριθμοί Φιμπονάτσι και ορίζονται από τον εξής αναδρομικό τύπο: αν=αν-1+αν-2

Αριθμός Ζευγαριών Ο αριθμός ζευγαριών των κουνελιών που υπήρχαν στην έναρξη κάθε μήνα είναι : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Ορθογώνια Μπορούμε να κάνουμε μια εικόνα που να παρουσιάζει Fibonacci αριθμούς 1,1,2,3,5,8,13,21,.... εάν αρχίζουμε με δύο μικρά τετράγωνα μεγέθους 1 το ένα δίπλα στο άλλο. Πάνω από αυτά τα δύο ζωγραφίζουμε ένα τετράγωνο του μεγέθους 2 (= 1+1). Μπορούμε τώρα να ζωγραφίσουμε ένα νέο τετράγωνο – που θα ακουμπά το τετράγωνο της μιας μονάδας και το πιο πρόσφατο τετράγωνο της πλευράς 2 - έτσι θα έχουμε τετράγωνο πλευράς 3. Και στην συνέχεια ακουμπώντας το τετράγωνο με πλευρά 2 και αυτό με πλευρά 3 θα ζωγραφίσουμε ένα νέο με πλευρά 5 μονάδες. Μπορούμε να συνεχίσουμε να ζωγραφίζουμε τετράγωνα γύρω από την εικόνα, κάθε νέο τετράγωνο που έχει μια πλευρά που είναι όσο το άθροισμα των πλευρών των δύο πιο πρόσφατων τετραγώνων. Αυτό το σύνολο ορθογωνίων των οποίων πλευρές είναι δύο διαδοχικοί αριθμοί Fibonacci στο μήκος και που αποτελούνται από τα τετράγωνα με τις πλευρές που είναι αριθμοί Fibonacci, θα καλέσουμε τα ορθογώνια Fibonacci.

Χρυσό τρίγωνο Χρυσό ορθογώνιο

Ακολουθία Φιμπονάτσι Η ακολουθία αυτή έχει πολλές και σημαντικές ιδιότητες. Για παράδειγμα , κάθε δυο διαδοχικοί όροι είναι πρώτοι μεταξύ τους. Επίσης οι αριθμοί Fibonacci εμφανίζονται στο τρίγωνο Pascal. Κάθε διαγώνιος έχει ένα χρώμα. Το άθροισμα κάθε μιας διαγωνίου δίνει ένα αριθμό Φιμπονάτσι.

Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Επίσης το πηλίκο δύο διαδοχικών αριθμών Φιμπονάτσι τείνει στην χρυσή τομή

x a-x a x a-x a Χρυσή τομή Δ= (-3a)2 - 4a2 = 5a2 ax = (a-x)(a-x) Χρυσή τομή x a-x a Tο μικρότερο στοιχείο είναι στο μεγαλύτερο ότι ο μεγαλύτερος είναι σύνολο x a-x a Δ= (-3a)2 - 4a2 = 5a2 X1= 3a - a 5 2 ax = (a-x)(a-x) ax = a2 - 2ax + x2 x2 - 3ax + a2 = 0 a1=1, b1= - 3a, c1= a2 X2= 3a + a 5 2

Χρυσή τομή για x = 3a - a 5 2 x -a = a 5 - a a -x x = 5 + 1 2 Άρα αναλογία : a -x x = 5 + 1 2 = 1,61803... = φ Ο Χρυσός αριθμός φ - σημαίνει ότι η αναλογία δύο μερών από το τμήμα, έχει παρήχθη με διαίρεση από τη χρυσή αναλογία

Περιγραφή του αλγόριθμου Η ακολουθία έχει αποδειχθεί εξαιρετικά χρήσιμη στην Επιστήμη. Η ακολουθία αυτή βρίσκεται παντού στην φύση, στην βάση των ανανάδων και των κουκουναριών, στις κεφαλές των ηλιοτροπιών και στον αριθμό των πετάλων και των φύλλων, ανθέων και φυτών, τη ρύθμιση των φύλλων γύρω από το μίσχο και στον προσδιορισμό θέσης των φύλλων, των τμημάτων και των σπόρων. Για εξάσκηση με την ακολουθία Fibonacci πιέστε εδώ (Αρχείο fibonacci.xls)

Ένα φυτό επιδεικνύει τους αριθμούς Fibonacci με τον αριθμό "αυξανόμενων σημείων" που έχει. Υποθέστε ότι όταν ένα φυτό βγάζει έναν νέο βλαστό, εκείνος ο βλαστός πρέπει να αυξηθεί δύο μήνες προτού να γίνει αρκετά ισχυρός ώστε να στηρίξει μια νέα διακλάδωση. Εάν στην συνέχεια διακλαδίζεται κάθε μήνα, παίρνουμε την παραπάνω εικόνα.

Πρίμουλα ( 5 πέταλα ) Αγριόκρινος ( 3 πέταλα )

Μελία ( 13 πέταλα) Μαργαρίτα ( 34 πέταλα )

Ο «χρυσός» κανόνας Είναι όργανο ρυθμισμένο έτσι ώστε να αντιστοιχεί στην αρχή "χρυσής αναλογίας" (1:1.618) και είναι χρήσιμο για να έχουμε αισθητικά αποτελέσματα.

