Οι 32 κρυσταλλικές τάξεις Ταξινόμηση των κρυστάλλων σαν στερεά σχήματα και οι συμμετρίες τους Ηλίας Χατζηθεοδωρίδης Νοέμβριος 2004

Πως προκύπτουν τα 7 κρυσταλλογραφικά συστήματα Προκύπτουν από: Το εξωτερικό σχήμα των κρυστάλλων που ορίζεται από: Ακμές Έδρες Κορυφές Βασιστήκαμε σε σύστημα συντεταγμένων, δηλαδή τους κρυσταλλογραφικούς άξονες a-b-c, και στους συνδυασμούς που προκύπτουν από: Τις γωνίες μεταξύ των αξόνων Το σχετικό μέγεθος των μοναδιαίων διανυσμάτων που επιλέγουμε για τον κάθε άξονα Τα παραπάνω βασίζονται στο νόμο των παραμέτρων Οι συνδυασμοί που προκύπτουν είναι μόνο επτά, δηλαδή τα 7 κρυσταλλογραφικά συστήματα.

Εφαρμόζοντας και τα στοιχεία συμμετρίας … Άξονες (1ης), 2ης, 3ης, 4ης, 6ης τάξης κανονικοί 2ης, 3ης, 4ης, 6ης τάξης πολικοί Στροφοαναστροφής Στροφοκατοπτρικοί Επίπεδα Κύρια (κάθετα προς τους κύριους άξονες) Δευτερεύοντα (παράλληλα προς τους κύριους άξονες) Κέντρο συμμετρίας, Ζ

… και συνδυάζοντας προκύπτουν οι 32 κρυσταλλικές τάξεις Υπάρχουν μόνο 32 κρυσταλλικές τάξεις: αυτό έχει αποδειχθεί μαθηματικά και γεωμετρικά Όλοι οι άλλοι πιθανοί συνδυασμοί είναι επαναλήψεις μιας από τις 32 κρυσταλλικές τάξεις Έχουν προκύψει γεωμετρικές προτάσεις που αποκλείουν τις επαναλήψεις (μερικά παραδείγματα ακολουθούν)

Γεωμετρική πρόταση 1 Όταν ένα σχήμα έχει έναν μόνο άξονα συμμετρίας (cn), κάθε επίπεδο συμμετρίας θα είναι κάθετο σε αυτόν ή θα διέρχεται από αυτόν (παράλληλο) C4 C3 Cn

Γεωμετρική πρόταση 2 Όταν ένα σχήμα έχει έναν μόνο κύριο άξονα συμμετρίας (cn) και έναν άξονα δεύτερης τάξης (c2), τότε ο κύριος άξονας πρέπει να είναι οπωσδήποτε κάθετος στον δεύτερης τάξης. Παράδειγμα 2ης τάξης Cn C2 C2

Άλλες γεωμετρικές προτάσεις Όταν υπάρχει άξονας άρτιας τάξης cn (n=2,4,6) και επίπεδο m κάθετο σε αυτόν, πρέπει να υπάρχει και κέντρο συμμετρίας Ζ. Τα στοιχεία cn, m και Z ανά δύο λαμβανόμενα απαιτούν την ύπαρξη του τρίτου. Όταν υπάρχει άξονας περιττής τάξης cn (n=3) και επίπεδο m κάθετο σε αυτόν, δεν μπορεί να υπάρχει κέντρο συμμετρίας Ζ. Όταν υπάρχει άξονας cn και ένα επίπεδο που διέρχεται από αυτόν, τότε οπωσδήποτε υπάρχουν n επίπεδα που διέρχονται από τον άξονα. Για τους υπόλοιπους κανόνες, συμβουλευτείτε τις σημειώσεις σας

Σύμβολα των 32 συμμετρικών κρυσταλλικών τάξεων Δύο είδη συμβόλων χρησιμοποιούνται: Του Schönflies: χημεία και ορυκτολογία Των Hermann-Mauguin: κρυσταλλογραφία Στους πίνακες μπορεί να δίνονται και περιγραφικά τα στοιχεία συμμετρίας (περιέχονται στις σημειώσεις σας) Επίσης μπορεί να δίνονται και γενικές μορφές της στερεογραφικής προβολής του Wulf. Ακόμη κάποια σχήματα κρυστάλλων αντιπροσωπευτικά, ωστόσο μπορεί να διαφέρουν εξωτερικά από τους υπό μελέτη κρυστάλλους.

