ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΑΣΑΦΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΚΑΛΟΥ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΑΕΜ: 4403 ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΑΣΑΦΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΚΑΛΟΥ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΑΕΜ: 4403

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα πραγματικά συστήματα πολύ δύσκολα μοντελοποιούνται μαθηματικά. Ο ασαφής έλεγχος αντιτίθεται ριζικά στην παραπάνω φιλοσοφία και αντιπροτείνει μια νέα προσέγγιση, χρησιμοποιώντας ένα γλωσσικό μοντέλο του υπό εξέταση συστήματος για την κατασκευή του οποίου έχει ως εργαλείο τη θεωρία των ασαφών συνόλων

ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ (ΠΡΙΝ) 1ο πρωτοποριακό άρθρο Η νέα θεωρία των ασαφών συνόλων, έρχεται σε αντίθεση με τα κλασσικά μαθηματικά. Αποτέλεσμα: Δεν πάρθηκε σοβαρά υπόψη από κανέναν επιστημονικό κύκλο Επιμονή Zadeh με 3 επόμενες δημοσιεύσεις το 1971, ‘72, ’74 L. Zadeh το 1965

ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ (ΠΡΙΝ) συνέχεια 1η πρακτική εφαρμογή το 1974, σε ένα άσημο κολέγιο του Λονδίνου (Queen Mary College) και αφορούσε: Τον έλεγχο μιας μηχανής ατμού (pilot scale steam engine) Έπειτα εκρηκτική ανάπτυξη του ασαφούς ελέγχου.

ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ (ΣΗΜΕΡΑ) 4 περιοχές συγκέντρωσης της παγκόσμιας ερευνητικής προσπάθειας : α) Σχεδίαση ελεγκτών βασισμένους σε κανόνες β) Ανάλυση σημειακών συστημάτων γ) Θεωρία ασαφών δυναμικών συστημάτων δ) Ασαφής βελτιστοποίηση

ΚΛΑΣΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ Για την κλασική περίπτωση συνόλων ο βαθμός συμμετοχής των στοιχείων του συνόλου παίρνει τιμές μόνο “0” ή “1”, δηλαδή: Έτσι έχουμε την έννοια των καθαρών συνόλων (crisp sets) που είναι τα σύνολα των οποίων τα στοιχεία τους έχουν αντίστοιχες τιμές μόνο 0 ή 1 στην αριθμητική σχέση συμμετοχής τους. Δηλαδή η αριθμητική σχέση συμμετοχής τους εκφράζει όλες ή καμία από τις ιδιότητες των στοιχείων.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Α = {μήλο, αχλάδι, αβοκάντο} (1 0 1). Α = {μήλο, αχλάδι, αβοκάντο} (1 0 1). Υπάρχει μήλο και αβοκάντο στην φρουτιέρα. Η συμμετοχή τους είναι 1. Επίσης δεν υπάρχει αχλάδι στην φρουτιέρα. Η συμμετοχή του είναι 0.

ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ Για την περίπτωση των ασαφών συνόλων ο βαθμός συμμετοχής των στοιχείων του συνόλου παίρνει πραγματικές τιμές στο διάστημα [0, 1], δηλαδή: Παράδειγμα : Α = {μήλο, αχλάδι, αβοκάντο} (1.0 0.1 0.7). Το μήλο είναι τέλειο, το αχλάδι έχει σημάδια και το αβοκάντο έχει κοψίματα στην φλούδα του.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Έτσι στη θεωρία της ασαφούς λογικής η αριθμητική σχέση παίρνει πολλαπλές τιμές στο πραγματικό διάστημα [0, 1], ενώ στην κλασική περίπτωση των καθαρών τιμών είναι μόνο δυο οι τιμές “0” ή “1”. Επίσης με την έννοια των ασαφών συνόλων έχουμε: που εξηγεί ότι αβεβαιότητα ή ασάφεια δεν είναι το ίδιο με την τυχαιότητα ή πιθανότητα. Επίσης γνωρίζουμε ότι από πλευράς μεγέθους ο χώρος των δειγμάτων (sample space) δεν μπορεί να είναι πολύ μεγάλος. Αλλιώς ένα θετικό μέτρο, όπως οι πιθανότητες, δεν μπορεί να είναι συγχρόνως αριθμητικά προσθετέο και περιορισμένο (additive & finite) που επίσης αποδεικνύει ότι δεν μπορεί να είναι μέτρο πιθανοτήτων.

ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΑΣΑΦΟΥΣ ΣΥΝΟΛΟΥ Έστω Χ υπερσύνολο αναφοράς και Α υποσύνολο του Χ τότε: Το Α καλείται ασαφές υποσύνολο του Χ όταν και μόνο όταν Α = { (χ,μΑ (χ) | χεΧ, μΑ (χ): Χ [0,1] }

ΠΡΑΞΕΙΣ ΕΠΙ ΤΩΝ ΑΣΑΦΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ Έστω Χ υπερσύνολο αναφοράς και Α,Β ασαφή υποσύνολα του Χ , τότε ορίζουμε τα ακόλουθα : 1. Αλγεβρικό άθροισμα: Α+Β = { (χ,μΑ+Β (χ) | χεΧ, μΑ+Β (χ) =μΑ(χ)+μΒ(χ)-μΑ(χ)*μΒ(χ)} 2. Αλγεβρικό γινόμενο : ΑΒ = { (χ,μΑΒ (χ) | χεΧ, μΑΒ (χ) =μΑ(χ) * μΒ(χ) } 3.Τομή : C=Α∩Β = { (χ,μC(χ) | χεΧ, μC(χ) =min(μΑ(χ),μΒ(χ)) } 4.Ένωση:D=AỦB= { (x,μD(χ) | χεΧ, μD(χ) =max(μΑ(χ),μΒ(χ) } 5.Συμπλήρωμα: Αc= { (χ,μAc(χ) | χεΧ, μΑc(χ) = 1-μΑ (χ) }

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω Χ = { σπίτια με 1 ή 2 ή 3…ή 10 δωμάτια } Α = { σπίτια ``κατάλληλα΄΄ για 4-μελή οικογένεια } Β = { σπίτια ``μεγάλα΄΄ σε επιφάνεια } Τα Α, Β αποτελούν ασαφή υποσύνολα του Χ. Αν Α = 0,2/1 + 0,5/2 + 0,8/3 + 1/4 + 0,7/5 + 0,3/6 Β = 0,2/3 + 0,4/4 + 0,6/5 + 0,8/6 + 1/7 + 1/8 Τότε C= Α∩Β = { σπίτια `κατάλληλα΄ για 4-μελή οικογένεια και `μεγάλα΄ σε επιφάνεια } = 0.2/3 + 0.4/4 + 0.6/5 + 0.3/6 D = ΑυΒ = {σπίτια `κατάλληλα΄ για 4-μελή οικογένεια ή μεγάλα σε επιφάνεια } =0.2/1 + 0.5/2 + 0.8/3 + 1/4 + 0.7/5 + 0.8/6 + 1/7 + 1/8 Αc= {σπίτια ακατάλληλα για 4-μελή οικ.}=0.8/1 + 0.5/2 + 0.2/3 + Ο.3/5 + 0.7/6 Βc= {σπίτια μικρά σε επιφάνεια}=1/1 + ½ + 0,8/3 + 0.6/4 + 0.4/5 + 0.2/6

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΑΦΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΣΤΗ ΒΙΟΛΟΓΙΑ Τα ασαφή σύνολα μπορεί να αποτελέσουν ένα σημαντικό εργαλείο για την εξαγωγή συμπερασμάτων στη βιολογία όπως : Ανάλυση σχέσεων μεταξύ βλάστησης και περιβάλλοντος Εντοπισμός προβλημάτων πληθυσμών όπως:προτιμήσεις στο φαγητό, επιλογή κατάλληλου ενδιαιτήματος, περιβαλλοντικούς περιορισμούς κλπ Μετατροπή τιμών έκφρασης βιολογικών γονιδίων σε ποιοτικές περιγραφές, που μπορούν να αξιολογηθούν. Κατηγοριοποίηση των ειδών σε σχέση με το φυσικό περιβάλλον.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