TO ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ FERMAT ΕΝΑ ΟΔΟΙΠΟΡΙΚΟ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ Μαθήτριες του Λυκείου Λινόπετρας Αναστασίου Ανθή - Αναστασίου Σκεύη Γιαννάκη Βίκυ – Κολόμβου Δέσποινα Κυπριανού Νεοφύτα Κυριάκου Μελίνα - Περικλέους Στέλλα Ρήγα Βαρβάρα - Σαρρή Χριστίνα Μαθητής του Λανιτείου Λυκείου Α’ Καραντάνος Μιχάλης Καθηγήτρια Μαθηματικών Δημητρίου Τέρψα

«Tο Τελευταίο Θεώρημα του Fermat». Καμία λύση !!!!! «Ανακάλυψα μια πραγματικά εξαίσια λύση, όμως δεν προλαβαίνω να την γράψω γιατί έρχεται το τρένο!!!» Μπορεί να ήταν ελάχιστοι οι Νεοϋορκέζοι που κατάλαβαν ότι αυτά τα χαριτωμένα λόγια γκράφιτι που γράφτηκαν στο μετρό της 8ης λεωφόρου στη Νέα Υόρκη παρέπεμπαν στον εδώ και 350 χρόνια μαθηματικό γρίφο, γνωστό ως «Tο Τελευταίο Θεώρημα του Fermat».

Ο Εric Temple Bell , μαθηματικός και βιογράφος πολλών μαθηματικών Πίστευε ότι: το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat θα ήταν από τα ερωτήματα που θα παρέμεναν αναπάντητα, ακόμη και την μέρα που ο ανθρώπινος πολιτισμός θα αυτοκαταστρεφόταν σ’ ένα πυρηνικό πόλεμο.

Ο Bell διατύπωσε αυτή τη πρόβλεψη λίγο πριν από τον θάνατό του το 1960 ▪ το γεγονός ότι η ανθρωπότητα συνεχίζει να επιβιώνει ή ▪ ότι ανακοινώθηκε η απόδειξη του εν λόγω θεωρήματος;

O Pierre de Fermat ισχυρίστηκε ότι : Αν a, b και c είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί και αν n είναι ακέραιος μεγαλύτερος του 2 , τότε η εξίσωση είναι αδύνατη . Η απλότητα της διατύπωσης είναι απατηλή. Η πρόταση είχε αντισταθεί σε όλες τις απόπειρες απόδειξης για περισσότερο από 350 χρόνια. Ο Fermat δημιούργησε ,χωρίς να το φαντάζεται, ένα θρύλο.

Για τα επόμενα 350 χρόνια η εικασία αυτή του Fermat έγινε έμμονη ιδέα πολλών διάσημων και μη μαθηματικών Ο Euler, o Dirichlet, o Gauss, n Sophie Germain, o Abel, o Kummer ήταν μόνο μερικές από τις μαθηματικές ιδιοφυΐες που παρά τις προσπάθειές τους δεν κατάφεραν να λύσουν το θεώρημα . Αν το μήκος της βελόνας δεν είναι μεγαλύτερο από την απόσταση των παραλλήλων, η πιθανότητα της βελόνας να αγγίζει ή να τέμνει μια ευθεία ισούται με δύο φορές το μήκος της βελόνας l, δια το γινόμενο της απόστασης d επί τον αριθμό π δηλαδή : (1) Αυτό σημαίνει ότι αν ρίξουμε κ οδοντογλυφίδες μήκους l σ’ ένα ριγέ τραπεζομάντιλο όπου οι παράλληλες ευθείες ισαπέχουν μεταξύ τους απόσταση d (με l £d) και διαπιστώσουμε ότι λ οδοντογλυφίδες τέμνονται με τις παράλληλες γραμμές του τραπεζομάντιλου τότε η πιθανότητα μία οδοντογλυφίδα να τέμνει κάποια παράλληλη, σύμφωνα με τον κλασσικό ορισμό πιθανότητας είναι : (2) . Εξισώνοντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει η εξίσωση: (3) Πολλοί ερευνητές-Μαθηματικοί προσπάθησαν να εκμεταλλευτούν το παραπάνω αποτέλεσμα για να προσδιορίσουν (πειραματικά βέβαια) την τιμή του αριθμού π. Αν θέλετε εκτελέστε το πιο κάτω πείραμα: πετάξτε πολλές οδοντογλυφίδες (μερικές χιλιάδες τουλάχιστον) σε μία οριζόντια επιφάνεια από ισαπέχουσες παράλληλες (π.χ ένα ριγέ τραπεζομάντιλο ή ένα πάτωμα με παράλληλες γραμμές ) ώστε d¡Â§¤ όπως παραπάνω. Αν μετρήσετε τον αριθμό των τομών με τις παράλληλες μπορείτε να προσδιορίσετε μία προσέγγιση του π μέχρι κάποια δεκαδικά ψηφία με χρήση του τύπου (3).

