Prof. dr. sc. Pavao Marović 1. Uvod 1. Uvod Prof. dr. sc. Pavao Marović Otpornost materijala I Šk. god. 2008/2009 Otpornost materijala I

Prof.dr.sc. Pavao Marović, dipl.ing.građ. Nastavnici Prof.dr.sc. Pavao Marović, dipl.ing.građ. Doc.dr.sc. Mirela Galić, dipl.ing.građ. Marko Bertolino, dipl.ing.građ. Otpornost materijala I Opći uvod

(vidi posebni list s pravilima i obavijestima) Opće uvodne napomene (vidi posebni list s pravilima i obavijestima) Otpornost materijala I Opći uvod

Sadržaj predmeta: Uvod Analiza naprezanja Analiza deformacija Deformabilne karakteristike čvrstih tijela Linijske konstrukcije – Djelovanje uzdužne sile Posmik – Djelovanje poprečne sile (Odrez) Torzija (uvrtanje) Savijanje ravnih štapova Otpornost materijala I Opći uvod

Literatura: [1] V. Šimić, Otpornost materijala I, Školska knjiga, Zagreb, 1. izdanje – 1992., 2. izdanje – 2001., 3. izdanje – 2007. [2] S.P. Timošenko, Otpornost materijala I, Građevinska knjiga, Beograd, 1964. [3] I. Alfirević, Nauka o čvrstoći, Tehnička knjiga, Zagreb, 1989. [4] D. Bazjanac, Nauka o čvrstoći, Tehnička knjiga, Zagreb, 1973. [5] Z. Kostrenčić, Teorija elastičnosti, Školska knjiga, Zagreb, 1982. [1] Z. Kostrenčić, Zbirka riješenih zadataka iz Otpornosti materijala, Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 1971. [2] P. Marović, Zbirka riješenih zadataka iz Otpornosti materijala I, Građevinski fakultet Sveučilišta u Splitu, Split, xxxx Otpornost materijala I Opći uvod

1. UVOD ♦ OM – Definicija i praktična svrha: Definicija: Otpornost materijala je skup analitičkih metoda za analiziranje mehaničkog ponašanja čvrstih tijela uslijed djelovanja raznih utjecaja.  promjena stanja naprezanja i deformacija ili: Otpornost materijala je znanost o čvrstoći i krutosti elemenata inženjerskih konstrukcija. čvrstoća: najveće naprezanje kod kojeg dolazi do razaranja materijala krutost: otpor materijala prema deformacijama (promjene oblika i volumena) Otpornost materijala I 1. Uvod

“znanost o otpornosti materijala” G. Galilei (1638) → → S.P. Timošenko (~1920) “znanost o otpornosti materijala” Praktična svrha: Određivanje naprezanja i deformacija u bilo kojoj točki konstrukcije koji nastaju uslijed djelovanja raznih utjecaja, radi dimenzioniranja elemenata konstrukcije. → sigurnost i ekonomičnost Razni utjecaji: statički - dinamički Otpornost materijala I 1. Uvod

1. Uvod 1. Uvod ♦ Osnovna ideja: Tijela nisu apsolutno kruta; tijela su deformabilna tj. udaljenost između pojedinih točaka tijela se mijenja pod djelovanjem raznih utjecaja, ali uvijek ovisno o fizikalnim karakteristikama materijala. F POMAK (dA) je promjena položaja jedne točke u prostoru (A u A1) DEFORMACIJA (DL) je promjena udaljenosti između dviju točaka (dužina AB u dužinu A1B) L0 d0 A B L1 ΔL=L0-L1 A1 B d1 Otpornost materijala I 1. Uvod

Osnovne pretpostavke u Otpornosti materijala Pretpostavka o neprekinutosti materijala Materijal ispunjava cijeli oblik tijela → ako je tijelo u ravnoteži, onda je i svaki njegov dio u ravnoteži → možemo koristiti Metodu presjeka Pretpostavka o elastičnom ponašanju materijala po uklanjanju vanjskih uzroka, materijal se vraća u prvobitno stanje/položaj – uzima se da je veza između elastičnih deformacija čvrstog tijela i utjecaja koji uzrokuju te deformacije LINEARNA elastičnost – elastična def. – granica elastičnosti Otpornost materijala I 1. Uvod