Παραδείγματα γενικών μορφών προβολών Wulf Τρεις άξονες δεύτερης τάξης Καμία συμμετρία (άξονας 1ης) + + C2 Το δίκτυο Wulf χωρίς κανένα Στοιχείο συμμετρίας + Σημείο στο επάνω ημισφαίριο + Ζ Κέντρο συμμετρίας Σημείο στο κάτω ημισφαίριο Άξονας συμμετρίας Επίπεδο συμμετρίας Σύμβολα άξονα 2ης τάξης

Σύμβολα Schönflies Άξονες συμμετρίας: c1, c2, c3, c4, c6 Δίεδρες ομάδες: D2, D3, D4, D6 (όταν στους cn υπάρχουν κάθετοι άξονες δεύτερης τάξης) Επίπεδα κάθετα σε άξονες συμμετρίας: c2h, c3h, c4h, c6h Επίπεδα παράλληλα (περιέχουν) σε άξονες συμμετρίας: c2v, c3v, c4v, c6v Αντίστοιχα για δίεδρες ομάδες: D2h, D3h, D4h, D6h και για διαγώνια επίπεδα (διχοτόμηση των γωνιών των αξόνων) έχουμε τα D2d, D3d Η τετραεδρική ομάδα Τ προκύπτει όταν οι τρεις άξονες της D2 γίνουν όμοιοι. Τετραεδρική ομάδα Τ

Σύμβολα Schönflies (Συνέχεια…) Όταν αντικαταστήσουμε τους άξονες της 2ης τάξης της ομάδας Τ με 4ης τάξης, προκύπτει η ομάδα Ο, δηλαδή η οκταεδρική ομάδα. Οι τάξεις Τ και Ο έχουν μόνο άξονες συμμετρίας, αλλά εάν προσθέσουμε και επίπεδα συμμετρίας προκύπτουν οι: Τd, Τh, και Οh. Η τάξη s4 περιέχει έναν άξονα 4ης στροφοκατοπτρικό Η ci έχει κέντρο στροφοαναστροφής Η cs έχει μόνο ένα επίπεδο συμμετρίας Η c3i έχει άξονα 6ης τάξης στροφοκατοπτρικό (ισοδύναμος με άξονα 3ης και κέντρο στροφοαναστροφής)

Σύμβολα Hermann-Mauguin Οι άξονες συμβολίζονται με αριθμούς: 1, 2, 3, 4, 6 Οι άξονες 2, 3, 4, 6 είναι στροφοκατοπτρικοί Το σύμβολο m σημαίνει επίπεδο συμμετρίας, και εάν είναι κάθετο σε άξονα συμβολίζεται π.χ. με 2/m (είναι το ίδιο με c2h κατά Schönflies). Τα σύμβολα γράφονται σε τριάδες και αντιστοιχούν στους τρεις άξονες συντεταγμένων, π.χ. mm2, 222, mmm κτλ. Συντμήσεις έχουν γίνει μετά από διεθνές συνέδριο για απλούστευση των συμβολισμών. _ _ _ _

Παράδειγμα ονοματολογίας κατά Hermann-Mauguin Τα σύμβολα P, I, C προκύπτουν από τα πλέγματα Bravais που θα δούμε παρακάτω.

Ολοεδρίες και μεροεδρίες Οι τάξεις του ίδιου κρυσταλλογραφικού συστήματος με το μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων συμμετρίας ονομάζονται ολοεδρίες. Έχουν δηλαδή την μεγαλύτερη δυνατή συμμετρία για το σύστημα στο οποίο κρυσταλλώνονται. Οι υπόλοιπες τάξεις που έχουν λιγότερα στοιχεία συμμετρίας, και κατ’ επέκταση μικρότερη συμμετρία, ονομάζονται μεροεδρίες. Μεροεδρίες που καταλήγουν στον μισό αριθμό εδρών από την ολοεδρία λέγονται ημιεδρίες, στο ένα τέταρτο των εδρών λέγονται τεταρτοεδρία κτλ. Όταν έχουμε μείωση συμμετρίας και παρουσία πολικού άξονα, τότε μιλάμε για ημιμορφίες.