Βραβείο Wolfskehl Το 1908 το γερμανικό βραβείο Wolfskehl αφιέρωσε στη λύση του Θεωρήματος το ποσό των 100.000 μάρκων. Μέσα σ’ ένα έτος υποβλήθηκαν 621 λύσεις, όλες βέβαια λανθασμένες.

Οι προσπάθειες για την επίλυσή του κράτησαν μέχρι το 1994, όταν ο καθηγητής Andrew Wiles του Πανεπιστημίου του Πρίνστον, ο οποίος είχε λύσει το Θεώρημα ένα χρόνο ενωρίτερα, πέτυχε να διορθώσει και το τελευταίο κενό που διέφευγε από την απόδειξή του.

Πραγματική θέση που κατέχει στα σύγχρονα μαθηματικά το τελευταίο θεώρημα του Fermat Θα προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε μερικές από τις πολλές προσπάθειες για την απόδειξη του θεωρήματος, παραθέτοντας και ιστορικά σχόλια που πιστεύουμε ότι έχουν αρκετό ενδιαφέρον. Έτσι, μια ιστορία των προσπαθειών για τη λύση του είναι εκ των πραγμάτων και μια ιστορία των μαθηματικών, αφού αρκετοί και σημαντικοί κλάδοι των μαθηματικών προκύπτουν απ’ αυτήν. Και αυτό είναι ένα μέτρο της σημασίας του.

Σημειώσεις στο περιθώριο: Ο Pierre de Fermat γεννήθηκε στις 20 Αυγούστου 1601 στην πόλη Μπομόντ – ντε – Λομάνιε της νοτιοδυτικής Γαλλίας και πέρασε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του στη Τουλούζη, όπου εργάστηκε ως διακεκριμένος νομικός στη δημόσια διοίκηση, υπηρετώντας τον Λουδιβίκο ΙΔ΄.

Ο Fermat ως μαθηματικός υπήρξε ερασιτέχνης Ο Fermat ως μαθηματικός υπήρξε ερασιτέχνης. O Εric Temple Bell τον ονόμασε Πρίγκιπα των Ερασιτεχνών Δεν ενδιαφερόταν να γράψει ένα βιβλίο για τις υπόλοιπες γενιές. Απλώς αναζητούσε την προσωπική του ικανοποίηση λύνοντας ένα πρόβλημα. Σημείωνε πρόχειρα σε χαρτιά ότι του ήταν απαραίτητο για την λύση χωρίς να καταγράφει μετά την υπόλοιπη απόδειξη και αρκετές φορές τις πετούσε στα σκουπίδια συνεχίζοντας με το επόμενο πρόβλημα.

«Τον επιταχθέντα τετράγωνον διελειν εις δύο τετραγώνους » Γύρω στα 1630 ,ο Fermat μελέτησε τα Αριθμητικά του Διόφαντου του Αλεξανδρέως (3o αιώνα μ.χ) Ο Fermat έγραψε πολυάριθμα σχόλια στο περιθώριο του αντιτύπου των Αριθμητικών που διέθετε. Το σχόλιο που μας αφορά ειδικότερα αναφέρεται στο Πρόβλημα 8 του Βιβλίου 2 ,όπου ο Διόφαντος θέτει το εξής ζήτημα : «Τον επιταχθέντα τετράγωνον διελειν εις δύο τετραγώνους »

Η σημείωση του Fermat ,μεταφρασμένη από τα Λατινικά, αναφέρει « Είναι αδύνατον να αναλύσουμε ένα κύβο σε δύο τέλειους κύβους ή μια τέταρτη δύναμη σε δύο τέλειες τέταρτες δυνάμεις ή γενικότερα ,κάθε δύναμη μεγαλύτερη της δευτέρας σε δύο δυνάμεις ίδιου βαθμού ». «Έχω ανακαλύψει μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη, αλλά το περιθώριο είναι πολύ στενό για να την χωρέσει ».