3. Materijal je homogen i izotropan HOMOGEN – materijal ima jednaka svojstva u svim točkama tijela u suprotnom je materijal NEHOMOGEN IZOTROPAN – materijal ima ista svojstva u svim smjerovima u suprotnom je materijal ANIZOTROPAN Ortotropan – ima jednaka, ali različita, svojstva u dva međusobno okomita smjera 4. Pretpostavka o malim deformacijama Deformacije su relativno male u odnosu na dimenzije tijela → jednadžbe ravnoteže postavljaju se na “kruto” – nedeformirano tijelo Otpornost materijala I 1. Uvod

Tipovi problema Linijski – štapni Ravninski Prostorni F F F1 F2 Fn Otpornost materijala I 1. Uvod

Uzroci promjena stanja naprezanja i deformacija Zapreminski uzroci Gravitacijske sile (vlastita težina) Inercijalne sile Promjena temperature Skupljanje Površinski uzroci Koncentrirane sile Kontinuirane sile VANJSKE SILE Otpornost materijala I 1. Uvod

Pojam unutarnjih sila Unutarnje sile se javljaju između pojedinih dijelova tijela na zamišljenim prerezima čvrstog tijela u napregnutom stanju. F1 F2 Fi Fn Vanjske sile su u ravnoteži. I II Otpornost materijala I 1. Uvod

x y z n Ty Nx Tz Mx My Mz unutarnje sile se reduciraju u težište poprečnog presjeka R – glavni vektor sila M – glavni moment R M F1 Fn I Unutarnje sile Način određivanja Nx - uzdužna sila Sx=0 Ty - poprečna sila Sy=0 Tz - poprečna sila Sz=0 Mx - moment torzije SM(x)=0 My - moment savijanja SM(y)=0 Mz - moment savijanja SM(z)=0 6 uvjeta ravno-teže Otpornost materijala I 1. Uvod

Pojam naprezanja ravnoteža vanjskih sila x y z n ravnoteža vanjskih sila isječeni dio tijela je u ravnoteži zbog unutarnjih sila F1 Fn I II u v w M sn x-y-z globalni koordinatni sustav u-v-w lokalni koordinatni sustav Koordinatnu os v postavljamo u smjeru normale n Otpornost materijala I 1. Uvod

Naprezanje možemo shvatiti kao da je to srednja vrijednost sile na nekoj površini Ako je vektor totalnog ili punog naprezanja Komponente vektora totalnog naprezanja: prvi indeks – smjer normale drugi indeks – smjer komponente Dimenzije: Otpornost materijala I 1. Uvod

Ostale teorije i metode Imaju isti cilj kao i Otpornost materijala - Teorija elastičnosti Teorija plastičnosti (razni specifični modeli materijala) Analitičke metode – Numeričke metode (MKD, MKE, RI, itd.) Analiza naprezanja i deformacija: Dimenzioniranje < = > Projektiranje Otpornost materijala I 1. Uvod

Metode – postupci dimenzioniranja Klasična metoda – koeficijent sigurnosti (dopuštena naprezanja) - preko kritičnog naprezanja - preko kritičnog opterećenja Otpornost materijala I 1. Uvod

Metode – postupci dimenzioniranja 2. Metoda loma – metoda graničnih stanja 3. Numeričke metode Otpornost materijala I 1. Uvod

2. ANALIZA NAPREZANJA 2.1 - Komponente naprezanja 1. Uvod 1. Uvod 2. ANALIZA NAPREZANJA 2.1 - Komponente naprezanja x y z n T x-y-z globalni k. sustav u-v-w lokalni k. sustav F1 Fn I II M sn u v w Slijedeća zadaća: Vektor punog naprezanja rastaviti u komponente u smjeru lokalnih i globalnih koordinatnih osi. Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Komponente vektora punog naprezanja u smjeru lokalnih koordinatnih osi x y z u v w sn M snv snu snw prvi indeks – smjer normale drugi indeks – smjer komponente Predznaci komponenti naprezanja + , smjer komponente naprezanja poklapa se sa smjerom koordinatne osi Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Komponente vektora punog naprezanja za presjeke u smjeru globalnih koord. osi Npr. za n = x ; k = x, y, z x y z M sn snv snu snw Fn 1. indeks – smjer normale naprezanja 2. indeks – smjer komponente vektora naprezanja Jednaki indeksi – normalna n. Različiti indeksi – posmična n. n T u v w F1 Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Tenzor naprezanja Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

