Stærðfræði – stærðfræðinemandinn 1. misseri – haustönn 2004 - VIII Regla Pýþagórasar Nokkur dæmi úr kafla 4.2. Enn um gullinsnið Nokkur dæmi úr kafla 4.3. Meyvant Þórólfsson September 2004 8/27/2019 MÞ - sept-2004

Sönnun Bhaskara – frá öðru sjónarhorni Allir bláu þríhyrningarnir eru eins. Samanlagt flatarmál þeirra er 4(1/2)ab Flatarmál gula ferningsins er (b-a)2 Flatarmál stóra ferningsins er c2 . Flatarmál stóra er líka = 4(1/2)ab + (b-a)2 = 2ab + b2 - 2ab + a2 8/27/2019

Enn önnur sönnun með sömu þríhyrningum Nú röðum við sömu fjórum þríhyrningum þannig að þeir myndi hliðina (a+b) og opið (ferninginn) inn á milli sem hefur hliðina c. Nú getum við reiknað flatarmál stóra ferningsins þannig:  (a + b)2 = 4·ab/2 + c2 sem gefur okkur reglu Pýþagórasar: (a + b)(a + b) = 2ab + c2 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 a2 + b2 = c2 8/27/2019

Gullinsnið Línustrik: Hlutfallið (a+b)/a = a/b Rétthyrningur: Hægt er að leiða út jöfnu sem lýsir þessu hlutfalli, þ.e. x/1 = 1/(x-1) sem gefur x2 – x – 1 = 0 8/27/2019

Gullinsnið innbyggt í gullinsnið Ef gullinn rétthyrningur (golden rectangle) er klofinn í tvo parta þannig að annar verði ferningur. Þá verður hinn parturinn einnig gullinn rétthyrningur, aðeins minni. Sönnun sýnd á bls. 240 (sjá mynd): Látum ad = 1 og ae = . Við viljum sýna fram á að rétthyrningurinn befc hafi gullinsnið. Sjáum að ef = ad =1 og be = ae – ab. En ae =  og ab = 1. Þá er be = φ – 1. Við höfum því hlutfallið ef/be = 1/(φ – 1). En eins og áður hefur verið sýnt, þá er /1 = 1/(φ – 1) og þá er ef/be = , þ.e. litli ferningurinn hefur gullinsnið. 8/27/2019

Meira um gullinsnið Teikning með sirkli (hringfara) sjá bls. 240-241 Vefjur í náttúrunni sem innihalda gullinsnið bls. 243-244 Til fróðleiks, fyrstu stafirnir í : 1, 6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 ... 8/27/2019

Gullna hlutfallið - Gullinsnið Hlutfall tveggja samliggjandi Fibonacci-talna stefnir á óræða tölu sem nefnist gullinsnið. Þetta er talan (1 + √5)/2 ≈ 1,618 8/27/2019