Μια γεωμετρική προσέγγιση στην ποικιλομορφία

Ένα σύστημα δόμησης μπορεί να νοηθεί ως χωρική διάταξη κελιών που το καθένα χαρακτηρίζεται από μια ιδιότητα η οποία δέχεται διαφορετικές τιμές. Οι διαφορετικές καταστάσεις του συστήματος, όπου κάθε κατάσταση προσδιορίζεται από μια διαφορετική κατανομή τιμών στα κελιά, αντιπροσωπεύουν τις διαφορετικές κατασκευές που είναι εφικτές μέσω του συστήματος.

Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε έναν τετραγωνικό κάναβο, κάθε κελί του οποίου χαρακτηρίζεται από την δυαδική ιδιότητα "δομημένος χώρος", όπου η τιμή 1 σημαίνει "δομημένος" ενώ η τιμή 0 "μη δομημένος". Τότε διαφορετικές καταστάσεις του συστήματος (οι οποίες οπτικοποιούνται εδώ καθώς η τιμή 0 δηλώνεται με λευκό χρώμα και η τιμή 1 με μπλε) μπορεί να αντιπροσωπεύουν διαφορετικές αρχιτεκτονικές κατόψεις.

Με δεδομένο το W (το πλήθος των πιθανών καταστάσεων ενός κελιού), η πυκνότητα ποικιλομορφίας μεγαλώνει όσο μεγαλώνει το πλήθος των κελιών ανά μονάδα επιφανείας. Επομένως ένας προφανής τρόπος μεγιστοποίησης της πυκνότητας ποικιλομορφίας είναι η ελαχιστοποίηση του μεγέθους των κελιών. Ωστόσο, το μέγεθος αυτό μπορεί να προσδιορίζεται από εργονομικούς, αρχιτεκτονικούς ή πολεοδομικούς παράγοντες. Οι συγκεκριμένοι παράγοντες εμπίπτουν σε ένα γενικό μοντέλο το οποίο μπορεί να προκύψει από την ακόλουθη παρατήρηση: Φυσικά, λόγω αρχιτεκτονικών περιορισμών, μόνο ορισμένες πιθανές καταστάσεις του συστήματος αποτελούν αποδεκτές αρχιτεκτονικές κατόψεις. Ωστόσο το αναμενόμενο πλήθος αυτών των καταστάσεων εξαρτάται στενά από την ποικιλομορφία. Σε αυτήν την περίπτωση το σύστημα έχει 2N πιθανές καταστάσεις, όπου N είναι ο αριθμός των κελιών. Γενικότερα ένα σύστημα N κελιών, όπου η χαρακτηριστική ιδιότητα των κελιών δέχεται W διαφορετικές πιθανές τιμές, έχει WN πιθανές καταστάσεις. Το πλήθος των πιθανών καταστάσεων θα αναφέρεται ως "ποικιλομορφία" του συστήματος. Θεωρώντας την ποικιλομορφία ως επιθυμητή ιδιότητα, ανεξάρτητη από κάθε ειδική περίπτωση εφαρμογής του συστήματος, αναζητούμε μια διάταξη κελιών στο επίπεδο—θεωρούμενο ως πεδίο μιας αρχιτεκτονικής κάτοψης—η οποία μεγιστοποιεί την "πυκνότητα ποικιλομορφίας", δηλαδή την ποικιλομορφία ανά μονάδα επιφανείας.

R C R D Έστω ότι κάθε κελί στεγάζει μια στοιχειώδη χρήση χώρου η οποία παριστάνεται ως ζεύγος (C, R), όπου C είναι το γεωμετρικό κέντρο της χρήσης και R η ακτίνα της. Ανάλογα με την κλίμακα της χρήσης, η R μπορεί να κυμαίνεται από λίγα πόδια (κλίμακα επίπλων) έως μερικές εκατοντάδες πόδια (πολεοδομική κλίμακα). Το σημαντικό είναι ότι με δεδομένη την κλίμακα, ορίζεται ένα ελάχιστο R, ενώ η ελάχιστη απόσταση μεταξύ κέντρων διαφορετικών χρήσεων είναι D = 2R.