2.2 – Homogeno stanje naprezanja dy Diferencijalni element je u ravnoteži s 18 komponenti naprezanja (9 na vidljivim plohama i 9 na nevidljivim plohama) x y z dz dx Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Homogeno stanje naprezanja za ravninske probleme dy Ovaj prikaz je pozitivna (+) tenzorska notacija (smjer normale odnosno smjer komponente naprezanja poklapa se sa smjerom odgovarajuće koordinatne osi) dx x y Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

2.3 – Nehomogeno stanje naprezanja Diferencijalni prirast naprezanja na dif. razmacima dx, dy, dz. Imamo komponente zaprem. sila (Fx, Fy, Fz) x y z dy Možemo postati 6 jedn. ili uvjeta ravnoteže: x=0 M(x)=0 y=0 M(y)=0 z=0 M(z)=0 dz dx Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Npr. za x=0 (napomena: Uvjeti ravnoteže se postavljaju za SILE) Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Cauchy-jeva jednadžba ravnoteže ili diferencijalna jednadžba ravnoteže Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Npr. za M(y)=0 (napomena: Uvjeti ravnoteže se postavljaju za SILE) Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

σzx = σxz te analogno σxy = σyx i σyz = σzy Nakon svih skraćivanja i zanemarivanja diferencijalnih prirasta (mali su u odnosu na σzx i – σxz) dobiva se: σzx = σxz te analogno σxy = σyx i σyz = σzy Zakon recipročnosti ili zakon uzajamnosti posmičnih naprezanja na međusobno okomitim plohama: σij = σji Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Tenzor naprezanja je simetričan i ima samo 6 komponenti. Posljedica: 3 i 3 komponente naprezanja u tenzoru naprezanja su jednake. Tenzor naprezanja je simetričan i ima samo 6 komponenti. Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

2.4 – Jednadžbe transformacija Uz poznatih 6 komponenti naprezanja (tenzor naprezanja) u tri ortogonalne ravnine može se izračunati naprezanje za presjek – ravninu pod bilo kojim kutem. Slijedeća zadaća: Prikazati komponente vektora punog naprezanja u smjerovima lokalnih osi u-v-w kao i globalnih osi x-y-z. Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Vektor punog naprezanja i njegove komponente 3 jedn. tipa M(i)=0 su zadovoljene zbog infinitezimalnih veličina krakova sila B) 3 jedn. tipa Fi=0 daju komponente σnx, σny, i σnz Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Npr. za x=0 (napomena: Uvjeti ravnoteže se postavljaju za SILE) Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

uz uvjet kompatibilnosti: Slijedi: Opći oblik komponenata vektora punog naprezanja u smjerovima glavnih osi uz uvjet kompatibilnosti: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Komponenta u smjeru osi v, n≡v Slijedi: Određivanje komponenata vektora punog naprezanja u smjerovima lokalnih koordinatnih osi u-v-w Komponenta u smjeru osi v, n≡v Uz zamjenu prethodno određenog σnj dobivamo opći oblik komponente naprezanja u smjeru normale n (uz n≡v) Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Razvijen i sređen, ovaj izraz glasi: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Komponenta vektora punog naprezanja u smjeru osi u Pravac (os) u┴v Uvjet kompatibilnosti cos2(iu)=1 Uvjet ortogonalnosti cos(iv)cos(iu)=0 Uz zamjenu prethodno određenog σnj dobivamo opći oblik komponente naprezanja u smjeru osi u Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Razvijen i sređen, ovaj izraz glasi: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Komponenta vektora punog naprezanja u smjeru osi w Pravac (os) w┴v i pravac (os) w┴u Uvjet kompatibilnosti cos2(iw)=1 Uvjeti ortogonalnosti cos(iv)cos(iw)=0 cos(iu)cos(iw)=0 Uz zamjenu prethodno određenog σnj dobivamo opći oblik komponente naprezanja u smjeru osi u Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Ako se pogledaju prethodna 3 razvijena izraza Vidimo da su slični, pa iz toga možemo izvući opću jednadžbu transformacija komponenata vektora punog naprezanja: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Tenzor vektora punog naprezanja: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