Παράδειγμα: τάξεις του μονοκλινούς Το μονοκλινές διαθέτει τρεις τάξεις: Του σφηνοειδούς (c2 ή 2) Του δώματος (cs ή m) Πρισματική τάξη (c2h ή 2/m) - Ολοεδρία + Ζ c2 Πρίσμα Μονοκλινής ολοεδρία + C2 Τάξη του σφηνοειδούς + m Τάξη του δώματος m

Τριγωνική αμφιπυραμίδα, τριγωνική τεταρτοεδρία 1 1 Κύριο Επίπεδο Συμμετρίας + + + + Πυραμίδα Νο 1 Νο 2 Αμφι-πυραμίδα - Άξονας 3ης - Οριζόντιο επίπεδο (κάθετο στον άξονα) Schönflies: C3h Hermann-Mauguin: 6 - Άξονας 6ης στροφοκατοπτρικός

Εξήγηση του άξονα 6ης στροφοκατοπτρικού (6) 3 2 1 4 5 Δηλαδή, για να κατασκευάσουμε τον κρύσταλλο αρκεί να γνωρίζουμε μόνο την μία έδρα του και να επαναλάβουμε 6 φορές περιστροφή κατά 120° κάθε φορά (στροφο-) και κατοπτρισμό ως προς επίπεδο κάθετο προς τον άξονα (-κατοπτρισμός) που εννοείται ότι υπάρχει. Ακολουθώντας τα βήματα (αριθμοί) του σχήματος βλέπουμε πως μπορεί να γίνει αυτό.

Κρυσταλλική δομή: Ο κρύσταλλος σαν ασυνέχεια Οι κρύσταλλοι δεν είναι συνεχή γεωμετρικά σώματα αλλά ασυνεχή, αποτελούμενα από άτομα περιοδικά τοποθετημένα στον χώρο Στην γεωμετρία του χωροπλέγματος βλέπουμε τους κρυστάλλους αποτελούμενους από άτομα. Χωρόπλεγμα είναι ένα τρισδιάστατο πλέγμα σημείων που δημιουργείτε από συγκεκριμένους γεωμετρικούς κανόνες. Στα σημεία τοποθετούμε άτομα. Τα χωροπλέγματα αυτά λέγονται και πλέγματα Bravais, και αποτελούν μόνο 14 μοναδιαίους συνδιασμούς

Χωροπλέγματα γεμισμένα με άτομα Χωρόπλεγμα Χωροπλέγματα γεμισμένα με άτομα Χωρόπλεγμα σημείων X Y Z X Y Z a0 b0 c0 X Y Z a0 b0 c0

Τα 14 πλέγματα Bravais Στο κάθε κρυσταλλογραφικό σύστημα έχουμε τα εξής πλέγματα: Κυβικά : Pm3m, Im3m, Fm3m Εξαγωνικά : P6/mmm, P3m Τετραγωνικά : P4/mmm, I4/mmm Ορθορομβικά : Pmmm, Immm, Cmmm, Fmmm Μονοκλινή : P2/m, C2/m Τρικλινές : P1 _ _

Κυβικά πλέγματα Bravais Im3m Fm3m π.χ. Διαμάντι Pm3m π.χ. Αλίτης (το ορυκτό αλάτι)

Πλέγματα που προκύπτουν από ελίκωση αξόνων ή μεταφορά Εκτός από τα στοιχεία συμμετρίας που μάθαμε, μπορούμε να δημιουργήσουμε τα πλέγματα Bravais και με άξονες ελίκωσης και με μεταφορά στον άξονα. Διακρίνουμε δεξιόστροφους και αριστερόστροφους άξονες ελίκωσης. Όμοια, έχουμε και τα κατοπτρικά επίπεδα ολίσθησης. Το σημείο κατοπτρίζεται ως προς το επίπεδο και ολισθαίνει κατά συγκεκριμένη απόσταση κατ’ επανάληψη. Τα παραπάνω αντιμετωπίζονται σαν επιπλέον είδη συμμετρίας, εφαρμόζονται όμως εάν βλέπουμε τους κρυστάλλους σαν ασυνεχή σώματα, δηλαδή σαν πλέγματα με περιοδικά τοποθετημένους κρυστάλλους στα σημεία του πλέγματος.

Οι 230 χωροομάδες Μάθαμε ήδη πως δημιουργούνται οι 32 τάξεις χωροπλεγμάτων. Είπαμε ότι μπορούμε να δούμε στους κρυστάλλους και επιπλέον συμμετρίες, δηλαδή άξονες ελίκωσης και επίπεδα ολίσθησης. Ο συνδυασμός των παραπάνω οδηγεί στην κατασκευή 230 μοναδιαίων χωροομάδων, δηλαδή πλεγματικών ομάδων στο χώρο. Λίγες μόνο από αυτές τις χωροομάδες περιλαμβάνουν τα περισσότερα ορυκτά της φύσης.