Διέθετε πράγματι ο Fermat μια «θαυμάσια απόδειξη»; Σε μεταγενέστερες επιστολές προς συναδέλφους του παρέπεμψε σε αποδείξεις των ειδικών περιπτώσεων για n=3 και n=4 ,αλλά την γενική απόδειξη δεν την αναφέρει ξανά ,γεγονός που ενισχύει την άποψη ότι μάλλον δεν την γνώριζε.

Πρώιμες προσπάθειες Για n=1 η ανεύρεση ακέραιων λύσεων της εξίσωσης είναι απλή . Επειδή το άθροισμα δύο ακεραίων είναι επίσης ακέραιος ,για κάθε a, b υπάρχει πάντοτε ένας c που ικανοποιεί την ▪ Για n=2 ( η περίπτωση που εξέτασε ο Διόφαντος ) το πρόβλημα γίνεται ελάχιστα δυσκολότερο .Βεβαίως η εξίσωση είναι ο τύπος του Πυθαγόρα, η οποία συνδέει τις κάθετες πλευρές και την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου, και επιδέχεται άπειρες το πλήθος λύσεις αρχής γενομένης από την γνωστή σε όλους πυθαγόρεια τριάδα (3,4,5). Με δεδομένη την απειρία λύσεων για n=1 ή n=2 , η πιθανότητα να μην υπάρχει καμία ακέραια λύση για n>=3 εκπλήσσει ,όμως αυτός είναι ο ισχυρισμός του Fermat

Πρώιμες προσπάθειες Ο ίδιος ο Fermat απόδειξε ότι για n=4 η εξίσωση δεν έχει λύση αποδεικνύοντας ότι δεν υπάρχουν πυθαγόρειες τριάδες ,όπου τα ίδια τα a , b, c είναι τέλεια τετράγωνα (αφού μια τέλεια τέταρτη δύναμη είναι και τέλειο τετράγωνο). Η απόδειξή του στηρίζεται στη τεχνική που ο ίδιος επινόησε και ονομάζεται «μέθοδος της άπειρης καθόδου». Ο Fermat ανακάλυψε μια σειρά πράξεων με την οποία δοθείσης μιας οποιασδήποτε λύσης δημιουργείται μια μικρότερη της. Η διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχισθεί απεριόριστα ,η δημιουργία όμως μιας τέτοιας σειράς από συνεχώς μικρότερους αριθμούς, είναι αδύνατη στο σύνολο των θετικών ακεραίων, το οποίο διαθέτει ένα καλώς ορισμένο κάτω φράγμα τον αριθμό 1. Η περίπτωση n=3 εξετάστηκε από τον Leonahart Euler, τον μεγάλο Ελβετό μαθηματικό του 18ου αιώνα

Ο μαθηματικός κύκλωπας: Ο Euler διέθετε εκπληκτική διαίσθηση και τεράστια μνήμη. Ο Leonahart Euler έκανε την πρώτη σημαντική ανακάλυψη προς την κατεύθυνση της απόδειξης του τελευταίου θεωρήματος του Fermat ακολουθώντας κι αυτός την μέθοδο της άπειρης καθόδου . Επιχείρησε μια ανοδική πορεία προς το n=άπειρο και μια αντίστοιχη καθοδική προς το n=3 και αυτό ήταν το μοναδικό του καθοδικό βήμα. Μετά από εκατό χρόνια ο Euler κατόρθωσε να κάνει ένα βήμα προόδου στην πρόκληση του Fermat

Ο Euler ωστόσο έδειξε ότι με την ενσωμάτωση του φανταστικού αριθμού i στην απόδειξη αυτή γινόταν περισσότερο συμπαγής, ενώ η μέθοδος της άπειρης καθόδου λειτουργούσε και για την περίπτωση n=3. Δυστυχώς, οι προσπάθειες του για να λειτουργήσει το επιχείρημα για όλες τις τιμές του n κατέληξαν σε αποτυχία και ο άνθρωπος που δημιούργησε τα περισσότερα μαθηματικά από οποιονδήποτε άλλο ταπεινώθηκε από την πρόκληση του Fermat .Μόνη του παρηγοριά ήταν ότι είχε κάνει την πρώτη σημαντική ανακάλυψη στο δυσκολότερο πρόβλημα.