2.5 – Jednadžbe transformacija u ravnini Pomoću opće jednadžbe transformacija uz ograničenja: 1) σzz = σzx = σzy = 0 2) i,j = x,y 3) k,l = n,t Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Uz oznake: kut (xn) ≡ kut  kut (yn) ≡ kut (90°-) ili možemo uzeti diferencijalni element sa svim komponentama naprezanja i postavljati jednadžbe / uvjete ravnoteže  n’ t y x n σnn σnt σyy σxy σxx σyx Uz oznake: kut (xn) ≡ kut  kut (yn) ≡ kut (90°-) ds ds sin ds cos Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

odnosno, nakon sređivanja: Postavljajući jednadžbe ravnoteže (ne za naprezanja, nego za sile), dobivamo za komponentu u smjeru normale: odnosno, nakon sređivanja: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

odnosno, nakon sređivanja: Postavljajući jednadžbe ravnoteže (ne za naprezanja, nego za sile), dobivamo za komponentu u smjeru tangente: odnosno, nakon sređivanja: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

2.6 – Cauchy-jeva ploha naprezanja Promjenom položaja presječne ravnine mijenja se položaj normale a njime i veličine kosinusa kutova cos(in) i=x,y,z uz uvjet kompatibilnosti cos2(in)=1. → tada se mijenjaju i komponente naprezanja σvv, σvu i σvw . Ovo je Cauchy-jeva ploha naprezanja – jednadžba plohe drugog reda sa središte u ishodištu koordinatnog sustava x-y-z. Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

2.7 – Smjerovi i veličine glavnih naprezanja Ako u nekom presjeku nema posmičnih naprezanja (σij=0), onda za postojeća normalna naprezanja kažemo da su to glavna naprezanja. Položaj normale na takav presjek definira smjerove glavnih naprezanja. Glavna naprezanja imaju ekstremne vrijednosti – najveće i najmanje. σk0l0 = 0 za k0 ≠ l0 σk0l0 → glavna naprezanja za k0 = l0 uz k0,l0 = u0, v0, w0 čime je definiran lokalni koordinatni sustav koji određuje smjerove glavnih naprezanja Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

cos2(ik0) = 1 3 uvjeta kompatibilnosti Za odrediti smjerove i veličine glavnih naprezanja može se koristiti 9 uvjeta: cos2(ik0) = 1 3 uvjeta kompatibilnosti cos(ik0) cos(il0) = 0 3 uvjeta ortogonalnosti σk0l0 = 0 za k0 ≠ l0 3 uvjeta iz analize naprezanja ( σu0v0 = σv0w0 = σw0u0 = 0 ) Ovo je dovoljno za odrediti 9 nepoznanica – 9 kosinusa kutova cos(ik0) uz i=x,y,z, k0=u0,v0,w0 glavnih naprezanja. Ovaj postupak je veoma složen, te se koristi slijedeći: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Komponente vektora punog naprezanja su: σnj=σijcos(in) Pretpostavimo da se jedan od smjerova glavnih naprezanja poklapa sa smjerom normale na presjek. x y z n v0 σn = n σ m σ m Komponente vektora punog naprezanja su: σnj=σijcos(in) Za n = v0 imamo 3 jednadžbe Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Za 4 nepoznanice (σm, cos(xv0), cos(yv0) i cos(zv0)) potrebna je još jedna jednadžba, a ta se uzima iz uvjeta kompatibilnosti cos2(iv0)=1 → (4) cos2(xv0)+cos2(yv0)+cos2(zv0)=1 Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Kako su članovi na desnoj strani jednadžbe jednaki nuli, to je jedino moguće rješenje ako je determinanta sustava 3x3 jednaka nuli, iz čega se dobiva: σm3 - I1σm2 + I2σm - I3 = 0 Tri korijena (rješenja) ove jednadžbe trećeg reda uvijek su realna i predstavljaju veličine glavnih naprezanja u tri međusobno okomita smjera: σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 Kako veličine glavnih naprezanja ne ovise o izboru koordinatnog sustava, to su veličine I1, I2 i I3 nepromjenjive odnosno invarijantne veličine koje se, u ovom slučaju, nazivaju invarijante naprezanja. Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Invarijante naprezanja Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

2.8 – Glavna naprezanja u ravnini Pomoću opće jednadžbe transformacija uz ograničenja: i,j = x,y i k,l = n,t i uvodeći oznake za: kut (xn) ≡ kut  i kut (yn) ≡ kut (90°-) dobivamo izraze: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

te iz (2) dobivamo izraz za smjerove glavnih naprezanja: Za 0 → σn0t0 = 0 te iz (2) dobivamo izraz za smjerove glavnih naprezanja: 0=1 i 0 = 2 = 90+1 Za određene 0=1, 2 iz (1) dobivamo: σnn=σ1, σ2 pri čemu je σ1 ≥ σ2 y n 0=1 0=2 =90+1 t x Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