D Είναι γνωστό ότι αν σημεία που έχουν μια ελάχιστη επιτρεπόμενη απόσταση μεταξύ τους κατανεμηθούν στο επίπεδο, τότε η κατανομή που παρουσιάζει το μέγιστο πλήθος σημείων ανά μονάδα επιφανείας είναι εκείνη στην οποία τα σημεία αποτελούν κορυφές ενός ισόπλευρου τριγωνικού πλέγματος όπου η πλευρά ενός τριγώνου έχει το μήκος της ελάχιστης επιτρεπόμενης απόστασης.

Τα όρια μεταξύ των κελιών παρέχονται από τον δυϊκό κάναβο, δηλαδή τον τον κάναβο του οποίου οι πλευρές είναι οι μεσοκάθετοι των πλευρών του αρχικού πλέγματος. Συνεπώς τα κελιά ορίζονται ως ίσα κανονικά εξάγωνα. Ένας εξαγωνικός κάναβος έχει περίπου 15% περισσότερα κελιά από όσα ο τετραγωνικός κάναβος που έχει την ίδια απόσταση μεταξύ κέντρων γειτονικών κελιών. Αυτό αυξάνει την πυκνότητα ποικιλομορφίας κατά τον εκθετικό συντελεστή 1.15.

Η θεώρηση διαφορετικών κατανομών μιας δυαδικής τιμής σε κελιά ενός κανάβου ως διαφορετικών αρχιτεκτονικών κατόψεων είναι βέβαια μια χονδρική προσέγγιση.

Ακόμη και με την νέα προσέγγιση της ποικιλομορφίας, ο εξαγωνικός κάναβος μεγιστοποιεί την πυκνότητα ποικιλομορφίας: περιλαμβάνει περίπου 73% περισσότερα όρια κελιών από όσα ο τετραγωνικός κάναβος που έχει την ίδια απόσταση μεταξύ κέντρων γειτονικών κελιών. Αυτό αυξάνει την πυκνότητα ποικιλομορφίας κατά τον εκθετικό συντελεστή 1.73. Τότε εξ ορισμού η πυκνότητα ποικιλομορφίας είναι WN, όπου W είναι το πλήθος των πιθανών καταστάσεων ενός ορίου (αυτό περιλαμβάνει το πλήθος των τύπων αντικειμένων συν την περίπτωση μη τοποθέτησης αντικειμένου) και N είναι το πλήθος των ορίων ανά μονάδα επιφανείας. Στην πραγματικότητα τα δομικά στοιχεία του συστήματός μας μπορεί να είναι διαφορετικά αντικείμενα (λεπτά ή χονδρά τοιχώματα, πόρτες, παράθυρα κλπ) τα οποία μπορεί να τοποθετηθούν στα όρια μεταξύ κελιών.

Κελί του δυϊκού κανάβου Τρισδιάστατο πλέγμα Κελί του δυϊκού κανάβου Ο πυκνότερος τρισδιάστατος κανάβος, δηλαδή εκείνος που παρουσιάζει το μέγιστο πλήθος κελιών ανά μονάδα όγκου με δεδομένη μια ελάχιστη επιτρεπόμενη απόσταση μεταξύ κέντρων κελιών, είναι ο κάναβος του οποίου τα κελιά είναι ίσα ρομβοδωδεκάεδρα. Ο συγκεκριμένος κάναβος παρουσιάζει επίσης την μέγιστη πυκνότητα ποικιλομορφίας στις τρεις διαστάσεις. Αν το σύστημα επεκταθεί στις τρεις διαστάσεις, τότε τα κέντρα των χρήσεων σχηματίζουν ένα τρισδιάστατο πλέγμα όπου τα γειτονικά κέντρα συνδέονται. Ο δυϊσμός προκύπτει αν κάθε σύνδεση αντικατασταθεί από το μεσοκάθετό της επίπεδο. Τότε τα επίπεδα τμήματα τα οποία περιβάλλουν κάθε κέντρο διαμορφώνουν ένα πολύεδρο που αποτελεί κελί ενός τρισδιάστατου κανάβου.

Κελί του δυϊκού κανάβου Τρισδιάστατο πλέγμα Κελί του δυϊκού κανάβου Αυτοί οι κάναβοι, καθώς και ο δισδιάστατος εξαγωνικός κάναβος, έχουν δυο ιδιότητες σημαντικές για τις πιθανές αρχιτεκτονικές τους εφαρμογές: παραμένουν αναλλοίωτοι σε μετασχηματισμούς μετατόπισης και στροφής. Αυτό εξασφαλίζει ομοιογένεια και ισοτροπία στην μακρά κλίμακα. Κατά συνέπεια, οι δυνατότητες αρχιτεκτονικής διαχείρισης του χώρου είναι ταυτόσημες για ένα σύνολο θέσεων και διευθύνσεων ομαλά κατανεμημένων στον χώρο. Ωστόσο, ο τρισδιάστατος αρχιτεκτονικός χώρος δεν είναι ισότροπος, καθώς προσανατολίζεται από το διάνυσμα της βαρύτητας. Λόγω αυτής της ανισοτροπίας οι ανθρώπινες δραστηριότητες είναι πιο έντονες σε οριζόντια επίπεδα από ότι στην κατακόρυφη διεύθυνση. Κατά συνέπεια ένας τρισδιάστατος κάναβος πρέπει να είναι ανισότροπος, παρουσιάζοντας την μέγιστη πυκνότητα ποικιλομορφίας σε οριζόντια επίπεδα. Ένας άλλος πυκνός τρισδιάστατος κάναβος, ο οποίος ενδεχομένως προσφέρει καλύτερες αρχιτεκτονικές ιδιότητες, είναι ο κάναβος του οποίου τα κελιά είναι ίσα κολοβά οκτάεδρα.

Κελί του δυϊκού κανάβου Τρισδιάστατο πλέγμα Κελί του δυϊκού κανάβου Μια προφανής—αν και όχι αναγκαστικά βέλτιστη—λύση προκύπτει από το τρισδιάστατο πλέγμα όπου τα κέντρα των χρήσεων σχηματίζουν ισόπλευρους τριγωνικούς κανάβους διατεταγμένους σε επάλληλα οριζόντια επίπεδα (αυτό εξασφαλίζει την μέγιστη πυκνότητα ποικιλομορφίας σε αυτά τα επίπεδα), ενώ ομόλογα κέντρα τα οποία βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα συνδέονται κατακόρυφα. Τότε το κελί του κανάβου είναι ένα εξαγωνικό πρίσμα.

Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα την μεγαλύτερης κλίμακας χωρική μονάδα η οποία εμφανίζεται με κόκκινο χρώμα. Αυτή η μονάδα θα μπορούσε να αντιστοιχεί στην αρχιτεκτονική κλίμακα αν τα εξαγωνικά κελιά αντιστοιχούν στην κλίμακα επίπλωσης. Η συγκεκριμένη μονάδα δεν μπορεί να κατασκευαστεί στα πλαίσια του συστήματος, καθώς το τελευταίο δεν παρέχει τα απαιτούμενα στοιχειώδη όρια. Μια συνεπής ως προς το σύστημα κατασκευή μπορεί μόνον να προσεγγίσει την συγκεκριμένη μονάδα με σημαντική σπατάλη σε μήκος ορίου και πολυπλοκότητα. Κάθε οριζόντια τομή αυτού του κανάβου αποκαλύπτει τον γνωστό δισδιάστατο εξαγωνικό κάναβο. Ωστόσο ένα σύστημα δόμησης βασισμένο σε αυτόν τον κάναβο αντιμετωπίζει προβλήματα "κλιμάκωσης" (scalability).

Ο εξαγωνικός κάναβος περιλαμβάνεται στον νέο κάναβο, πράγμα που σημαίνει ότι κάθε κατασκευή συμβατή με τον πρώτο κάναβο είναι συμβατή και με τον δεύτερο. Αν συνδέσουμε τις κορυφές κάθε εξαγώνου με το κέντρο του, έχουμε έναν λεπτότερο ισόπλευρο τριγωνικό κατασκευαστικό κάναβο, στις πλευρές του οποίου μπορεί να τοποθετηθούν δομικά στοιχεία

Ωστόσο, με δεδομένους κατάλληλους αρχιτεκτονικούς περιορισμούς οι οποίοι διασφαλίζουν την μη παραβίαση της ελάχιστης επιτρεπόμενης απόστασης μεταξύ κέντρων λειτουργιών, ο νέος κάναβος μπορεί να υποστηρίξει πρόσθετες κατασκευές …

… συμπεριλαμβανόμενης και της χωρικής μονάδας η οποία παρουσιάστηκε προηγουμένως. Κατά συνέπεια, ο νέος κάναβος επιτρέπει την κλιμάκωση των χωρικών μονάδων, ενώ αυξάνει σημαντικά την πυκνότητα ποικιλομορφίας.

Τώρα βλέπουμε μια κατακόρυφη τομή του τρισδιάστατου πλέγματος που σχηματίζεται από τα κέντρα των χρήσεων. Εδώ οι οριζόντιες γραμμές παριστάνουν οριζόντια επίπεδα, που το καθένα φέρει έναν ισόπλευρο τριγωνικό κάναβο, ενώ οι κατακόρυφες γραμμές παριστάνουν στήλες κατακόρυφων συνδέσεων. Τα δυϊκά πολύεδρα εμφανίζονται σε αυτήν την τομή ως ορθογώνια.

Έστω ότι επιτρέπεται να τροποποιούμε το τρισδιάστατο πλέγμα μετατοπίζοντας κατακόρυφα οποιοδήποτε υποσύνολο στηλών κατά το μισό του ύψους μιας κατακόρυφης σύνδεσης και δημιουργώντας τις νέες συνδέσεις που απαιτούνται ώστε να εξασφαλιστεί η κατακόρυφη συμμετρία. Η αντικατάσταση μιας οριζόντιας σύνδεσης με δυο πλάγιες συνδέσεις συνεπάγεται την διάσπαση της αντίστοιχης κατακόρυφης έδρας του δυϊκού πολύεδρου σε δυο πλάγιες έδρες. Τότε ένα τρισδιάστατο πλέγμα με K στήλες έχει 2K πιθανές καταστάσεις.

Πιθανή κατάσταση του τρισδιάστατου πλέγματος Επομένως ένα δυϊκό πολύεδρο μπορεί να κυμαίνεται από πρίσμα, όπου όλες οι μη οριζόντιες έδρες είναι κατακόρυφες (αν όλες οι γειτονικές στήλες βρίσκονται στην ίδια κατάσταση μετατόπισης με την στήλη του πολυέδρου)… Πιθανή κατάσταση του τρισδιάστατου πλέγματος Αντίστοιχη κατάσταση κελιών του δυϊκού κανάβου

Πιθανή κατάσταση του τρισδιάστατου πλέγματος Η επαλληλία των δυικών κανάβων όλων των πιθανών καταστάσεων του τρισδιάστατου πλέγματος παράγει έναν σταθερό τρισδιάστατο κάναβο του οποίου τα στοιχειώδη επίπεδα τμήματα προκύπτουν από την αλληλοτομία των επιπέδων τμημάτων των επάλληλων κανάβων. Αυτός ο σταθερός κάναβος μπορεί να αποτελέσει κατασκευαστικό κάναβο ενός συστήματος του οποίου τα δομικά στοιχεία τοποθετούνται στα στοιχειώδη επίπεδα τμήματα έτσι ώστε να τηρείται η συμβατότητα με έναν τουλάχιστον από τους επάλληλους κανάβους. Η δυνατότητα μετατόπισης στηλών του τρισδιάστατου πλέγματος δεν βλάπτει την ομοιογένεια σε επίπεδο συστήματος, καθώς κατανέμεται ομοιόμορφα στον χώρο. Η ποικιλομορφία πολλαπλασιάζεται επί το πλήθος των πιθανών καταστάσεων του τρισδιάστατου πλέγματος. Συγκεκριμένα, με δεδομένη μια περιοχή του χώρου η ποικιλομορφία πολλαπλασιάζεται επί 2K , όπου K το πλήθος των στηλών του πλέγματος οι οποίες τέμνουν την περιοχή. … έως ένα πολύεδρο σχήματος διαμαντιού όπου όλες οι κατακόρυφες έδρες έχουν αντικατασταθεί από ζεύγη πλάγιων εδρών (αν όλες οι γειτονικές στήλες βρίσκονται σε διαφορετική κατάσταση μετατόπισης με την στήλη του πολυέδρου). Πιθανή κατάσταση του τρισδιάστατου πλέγματος Αντίστοιχη κατάσταση κελιών του δυϊκού κανάβου

Συνεχίζεται στο Section_3_GR.PPS