Η ΒΙΟΛΟΓΙΑ

ΖΩΟΛΟΓΙΑ

Σκάλα Βατικανού Το αυτί απεικονίζει τη μορφή μια σπείρα Fibonacci

Κουνουπίδι Ναυτίλος Κοχύλι

Ο λόγος αυτός εμφανίζεται στις αναλογίες του πεντάλφα , μυστικού σήματος της Πυθαγόρειας Σχολής Η χρυσή αναλογία φ = 1.618..., διαδραματίζει έναν σημαντικό ρόλο στα κανονικά πεντάγωνα και πεντάγραμμα. Κάθε πλευρά διαιρείται σε δυο μικρότερα τμήματα, και εάν διαιρέσετε το μήκος του πιο μεγάλου τμήματος με το πιο μικρό τμήμα ο λόγος θα είναι ίσος με φ.

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ

Παρθενώνας Η χρυσή τομή είναι η ειδική αναλογία που ξεκίνησε κατά την διάρκεια του 5ου αιώνα , γνωστή και ως Χρυσός αιώνας της Ελλάδος. Κατά την διάρκεια αυτού του αιώνα οι Έλληνες έγιναν ευρέως γνωστοί για τα πανέμορφες δημιουργίας στην τέχνη και την αρχιτεκτονική.

«Χρυσή τομή» ονομάζουμε και τη σχέση 4:9 που κυριαρχεί στον Παρθενώνα «Χρυσή τομή» ονομάζουμε και τη σχέση 4:9 που κυριαρχεί στον Παρθενώνα. Για παράδειγμα το πλάτος του στυλοβάτη προς το μήκος του, η διάμετρος των κιόνων προς το μεταξόνιο (1,905μ:4,296μ), το ύψος του ναού προς το πλάτος του (13,72μ:30,88=4:9), το πλάτος του κυρίως ναού προς το μήκος του. ενώ το πλάτος του ναού προς το ύψος έχουν μια σχέση 16:81, δηλ. 42:92

H χρυσή τομή έχει χρησιμοποιηθεί στο σχέδιο του Παρθενώνα, που βρίσκεται στην Αθήνα.   Η πρόσοψη του Παρθενώνα είχε φτιαχτεί χρησιμοποιώντας δύο μεγάλα ορθογώνια πλευράς ρίζας πέντε και τέσσερα μικρότερο. Η αναλογία του μήκους του κτηρίου προς το ύψος της πρόσοψης είναι φ, η χρυσή τομή .Υπάρχει ένας άρτιος αριθμός στυλοβατών κατά μήκος του μετώπου, οι οποίοι είναι οκτώ, και ένας περιττός αριθμός κατά μήκος των πλευρών, που είναι δεκαεπτά Ο Παρθενώνας για αυτούς τους λόγους, έχει γίνει για να μαθευτεί ως "τέλειο κτήριο"

Η πυραμίδα του Χέοπα Χρυσό ορθό τρίγωνο Η αναλογία της κοινής εξωτερικής περιοχής της πυραμίδας στον τομέα της βάσης του είναι ίσος με τη "χρυσή αναλογία" Αυτό είναι το κύριο γεωμετρικό μυστικό της πυραμίδας Χέοπος. Χρυσό ορθό τρίγωνο

Οι μεσαιωνικοί οικοδόμοι των εκκλησιών και των καθεδρικών ναών πλησίασαν πολύ με το σχέδιο των κτηρίων τους αυτά των τους Έλληνες. Μια καλή γεωμετρική δομή ήταν ο στόχος τους. Μέσα και έξω, τα κτήριά τους ήταν περίπλοκες κατασκευές βασισμένες στη χρυσή τομή. Παράθυρο Αναγέννησης

Ο θόλος του Αγίου Παύλου Λονδίνο Το κάστρο του Windsor

Tο Σινικό τείχος της Κίνας.

Διακόσμηση από τον πολιτισμό των Ατζέκων ΤΕΧΝΗ Διακόσμηση από τον πολιτισμό των Ατζέκων Βιολί

Αφροδίτη της Μήλου

Η μελέτη των ανθρώπινων αναλογιών σύμφωνα με το Vitruvious

TEΧΝΙΚΑ Αυτοκίνητο CD

Μόδα Ρούχα

H ανθρώπινη ομορφιά βασίζεται στην θεϊκή αναλογία Η θεϊκή αναλογία στο σώμα

Αν το μήκος του χεριού έχει μήκος 1, για παράδειγμα, τότε το συνδυασμένο μήκος του μήκους του χεριού και τον πήχη έχει περίπου την τιμή του φ. Όμοια η αναλογία του πάνω χεριού προς το χέρι και τον πήχη έχει τον ίδιο λόγο 1:φ . Το χέρι δημιουργεί την χρυσή τομή σε σχέση με τον βραχίονα όπως και η αναλογία του πήχη προς το χέρι είναι επίσης 1,618

Το ανθρώπινο πρόσωπο αφθονεί με παραδείγματα του χρυσού λόγου. Το ανθρώπινο πρόσωπο αφθονεί με τα παραδείγματα της χρυσού λόγου. Το κεφάλι διαμορφώνει ένα χρυσό ορθογώνιο με τα μάτια στο μέσο του. Το στόμα και η μύτη τοποθετούνται στις χρυσές διαιρέσεις της απόστασης μεταξύ των ματιών και του κατώτατου σημείου του πηγουνιού. Το φ καθορίζει τις διαστάσεις του ανθρώπινου προφίλ. Ακόμα και όταν βλέπουμε ένα κεφάλι από το πλάι, το ανθρώπινο κεφάλι επεξηγεί τη χρυσή αναλογία.

Χρυσές αναλογίες μεταξύ των δοντιών

Το ηλεκτροκαρδιογράφημα αναπαριστά την χρυσή τομή Η απόσταση μεταξύ των δύο ματιών είναι η απόσταση μεταξύ των «άσπρων του ματιού» Το ηλεκτροκαρδιογράφημα αναπαριστά την χρυσή τομή

Οι Αριθμοί Fibonacci στη Φύση