√(σxx-σyy)2+4σ2xy 2σxy 20 · σxx-σyy Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

što pojednostavljeno pišemo u obliku: Kad prethodni izraz sredimo, dobivamo izraze za veličine glavnih naprezanja u ravnini: što pojednostavljeno pišemo u obliku: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Zadano stanje naprezanja σxx σyy σxy x y Glavna naprezanja σ1 σ2 1 2 Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

2.9 – Lame-ov elipsoid naprezanja Postavimo koordinatni sustav x-y-z da bude u smjerovima glavnih osi (uvjet: σk0l0 = 0 za k0 ≠ l0 ). Komponente vektora punog naprezanja su: Iz uvjeta kompatibilnosti cos2(in)=1 dobiva se: Jednadžba elipsoida s poluosima σm Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

x y z σ1 σ2 σ3 n σnx σny σnz σn U ravnini elipsoid naprezanja degenerira u elipsu naprezanja (σ3=0, i=x,y): Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

y n A’ σnn A A’’ σny σn  x σnx σ1 O σnt σ2 Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

2.10 – Mohr-ova kružnica naprezanja Grafički postupak određivanja veličine i smjera glavnih naprezanja. x y σxx σyy σxy Ovaj prikaz je pozitivna (+) Mohr-ova notacija Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

σyy σxy σxx σxy (σxx+ σyy )/2 σxx  σ2 σ1 σ2 σyy 20 σxx x x  σyy S σyy σxx σyy σxy σxx σ1 σ2  S (σxx+ σyy )/2 x σ2 σxy 20 σ1 x σyy  Moguća je i obrnuta zadaća da su zadana glavna naprezanja (σ1,σ2) te da se traže komponente naprezanja pod zadanim kutom . σxx-σyy Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

3. ANALIZA DEFORMACIJA 3.1 – Pomak i deformacija p r1 r j i k 1. Uvod 1. Uvod 3. ANALIZA DEFORMACIJA 3.1 – Pomak i deformacija Pomak definira veličinu promjene položaja jedne točke. Deformacija definira promjenu veličine međusobne udaljenosti dviju točaka. x y z i k j F1 Fn Fi M(x,y,z) r M1(x1,y1,z1) r1 p Vektor pomaka točke M Novi položaj točke M1 Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Komponente vektora pomaka u u-v-w koordinatnom sustavu: imajući na umu da je u=u(x,y,z) , v=v(x,y,z) i w=w(x,y,z) - - - - - - Pomak točke M je nastao uslijed: Translacije - Rotacije - Deformacije - Dakle: Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Translacija: Rotacija: Npr. ωz y P1 +ωz·x rxy·tgωz≈rxy· ωz P ωz  ωz - ωz· rxy·sin=-ωz ·y y Deformacija: Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

u = uo + (ωy·z - ωz·y) + uDEF v = vo + (ωz·x - ωx·z) + vDEF Ukupne komponente vektora pomaka u = uo + (ωy·z - ωz·y) + uDEF v = vo + (ωz·x - ωx·z) + vDEF w = wo + (ωx·y - ωy·x) + wDEF POMACI KRUTOG TIJELA DEFORMACIJE Pomaci krutog tijela ne utječu na stanje naprezanja !!! Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

3.2 – Komponente deformacija B1 x y z O A C P(x,y,z) B dx dy dz A1 p P1(x1,y1,z1) A dx Nedefor. dužine dx=PA dy=PB dz=PC Deform. dužine P1A1 P1B1 P1C1 C1 Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Točka Koordinte Koordinate prije def. poslije deform. Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

εxx - normalna relativna deformacija Razmak PA se promijenio u P1A1 , pa se relativna promjena dužine PA može izraziti kao: εxx - normalna relativna deformacija Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Nakon što prethodni izraz razvijemo u binomni red, možemo pisati: Zanemarujemo članove viših redova, jer u teoriji linearnih deformacija možemo imati samo linearne članove! → Opći izraz za normalne relativne deformacije Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