Sophie Germain Από τη σημαντική ανακάλυψη του Euler και μετά δεν είχε σημειωθεί καμιά σχετική πρόοδος μέχρι που μια νεαρή Γαλλίδα αναζωπύρωσε το κυνήγι της χαμένης απόδειξης Η Sophie Germain γεννήθηκε το 1776 και έζησε στη Γαλλία, σε μια περίοδο που επικρατούσε η αντίληψη ότι τα μαθηματικά δεν ταίριαζαν στις γυναίκες. Δίνοντας λοιπόν ψευδή ταυτότητα σπουδάζει στη Πολυτεχνική Σχολή του Παρισιού με το όνομα κάποιου παλαιότερου σπουδαστή. Με το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat ασχολήθηκε αρκετά χρόνια, φτάνοντας σε ένα επίπεδο όπου πίστευε ότι είχε κάνει μια σημαντική ανακάλυψη

Άμεσος στόχος της δεν ήταν να αποδείξει μια συγκεκριμένη περίπτωση, αλλά να αποδείξει κάτι για πολλές περιπτώσεις μαζί. Στην επιστολή της προς τον Gauss εστίαζε σε ένα υπολογισμό με μια συγκεκριμένη μορφή ενός πρώτου αριθμού p έτσι ώστε και ο αριθμός (2p+1) να είναι επίσης πρώτος. Η λίστα πρώτων αριθμών της Germain περιλαμβάνει το 5,διότι το 11(2.5+1) είναι επίσης πρώτος αριθμός, δεν περιλαμβάνει όμως το 13, διότι το 27(2.13+1) δεν είναι πρώτος. Για τιμές του n ίσες με τους πρώτους αριθμούς της, η Germain χρησιμοποίησε ένα κομψό επιχείρημα προκειμένου να δείξει ότι πιθανώς δεν υπήρχαν λύσεις της εξίσωσης. Λέγοντας «πιθανώς» η Germain εννοούσε ότι ήταν απίθανο να υπάρχουν λύσεις επειδή αν υπήρχε λύση, τότε τα a, b, c θα ήταν πολλαπλάσια του n.

που απόδειξαν το θεώρημα για n=5 και για n=14 Το 1825 η μέθοδος της Germain διεκδίκησε την πρώτη πλήρη επιτυχία χάρη στο Γάλλο μαθηματικό Αdrien - Marie Legendre και τον Γερμανό P.G.Lejeunne Dirichlet. που απόδειξαν το θεώρημα για n=5 και για n=14 Αργότερα ο Gabriel Lame χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της Germain, αποδεικνύει την περίπτωση για τον πρώτο αριθμό n=7.

Το 1847 ο Ernst E. Kummer ένας Γερμανός μαθηματικός ,διακεκριμένος στη θεωρία αριθμών, επισήμανε ότι οι αποδείξεις των Lame και Cauchy που είχαν βασιστεί στη χρήση μιας ιδιότητας των αριθμών ,γνωστή ως μοναδική παραγοντοποίηση ήταν λανθασμένες αφού η ιδιότητα αυτή δεν ίσχυε για την περίπτωση των φανταστικών αριθμών... Για παράδειγμα ενώ ο αριθμός 12 = 2.2.3 μπορεί να παραγοντοποιηθεί με μοναδικό τρόπο στο σύνολο Ν δεν ισχύει το ίδιο στο σύνολο C, όπως εύκολα μπορεί ο καθένας να παρατηρήσει : Ποια η πιθανότητα να κτυπήσει τη γραμμή; Η πιθανότητα μιας επιτυχίας, όταν δηλαδή ισούται με τον λόγο του εμβαδού της σκιασμένης περιοχής προς το εμβαδόν του ορθογωνίου. Ποιες είναι αυτές οι τιμές; Έστω P(θ) : η πιθανότητα να κτυπήσει η βελόνα τις γραμμές

Ο Kummer επιστρατεύοντας επιπλέον τεχνικές, αποδεικνύει ότι το Θεώρημα αληθεύει για άπειρο πλήθος εκθετών ,συγκεκριμένα για όλες τις τιμές του n που διαιρούνται με «κανονικούς» πρώτους αριθμούς Οι μόνοι «μη κανονικοί» πρώτοι αριθμοί μικρότεροι του 100 είναι οι 37 , 59 και 67, αλλά και γι’ αυτούς ο Kummer πέτυχε στη πορεία να το αποδείξει.

Έτσι το τελευταίο θεώρημα του Fermat είχε αποδειχθεί για όλα τα n<100 Mε την βοήθεια Η.Υ, οι Buhler,Crandall, Ernvall, δείχνουν ότι το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat αληθεύει για όλους τους εκθέτες n<4.000.000 Εντούτοις δεν υπήρξε μαθηματικός που να θεώρησε το θέμα λήξαν, μόνο και μόνο επειδή εξαντλήθηκε ένας πεπερασμένος αριθμός περιπτώσεων.

O Paul Wolkskehl ,ένας Γερμανός βιομήχανος από το Ντάρμσταντ ανανέωσε το ενδιαφέρον. Μετά από μια ερωτική απογοήτευση, αποφάσισε να αυτοκτονήσει. Αφού όρισε την ημερομηνία της αυτοκτονίας του, βρέθηκε να φυλλομετρά κάποιες δημοσιεύσεις στα μαθηματικά και λίγο μετά να μελετά την εργασία του Kummer λέξη προς λέξη. Ο Wolkskehl κατάφερε να διορθώσει την απόδειξη του Kummer και ήταν τόσο περήφανος που η απελπισία του είχε εξανεμιστεί. Τα μαθηματικά είχαν ανανεώσει την επιθυμία του για ζωή. Όταν πέθανε, στην διαθήκη του κληροδοτούσε ένα μεγάλο τμήμα της περιουσίας του ως βραβείο για όποιο αποδείκνυε το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat. Η αμοιβή έφτανε τα 100.000 μάρκα θέλοντας να ξεπληρώσει το χρέος του προς το αίνιγμα που του είχε σώσει την ζωή.

«Τα μαθηματικά δεν είναι προσεκτική πορεία σε περιποιημένο αυτοκινητόδρομο, αλλά ταξίδι σε παράξενη ερημιά, όπου συχνά οι εξερευνητές χάνονται. Η αυστηρότητα οφείλει να αποτελεί σημάδι για τον ιστορικό ότι οι χάρτες έγιναν και οι πραγματικοί εξερευνητές πήγαν κάπου αλλού.» (Ου. Σ. Άνγκλιν)

Η εικασία Taniyama Όλες οι απόπειρες κατέληξαν σε αποτυχία. Κάποιοι είχαν αρχίσει να υποπτεύονται ότι το πρόβλημα θα μπορούσε να είναι έως και αδύνατο. Ίσως ο Fermat είχε εξαπατηθεί και ο λόγος για τον οποίο κανείς δεν είχε ανακαλύψει εκ νέου την απόδειξη ήταν ότι δεν υπήρχε.

Ο Andrew Wiles δεν ήταν έτοιμος να τα παρατήσει

Το αποφασιστικό σημείο στην ιστορία μας εμφανίστηκε το 1985 όταν ο δρ Το αποφασιστικό σημείο στην ιστορία μας εμφανίστηκε το 1985 όταν ο δρ.Gerhand Frey του πανεπιστημίου της Σάαρλαντ της Γερμανίας, ισχυρίστηκε ότι: To Τελευταίο Θεώρημα του Fermat θα προέκυπτε αυτομάτως αν αλήθευε η εικασία Tanigama-Simura, μια πρόταση που διατυπώθηκε το 1955 και αναφέρεται σε ελλειπτικές καμπύλες. Για την κατανόηση της γενικής ιδέας της παραπάνω εικασίας θεωρούμε μια ειδική περίπτωση.

Ξεκινώντας από την εξίσωση του Πυθαγόρα Το σημείο με συντεταγμένες και θα βρίσκεται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο ,με εξίσωση Η εύρεση της λύσης ανάγεται στην εύρεση γωνίας Α ώστε κι αυτό προκύπτει από την βασική τριγωνομετρική εξίσωση :

Η εικασία των Tanigama-Simura δηλώνει ότι η ίδια τακτική μπορεί να ακολουθηθεί και αν ο κύκλος αντικατασταθεί από μια ελλειπτική καμπύλη, αλλά με χρήση πιο εκλεπτυσμένων συναρτήσεων των ονομαζόμενων «modular» συναρτήσεων. Ειδικότερα δηλώνει ότι: «Kάθε ελλειπτική καμπύλη είναι δυνατόν να παραμετρικοποιηθεί μέσω κατάλληλων modular συναρτήσεων.»

Το φθινόπωρο του 1984, μια επίλεκτη ομάδα μελετητών της θεωρίας αριθμών συγκεντρώθηκε στο Οberwolfach, μια μικρή πόλη στη καρδία του Μέλανα Δρυμού της Γερμανίας, με σκοπό την ανταλλαγή απόψεων για τις ελλειπτικές εξισώσεις. Ένας από τους ομιλητές, ο δρ.Gerhand Frey εισάγοντας μια καμπύλη, γνωστή πλέον με το όνομά του , κάνει ένα σημαντικό βήμα. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια μη τετριμμένη λύση της εξίσωσης Δηλ. a, b, c είναι άγνωστοι, μη μηδενικοί θετικοί ακέραιοι που ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση του Fermat, για κάποιο n≥3. Επίσης θεωρούμε ότι οι a, b, c είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Τώρα θεωρούμε την συγκεκριμένη (αλλά άγνωστη και πιθανώς και ανύπαρκτη) ελλειπτική καμπύλη με εξίσωση. Είναι η ελλειπτική καμπύλη του Frey, και υπάρχει αν και μόνο αν το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat δεν αληθεύει. Έτσι αρκεί να δείξουμε ότι αυτή η καμπύλη δεν μπορεί να υπάρξει. Ο τρόπος για να επιτύχουμε το σκοπό μας είναι να υποθέσουμε αρχικά ότι υπάρχει και στη συνέχεια να καταλήξουμε σε κάποιο αντιφατικό συμπέρασμα.

Ελλειπτική Καμπύλη του Frey Ο Frey είχε την ιδέα ότι ,αν η καμπύλη του υπήρχε θα ήταν πραγματικά πολύ παράξενη και δεν θα μπορούσε να ήταν modular . Το 1986 ο Kenneth Ribet επαλήθευσε την ιδέα του Frey, αποδεικνύοντας πως αν η εικασία Tanigama είναι αληθής, τότε η ελλειπτική καμπύλη του Frey δεν είναι δυνατόν να παραμετρικοποιηθεί μέσω modular συναρτήσεων. Αν λοιπόν η εικασία των Tanigama αληθεύει ,τότε ως απόρροια αληθεύει και το θεώρημα του Fermat.

Η εικασία των Tanigama-Simura Η εικασία των Tanigama-Simura είναι βαθύτερη και ενδεχομένως πιο σημαντική από το ίδιο το θεώρημα του Fermat. Ο Μπάρι Μαζούρ, καθηγητής του Harvard, αναφέρει: «Ήταν μια υπέροχη εικασία πολύ προωθημένη για την εποχή που προτάθηκε . Η εικασία των Tanigama-Simura αποτελεί την υπόθεση ότι υπάρχει μια γέφυρα που συνδέει δύο εντελώς διαφορετικούς κόσμους, τον ελλειπτικό κόσμο από την μια και τον κόσμο των modular από την άλλη και οι μαθηματικοί λατρεύουν τις γέφυρες». Αν η εικασία των Tanigama-Simura ήταν αληθής θα έδινε στους μαθηματικούς τη δυνατότητα να αντιμετωπίσουν ελλειπτικά προβλήματα που παρέμεναν άλυτα για αιώνες.

Ο ερημίτης της σοφίτας Πάνω από δύο δεκαετίες πέρασαν από τότε που Andrew Wiles είχε ανακαλύψει εκείνο το βιβλίο που τον είχε εμπνεύσει να ασχοληθεί με την πρόκληση του Fermat. Ένα βράδυ στα τέλη του καλοκαιριού του 1986 ,ένας φίλος του ,του αναφέρει ότι ο Kenneth Ribet είχε αποδείξει την σύνδεση της εικασίας Tanigama-Simura με το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat. Tώρα ήξερε ότι το παιδικό του όνειρο θα γινόταν πραγματικότητα.

Τελειώνοντας την διδακτορική του διατριβή στο Cambridge,μετακομίζει στην άλλη άκρη του Ατλαντικού ,στο πανεπιστήμιο του Princeton, όπου γίνεται και ο ίδιος καθηγητής. Χάρη στην καθοδήγηση του καθηγητή Τζων Κόουτς, ο Wiles γνώριζε για τις ελλειπτικές εξισώσεις περισσότερα από οποιονδήποτε άλλον στον κόσμο.

Θα έπρεπε να αποδείξει την εικασία Tanigama . Αποφασίζει να εργαστεί σε πλήρη απομόνωση και μυστικότητα, χωρίς να πηγαίνει σε συνέδρια και χωρίς να δημοσιεύει τις ανακαλύψεις του. Ο Kenneth Ribet αναφέρει ότι είναι πρωτοφανές στη μαθηματική κοινότητα, που κάποιος εργάστηκε για τόσο μεγάλο χρονικό διάστημα χωρίς να αποκαλύψει τι έκανε ,χωρίς να μιλήσει για την πρόοδο που σημείωνε. Το μόνο πρόσωπο που γνώριζε το μυστικό του ήταν η γυναίκα του, Νάντα.

Μονομαχώντας με το άπειρο « Κάθε ελλειπτική εξίσωση μπορεί να συσχετισθεί με μια μορφή modular» Ο Wiles κουβαλούσε αυτή τη σκέψη διαρκώς. Πως μπορούσε όμως να συσχετίσει δύο απειροσύνολα ; Η πρόκληση ήταν να κατασκευάσει ένα επαγωγικό επιχείρημα που θα έδειχνε ότι κάθε μια από τις άπειρες ελλειπτικές εξισώσεις θα μπορούσε να αντιστοιχισθεί σε κάθε μια από τις άπειρες μορφές modular . Το πρώτο βήμα για τη επαγωγική αυτή απόδειξη το βρίσκει στο έργο μιας τραγικής ιδιοφυΐας του 19ου αιώνα του Galois .

Χάρη στον Galois και τη δύναμη της θεωρίας ομάδων που διατύπωσε καταφέρνει μετά από δύο χρόνια εντατικής μελέτης να στήσει τις άπειρες απείρου μήκους σειρές από ντόμινο και είχε επίσης καταφέρει να ρίξει κάτω το πρώτο ντόμινο. Η πρόκληση τώρα ήταν να συμπαρασύρει το επόμενο. Με άλλα λόγια , έπρεπε να δείξει ότι αν ένα στοιχείο της Ε-σειράς ταίριαζε με το αντίστοιχο στοιχείο της Μ-σειράς τότε για όλα τα ζευγάρια των ελλειπτικών εξισώσεων και τα επόμενα στοιχεία πρέπει να ταιριάζουν.

Το καλοκαίρι του 1991 ,μετά από πέντε χρόνια πραγματικής απομόνωσης αποφασίζει να ξαναγυρίσει στο κόσμο .Παρακολουθεί ένα συνέδριο μαθηματικών στη Βοστόνη και μια απροσδόκητη συνάντηση με τον πρώην καθηγητή του Τζων Κόουτς τον βοηθά ιδιαίτερα. Toυ αναφέρει ότι ένας μεταπτυχιακός φοιτητής του ονόματι Matheus Flach συνέγραψε μια υπέροχη μελέτη για τις ελλειπτικές καμπύλες, στηριζόμενος στην μέθοδο Kolyvagin, έμοιαζε να ήταν ότι χρειαζόταν. Συνεχίζει την εντατική μελέτη, περισσότερο αισιόδοξος από ποτέ.

Τον Ιανουάριο του 1993 αποφασίζει να μοιραστεί το μυστικό του με τον φίλο και συνάδελφό του Nick Kanz ,τον οποίο θεωρούσε ως το πιο κατάλληλο πρόσωπο για να τον βοηθήσει. Αποφασίζουν να οργανώσουν μια σειρά διαλέξεων σε μεταπτυχιακούς φοιτητές του τμήματος με τίτλο: « Υπολογισμοί σε ελλειπτικές καμπύλες» Οι διαλέξεις θα κάλυπταν το μέρος της απόδειξης που χρειαζόταν έλεγχο, οι φοιτητές βέβαια δεν θα είχαν ιδέα γιαυτό και ο Wiles θα είχε την ευκαιρία να ελέγχει βήμα προς βήμα, την απόδειξη του. Μετά από λίγες βδομάδες , ο ένας μετά τον άλλο οι φοιτητές αποχωρούσαν, και ο καθηγητής Kanz ήταν ο μόνος ακροατής ο οποίος μετά την λήξη του κύκλου των διαλέξεων συμφώνησε ότι η μέθοδος Kolyvagin - Flach έμοιαζε να λειτουργεί τέλεια. Μόνο μια ομάδα ελλειπτικών εξισώσεων αρνιόταν να υποκύψει.

Ύστερα από επτά χρόνια μοναχικής προσπάθειας είχε συμπληρώσει μια απόδειξη της εικασίας Tanigama-Simura και κατά συνέπεια , ύστερα από τριάντα χρόνια ονειροπόλησης ,είχε αποδείξει το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat. Τον Ιούνιο του 1993 ένα συνέδριο που γινόταν στο Cambridge,που είναι και η γενέτειρά του , τον κάνει να αποφασίσει να ανακοινώσει την απόδειξή του ,αν και χρειαζόταν ,όπως αναφέρει ο ίδιος ,λίγο χρόνο ακόμη για να την ελέγξει.

H διάλεξη του αιώνα «Στις 23 Ιουνίου, στο Ινστιτούτο Ισαάκ Νεύτων, ο Andrew Wiles άρχισε την τρίτη και τελευταία του διάλεξη, αφηγείται ο Τζων Κόουτς. «Το αξιοσημείωτο ήταν ότι όλοι όσοι είχαν πρακτικά συνεισφέρει στις ιδέες που βρίσκονταν πίσω από την απόδειξη, ήταν εκέι. Ο Μazur, ο Ribet, ο Kolyvagin και πολλοί, πολλοί άλλοι».

Η ατμόσφαιρα ήταν πολύ φορτισμένη ,όλη η μαθηματική κοινότητα του Cambridge ήταν εκεί και περίμεναν με κομμένη την ανάσα . «Δεν έχω δει ποτέ τόσο έξοχη διάλεξη ,γεμάτη τόσο όμορφες ιδέες, με τέτοια δραματική ένταση και τόση κλιμάκωση .Υπήρχε μόνο ένας τρόπος να κλείσει αυτή η ιστορία » αναφέρει ο Bary Μazur. Tα μαθηματικά για πρώτη φορά γίνονται πρωτοσέλιδο σε όλες τις εφημερίδες του κόσμου και ο Andrew Wiles είναι ο πιο διάσημος μαθηματικός. Αμέσως μετά την διάλεξη υποβάλλει το χειρόγραφό του στο Περιοδικό Inventiones Mathematicae και μια διαδικασία μηνών για έλεγχο της ορθότητας της 200 σελίδων απόδειξης.

Η ανακάλυψη του λάθους σοκάρει περισσότερο και από την ίδια την ανακοίνωση της απόδειξης. Μ΄ αυτήν ξεκίνησε μια ιλιγγιώδης περιπέτεια, καθόλου εύκολη, που στο αίσιο τέλος της απόδειξε ότι ο Wiles δεν είναι μόνο μια κορυφαία μαθηματική διάνοια, αλλά ότι έχει και γερά νεύρα. Αυτή τη φορά δεν υπήρχαν αμφιβολίες. Στις 27 Ιουνίου 1997 εισπράττει το βραβείο Wolkskehl αξίας 50.000 δολαρίων. Το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat είχε επισήμως λυθεί. Ο Wiles επιτέλους νοιώθει ελεύθερος και σίγουρος ότι κανένα άλλο πρόβλημα στα μαθηματικά δεν θα τον καθηλώσει όπως το τελευταίο Θεώρημα. Με τη λύση αυτή ο Wiles συμβάλλει τα μέγιστα σε μια ενοποίηση των μαθηματικών, ικανή να ανοίξει άγνωστους ως τώρα δρόμους στην Επιστήμη .

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ: Διέθετε άραγε ο Fermat μια απόδειξη του θεωρήματός του; Είναι εντελώς απίθανο να είχε κατά νου κάτι παρόμοιο με την απόδειξη που μας παρέδωσε ο Wiles, αφού πολλές μαθηματικές έννοιες μεγάλης σπουδαιότητας-όπως οι ελλειπτικές καμπύλες και οι «modular» συναρτήσεις-ήταν άγνωστες τον 17ο αιώνα. Δύο είναι τα πιθανά ενδεχόμενα. Είτε ο Fermat είχε κάνει λάθος,νομίζοντας πως διέθετε την λύση, ή η ιδέα του ήταν σίγουρα πολύ διαφορετική.

Η απόδειξη που επινόησε ο καθηγητής Andrew Wiles είναι ένα αριστούργημα των σύγχρονων μαθηματικών, ένα καταπληκτικό βήμα στη θεωρία αριθμών. Κι εδώ είναι που εντοπίζεται η προσφορά του καθηγητή Wiles .Πέτυχε να δημιουργήσει τις γέφυρες ανάμεσα σε μαθηματικούς που εργαζόμενοι σε φαινομενικά εντελώς άσχετα μεταξύ τους πεδία στην ουσία εργάζονταν χωρίς και οι ίδιοι να το γνωρίζουν για τη λύση του.

«Παρόλο που το ίδιο το θεώρημα δε μας οδηγεί σε αξιόλογα μαθηματικά συμπεράσματα, η αναζήτηση μιας απόδειξής του στη διάρκεια των 350 χρόνων έχει συνεισφέρει στην ανάπτυξη μαθηματικών γνώσεων μεγάλης σπουδαιότητας».

ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ... Λεμεσός 2006