εxy - posmična relativna deformacija Osim promjena dužina PA u P1A1, PB u P1B1 i PC u P1C1 dolazi i do promjene kutova: P A B x y Veličina kuta: B1  a b  β ≡P1 ≡A1 εxy - posmična relativna deformacija Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Uvrstimo li ovo u prethodni izraz, dobivamo: Zanemarujući sve članove u nazivniku osim jedinica, dobiva se: Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Prethodni izraz sređujemo po teoriji linearne deformacije na: posmična relativna deformacija Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Imamo ukupno 6 komponenti deformacija 3 normalne komponente relativne deformacije 3 posmične komponente relativne deformacije Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

3.3 – Tenzor deformacija 6 komponenti deformacija mogu se prikazati s 9 parcijalnih derivacija pomaka Izvan dijagonale: Kutovi zaokreta u pojedinim ravninama Na dijagonali: Normalne komponente relativnih deformacija Asimetrični tenzor deformacija Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Simetrični tenzor deformacija Antimetrični tenzor deformacija Simetrični: normalne i posmične komponente deformacija Antimetrični: rotacije elastičnog tijela Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Dokaz za komponente rotacije elastičnog tijela x y z O dx dy ωz Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Predznak rotacija + y x O z Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Predznaci naprezanja odgovaraju predznacima deformacija. σxx x y + σxy → + εxy 2εxy = β Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

3.4 – Jednadžbe kompatibilnosti (neprekinutosti) Stanje deformacija određeno je sa 6 komponenti. Ako se traže komponente pomaka, pitamo se koji uvjeti moraju biti zadovoljeni. Matematički smisao: pomaci su određeni jednoznačno. Fizikalni smisao: susjedni dijelovi se zajedno deformiraju. Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Ova jednadžba povezuje normalne i posmične deformacije u ravnini Ova jednadžba povezuje normalne i posmične deformacije u ravnini. Imamo ih 3. To su jednadžbe neprekinutosti u ravnini. Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Dobivamo 3 ovakve jednadžbe čiji opći oblik glasi: Ova jednadžba povezuje normalne i posmične komponente deformacija u prostoru. To su jednadžbe neprekinutosti u prostoru. Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

3.5 – Deformacije u zadanom smjeru – jednadžbe transformacija Slijedeća zadaća: Odrediti deformacije neke dužine definirane diferencijalnim radius vektorom (ne u smjeru ortog. osi). x y z i k j du dv dw dp dr dx dy dz Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Relativna deformacija dužine |dr| ili Pošto je u=u(x,y,z), totalni diferencijal du određen je s: ili Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Komponente relativne deformacije u smjeru globalnih koord. osi: odnosno uz:  a b Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Vidimo sličnost s jednadžbom transformacija naprezanja Sada transformiramo (projiciramo) relativnu deformaciju u željenom smjeru (zadanom smjeru r i t, pri čemu je t ┴ r) Vidimo sličnost s jednadžbom transformacija naprezanja Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Opći oblik jednadžbi transformacija komponenata deformacija Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Raspisano, za komponentu deformacija u smjeru r: Odnosno, ako umjesto parcijalnih derivacija pomaka uvrstimo komponente deformacija: Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Raspisano, za komponentu deformacija u smjeru t: Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

U ravnini imamo: uz: εzz= εzx= εzy=0 y x  r t Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

3.6 – Smjer i veličina glavnih deformacija dp Kada se smjer vektora pomaka (dp) poklapa sa smjerom radijus vektora (dr) dobivaju se glavne deformacije. Tada postoji samo promjena dužine pri deformaciji, dok se kut ne mijenja. y dv dr du dw dy j i x dz k dx z Uvjet kolinearnosti: Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

Dobili smo sustav od 3 jednadžbe s 4 nepoznanice, te nam je potrebna još 1 jednadžba, a to je uvjet ortogonalnosti: Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

( ) z i y x N zr cos yr xr e - = ε1, ε2 i ε3 su glavne deformacije, z i y x N zr cos yr xr m zz yz xz yy xy xx e - = ε1, ε2 i ε3 su glavne deformacije, a G1, G2 i G3 su invarijante deformacija. Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

Prva invarijanta deformacija (volumenska deformacija) Kod homogenog i izotropnog materijala smjerovi glavnih deformacija poklapaju se sa smjerovima glavnih naprezanja. Glavne deformacije i njihovi smjerovi za ravninsko stanje: Nadalje, za deformacije vrijedi sve što smo prije kazali ili radili za naprezanja. Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

4. DEFORMABILNE KARAKTERISTIKE ČVRSTIH TIJELA – FIZIKALNE JEDNADŽBE 1. Uvod 1. Uvod 4. DEFORMABILNE KARAKTERISTIKE ČVRSTIH TIJELA – FIZIKALNE JEDNADŽBE Ako na tijelo djeluju vanjske sile, unutar tijela se javljaju unutarnje sile odnosno naprezanja. Treba utvrditi vezu između deformacija i naprezanja, ali za to trebamo poznavati mehanička svojstva materijala. Teorija elastičnosti ne unosi nikakve pretpostavke o materijalu, ali se služi matematičkim metoda koje nisu svakodnevno pristupačne. Otpornost materijala unosi pretpostavke o strukturi i ponašanju materijala, kao i o karakteru deformacija. Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike 4.1 – Opće pretpostavke u Otpornosti materijala Pretpostavka o neprekinutosti materijala Materijal potpuno ispunjava (tj. neprekinuto) cijelu formu ili oblik tijela → ako je tijelo u ravnoteži, onda je i svaki njegov dio u ravnoteži (vrijedi i obrnuto)→ možemo koristiti Metodu presjeka. F1 F2 Fi Fn Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike 2. Materijal je homogen i izotropan HOMOGEN – materijal ima jednaka svojstva u svim točkama tijela (u suprotnom je materijal NEHOMOGEN) IZOTROPAN – materijal ima ista svojstva u svim smjerovima (u suprotnom je materijal ANIZOTROPAN) Ortotropan – ima jednaka, ali različita, svojstva u dva međusobno okomita smjera Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike 3. Pretpostavka o elastičnom ponašanju materijala Pod djelovanjem vanjskih sila materijal se deformira. Kad uklonimo vanjske sile, materijal se vraća u prvobitno stanje/položaj odnosno deformacije iščeznu. To svojstvo materijala se naziva elastičnost, a takve deformacije – elastične deformacije (povratne). Sva tijela se ponašaju elastično samo do neke granice – granica elastičnosti. Uzima se da je veza između elastičnih deformacija čvrstog tijela i utjecaja koji uzrokuju te deformacije LINEARNA. Suprotnosti: neelastičnost – neelastične deformacije (nepovratne, trajne, plastične) Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike 4. Pretpostavka o malim deformacijama Deformacije su relativno male u odnosu na dimenzije tijela tako da se može zanemariti promjena u raspodjeli vanjskog opterećenja uslijed deformacija samog tijela. → jednadžbe ravnoteže postavljaju se na “kruto” – nedeformirano tijelo Teorija I reda (linearna teorija): jedn. ravnoteže postavljamo na nedeformirano tijelo, a u izrazu za deformacije uzimamo samo linearne članove. Teorija II reda: jedn. ravnoteže postavljamo na deformirano tijelo, a u izrazu za deformacije uzimamo samo linearne članove. Teorija III reda: jedn. ravnoteže postavljamo na deformirano tijelo, a u izrazu za deformacije uzimamo i nelinearne članove. Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike 5. Pretpostavka o ravnim presjecima Tijekom djelovanja vanjskih sila (deformiranja tijela) poprečni presjek štapa ostaje ravan i okomit na uzdužnu os štapa. F1 F2 Fi Fn I II F Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4.2 – Fizikalne jednadžbe – Hooke-ov zakon vanjska djelovanja → deformacije (εij) → naprezanja (σij) Deformacije će biti neka funkcija od naprezanja, a kakva je to funkcija ovisi o mehaničkim svojstvima materijala. Funkcionalnu vezu između deformacija i naprezanja odrediti ćemo eksperimentalnim ispitivanjem uzoraka, izrađenih od određenih materijala, u obliku dijagrama pri određenim uvjetima. Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike F – ΔL dijagram Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike σ – ε dijagram Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike Young-ov modul elastičnosti Hooke-ov zakon za jedno-osno (1D) stanje naprezanja (1676.) Vidimo da je veza između deformacija i naprezanja linearna. Modul elastičnosti, E, je karakteristika materijala koja se određuje eksperimentalnim putem. Pošto je relativna deformacija, ε, bezdimenzionalna veličina, to modul elastičnosti, E, ima dimenziju naprezanja, σ. Ečelik = 210.000 MPa Ebeton = 30.000 MPa Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike Prilikom prethodnog eksperimenta možemo mjeriti i promjenu promjera štapa → suženje poprečnog presjeka štapa. Naime, promjer se od d0 smanjio na d1. Poprečna deformacija: Nakon serije mjerenja možemo uspostaviti odnos između poprečne i uzdužne relativne deformacije: ν – Poisson-ov koeficijent Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike Vidimo da imamo zadano naprezanje u jednom smjeru, a da se istovremeno javlja deformacija u drugom smjeru (okomitom). Poisson-ov koeficijent – 0 ≤ ν ≤ 0,5 Pluto ν = 0 Beton ν = 0,14 – 0,20 Čelik ν = 0,27 – 0,33 Parafin ν = 0,50 U plastičnom području je za sve materijale ν = 0,50 Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike 4.3 – Princip superpozicije Pretpostavke: materijal je homogen, izotropan, elastičan, vrijedi Hooke-ov zakon, deformacije su male. Definicija: Princip superpozicije kaže da je zbroj dvaju ili više stanja naprezanja (deformacija)(pomaka) uslijed dvaju ili više stanja opterećenja jednak stanju naprezanja (deformacija) (pomaka) uslijed zbroja stanja opterećenja. σ1 O1 σ2 O2 + = O=O1+O2 σ=σ1+σ2 Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike Izuzetak: Princip superpozicije ne vrijedi kada jedno opterećenje utječe na stanje naprezanja i deformacija od drugog opterećenja. F H + ≠ Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike 4.4 – St. Venant-ov princip Pretpostavke: materijal je homogen, izotropan, elastičan, deformacije su male. Definicija: St. Venant-ov princip nam kaže da se stanje naprezanja (deformacija) (pomaka) razlikuje samo na relativno malom dijelu elastičnog tijela, u pravilu oko mjesta djelovanja vanjskog opterećenja, ako zadano opterećenje zamijenimo sa statički ekvivalentnim, dok će na dovoljno udaljenim dijelovima tijela od mjesta djelovanja vanjskog opterećenja, stanje naprezanja (deformacija) (pomaka) biti praktički jednako. Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike 4.5 – Hooke-ov zakon u ravnini Pretpostavke: materijal je homogen, izotropan, elastičan, deformacije su male. σxx =σ1 σyy =σ2 Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike Obrnuta zadaća/veza: Jednadžbe koje povezuju deformacije i naprezanja i obrnuto nazivamo fizikalne jednadžbe. Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike 4.6 – Hooke-ov zakon u prostoru Pretpostavke: materijal je homogen, izotropan, elastičan, deformacije su male. Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike 4.7 – Volumenska deformacija Volumen prije deformiranja: V0=1·1·1=1 1 1+εxx 1+εyy 1+εzz Volumen nakon deformiranja: V1=(1+εxx)·(1+εyy)·(1+εzz) = V1=1+εxx+εyy+εxx εyy+εzz+ εxx εzz+ εyy εzz+ εxx εyy εzz V1=1+εxx+εyy+εzz Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike Veza između G1 i I1: Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike Promatrajmo izraz: Ako je ( σxx, σyy, σzz ) > 0 imamo povećanje volumena, εv>0. Slijedi da je (1-2ν) > 0 odnosno da je ν ≤ 0,5. Prema tome, imamo granične vrijednosti Poisson-ovog koeficijenta 0 ≤ ν ≤ 0,5. Ako je εV = 0 (nema promjene volumena), onda je ν = 0,5 što vrijedi za plastično područje. Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike Specijalni slučaj: Na svim stranicama elementa djeluje jednaki pritisak p (hidrostatski pritisak): σxx = σyy = σzz = -p Uvodimo modul kompresije ili zapreminski modul elastičnosti te imamo: Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

4. Deformabilne karakteristike 4.8 – Postupak rješavanja zadaća u OM Problem promatramo sa statičkog gledišta: postavljamo jednadžbe ravnoteže (rabimo metodu presjeka); Problem promatramo s geometrijskog gledišta: uvodeći određene pretpostavke (ravni presjeci) postavljamo geometrijske jednadžbe tražeći što jednostavniju vezu između deformacija i pomaka; Problem promatramo s fizikalnog gledišta: postavljamo odgovarajuće fizikalne jednadžbe utvrđujući vezu između deformacija i naprezanja; Rješavamo postavljeni sustav jednadžbi te dobivamo odnos između opterećenja i deformacija kao i opterećenja i naprezanja (zadaća je riješena u matematičkom smislu); Provodimo odgovarajuće kontrole: (1) matematička (ispravno rješavanje); (2) fizikalna (dobivene deformacije i naprezanja su u granicama dozvoljenih). Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

Nastavak slijedi u idućem file-u. Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike