Παρουσίαση 6η: Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier Σειρές Fourier Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση 6η: Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier Σειρές Fourier Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: Γεωχωρικές τεχνολογίες

Περιεχόμενα του μαθήματος (1) ΕΝΟΤΗΤΑ 2η  Σήματα και ανάλυση Fourier (ΕΡΓΑΣΙΑ 2η) Εισαγωγή στα σήματα (Ορισμοί, κατηγορίες σημάτων, βασικά σήματα συνεχή και διακριτά, κατηγορίες συστημάτων) Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier (Ολοκληρώματα, σειρές, μιγαδικές εκφράσεις, παραδείγματα, ανάλυση σε συνιστώσες συχνοτήτων, σειρές στο τετράγωνο, στον κύκλο και στη σφαίρα, παραδείγματα υπολογισμού) Μετασχηματισμοί Fourier (Από τα ολοκληρώματα – σειρές στους μετασχηματισμούς, παραδείγματα, χαρακτηριστικοί μετασχηματισμοί, ιδιότητες και αποδείξεις)

Περιεχόμενα του μαθήματος (2) Διακριτός μετασχηματισμός Fourier (Διαφορές από το συνεχή μετασχηματισμό, θεώρημα δειγματοληψίας, συχνότητα Nyquist, ιδιότητες, υπολογισμοί, προβλήματα, φασματική διαρροή, παραποίηση, ταχύς μετασχηματισμός Fourier – FFT, παραδείγματα)

Βιβλιογραφία ΕΝΟΤΗΤΑ 2η Hsu, H. P. (1995): Signals and Systems, Schaum’s Outlines eds. Proakis, J.G. and D.G. Manolakis (2006): Digital Signal Processing, Fourth ed., Pearson, Prentice Hall eds. Spiegel, M.R. (1974): Ανάλυση Fourier. Schaum’s Outline Series. McGraw-Hill, ΕΣΠΙ Αθήνα. Brigham, E.O. (1988): The Fast Fourier Transform and its Applications. Prentice Hall eds. Bracewell, R.N. (1978): The Fourier Transform and its applications. McGraw-Hill eds.

Περιεχόμενα παρουσίασης Φασματικές μέθοδοι Πλεονεκτήματα – μειονεκτήματα φασματικών μεθόδων Ιστορικά στοιχεία φασματικής ανάλυσης Σειρές Fourier – Ερμηνεία Παραδείγματα ανάπτυξης σειρών Μιγαδικές εκφράσεις σειρών – Συμπαγής μορφή σειράς Αναπτύγματα στο επίπεδο, στον κύκλο και στη σφαίρα

Φασματικές Μέθοδοι Διαδικασίες ανάλυσης του σήματος σε επιμέρους συνιστώσες  απλοποίηση διαδικασιών και υπολογισμών Φασματική ανάλυση (ανάλυση Fourier)  ανάλυση πολύπλοκων σημάτων σε απλούστερα για ευκολότερη επεξεργασία Σήματα Signals Φασματικές μέθοδοι Spectral methods Γεωπληροφορική Geomatics

Πλεονέκτημα φασματικών μεθόδων Μεταφορά πληροφορίας από το χώρο των αριθμών στο χώρο των συχνοτήτων  απλοποίηση βασικών υπολογισμών Spectral analysis (Fourier transforms) Time / Space Domain Frequency Domain

Πλεονέκτημα φασματικών μεθόδων Αναπαράσταση ανάλυσης συνάρτησης από το χώρο των πραγματικών αριθμών στο χώρο των συχνοτήτων (ανάλυση σε κυρίαρχες συχνότητες)

Στόχοι φασματικής ανάλυσης Κυματοειδής μορφή σήματος  δυνατότητα ανάλυσης σε συχνότητες Ο χώρος των συχνοτήτων επιτρέπει ευκολότερους υπολογισμούς  πολύπλοκες συναρτήσεις αναλύονται σε απλής μορφής διαγράμματα συχνοτήτων Σημαντικό να γνωρίζουμε για κάθε μέτρηση – κύμα τις κυρίαρχες συχνότητές της  φάσμα (spectrum) της μέτρησης

Πλεονεκτήματα φασματικής ανάλυσης Πληθώρα ετερογενών δεδομένων στη Γεωπληροφορική  ανάγκη ταυτόχρονης αξιοποίησης πολλών δεδομένων Μαθηματικό μοντέλο γεωδαιτικών προβλημάτων  συνελικτική μορφή κατάλληλη για φασματική ανάλυση Απλοποίηση υπολογισμών και ταχύτητα επεξεργασίας δεδομένων  δυνατότητα ανάλυσης σε σχεδόν – πραγματικό χρόνο (near-real-time products) Δυνατότητες εύκολης διαχρονικής παρακολούθησης περίπλοκων φυσικών φαινομένων

Πλεονεκτήματα φασματικής ανάλυσης Υψηλή υπολογιστική ταχύτητα, αποτελεσματικότητα σε δεδομένα σε πλέγμα (ψηφιακά δεδομένα) και ταυτόχρονες εκτιμήσεις σε όλα τα σημεία Ταχείς υπολογισμοί σε μεγάλες περιοχές μελέτης (τμήματα της επιφάνειας της Γης ή ολόκληρη την επιφάνεια) Αποτελέσματα υψηλής διακριτικής ικανότητας με την αξιοποίηση πυκνών βάσεων δεδομένων Αποτελεσματική απεικόνιση των φασματικών ιδιοτήτων των μετρήσεων  συναρτήσεις συμμεταβλητότητας, συντελεστές συμμεταβλητότητας σήματος και θορύβου και συναρτήσεις πυκνότητας φασματικής ισχύος

Μειονεκτήματα φασματικής ανάλυσης Παραποίηση του σήματος (aliasing effects)  από τη χρήση χαμηλής πυκνότητας δεδομένων  αδυναμία ανακατασκευής του σήματος Παραδοχές περιοδικότητας  δημιουργούν το φαινόμενο της φασματικής διαρροής (spectral leakage error) Ανάγκη αναφοράς σε πλέγμα (ψηφιακή μορφή δεδομένων) Θέματα που επιλύθηκαν στην πορεία των εφαρμογών  συνδυασμός ετερογενών δεδομένων, μετάδοση των σφαλμάτων από τις παρατηρήσεις στα αποτελέσματα

Εφαρμογές φασματικής ανάλυσης Παρεμβολή και πρόγνωση τιμών  η ανάλυση διακριτών μετρήσεων σε όρους ημιτόνου ή/και συνημιτόνου  ελαχιστοτετραγωνική προσαρμογή συνάρτησης  παρεμβολή σε άλλες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής Εκτίμηση συνιστωσών κύματος  απομάκρυνση ανεπιθύμητων συχνοτήτων από τις εκτιμήσεις  φιλτράρισμα  έλεγχος σήματος και θορύβου Η ανάγκη της περιοδικότητας αντιμετωπίζεται  θεώρηση περιόδου ίσης με το συνολικό χρονικό (χωρικό) διάστημα της μελέτης

Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό): t

Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό): t sin cos Επανάληψη ημιτόνων ή συνημιτόνων

Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό): t sin cos Επανάληψη ημιτόνων ή συνημιτόνων κύκλος (= 1 επανάληψη) ημιτόνου κύκλος (= 1 επανάληψη) συνημιτόνου

(f = 2.5 κύκλοι ανά δευτερόλεπτο) Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό): Τ Τ t Περίοδος (Period) Τ: χρόνος που χρειάζεται για να επαναληφθεί ένας κύκλος 1 sec (f = 2.5 κύκλοι ανά δευτερόλεπτο) Συχνότητα (Frequency) f: αριθμός κύκλων στη μονάδα χρόνου (κύκλοι ανά δευτερόλεπτο) Μήκος κύματος (wavelength) λ = cT: διάστημα που διανύει το σήμα σε μία περίοδο c : ταχύτητα φωτός (ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας) στο κενό

Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος χαμηλή συχνότητα υψηλή συχνότητα

Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος μεγάλη περίοδος μικρή περίοδος

Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος μεγάλο μήκος κύματος μικρό μήκος κύματος

Ιστορικά στοιχεία φασματικής ανάλυσης Ο όρος φάσμα (spectrum) οφείλεται στον Sir Isaac Newton  ανάλυση του ηλιακού φωτός σε χρώματα  μήκη κύματος ακτινοβολίας Principia  μαθηματικές εξισώσεις στις παρατηρήσεις του Πυθαγόρα (6ος αιώνας π.Χ.) για περιοδικά φαινόμενα

Ιστορικά στοιχεία φασματικής ανάλυσης Jean Baptist Fourier  Analytic Theory of Heat (1822)  οποιαδήποτε συνάρτηση μπορεί να αναλυθεί σε σειρές απείρων όρων με συναρτήσεις βάσης ημιτονοειδείς ή συνημιτονοειδείς Ανάλυση Fourier  ανάπτυξη μίας συνάρτησης σε όρους ημιτόνου ή/και συνημιτόνου Ιδιαίτερη ανάπτυξη με τη χρήση της ηλεκτρονικής επιστήμης  εισαγωγή στα ψηφιακά γεωδαιτικά δεδομένα  παρατηρήσεις – σήματα

Παράδειγμα φασματικής ανάλυσης Ανάλυση σε συχνότητες

Παράδειγμα φασματικής ανάλυσης Ανάλυση συνάρτησης βηματισμού – unit step function

Σειρές και μετασχηματισμοί Fourier Όταν μεταβαίνουμε από τα απλά ημιτονοειδή ή συνημιτονοειδή σήματα στα πραγματικά σύνθετα Σειρές Fourier  ανάλυση περιοδικών συναρτήσεων  αρμονική ανάλυση (harmonic analysis) Μετασχηματισμοί Fourier  ανάλυση μη περιοδικών συναρτήσεων  φασματική ανάλυση (spectral analysis) Μαθηματικά εργαλεία για την ανάλυση σύνθετων συναρτήσεων σε αθροίσματα ή ολοκληρώματα απλών ημιτονοειδών ή συνημιτονοειδών συναρτήσεων

Ημιτονοειδές σήμα – Sinusoidal signal Βασικά συνεχή σήματα Ημιτονοειδές σήμα – Sinusoidal signal Ένα συνεχές ημιτονοειδές σήμα (sinusoid) έχει τη μορφή A  εύρος σήματος (amplitude) ω0  γωνιακή συχνότητα (angular frequency, σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο) θ  γωνία φάσης (phase angle, σε ακτίνια) Σήμα ημιτόνου

Ημιτονοειδές σήμα – Sinusoidal signal Βασικά συνεχή σήματα Ημιτονοειδές σήμα – Sinusoidal signal Το συνεχές ημιτονοειδές σήμα είναι περιοδική συνάρτηση με θεμελιώδη περίοδο Το αντίστροφο της θεμελιώδους περιόδου ονομάζεται θεμελιώδης (γραμμική) συχνότητα Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Euler Ισχύει αντιστοίχως (κύκλοι/sec)

Ημιτονοειδές σήμα – Sinusoidal signal Βασικά συνεχή σήματα Ημιτονοειδές σήμα – Sinusoidal signal Αναπτύσσοντας το σήμα ισχύει Το εύρος Α και η γωνία φάσης θ υπολογίζονται σύμφωνα με Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα του Euler Το ημιτονοειδές σήμα μπορεί να γραφεί ως συνάρτηση εκθετικών σημάτων

Σειρές Fourier Η ανάπτυξη μίας περιοδικής συνάρτησης  σειρά Fourier Περιγραφή περιοδικών φαινομένων των γεωεπιστημών, π.χ. παλίρροιες, ιονοσφαιρική επίδραση στη μετάδοση των σημάτων Χρησιμοποιούνται στην ανάλυση και μελέτη συνεχών ή διακριτών συναρτήσεων  αρμονική ανάλυση (harmonic analysis) Αναλυτική έκφραση σειράς δεδομένων ενός φυσικού φαινομένου του οποίου δεν είναι γνωστή η ακριβής μαθηματική συνάρτηση

Σειρές Fourier Μία περιοδική συνάρτηση στο διάστημα [–Τ0/2, Τ0/2] με περίοδο Τ0 μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά ημιτόνων και συνημιτόνων απείρων όρων Οι συντελεστές υπολογίζονται ως

Σειρές Fourier Η σειρά Fourier μπορεί να εκφραστεί με παρόμοια μορφή στην περίπτωση που θεωρηθεί περιοδική σε διάστημα [–L, L] με περίοδο Τ0 = 2L (άλλη έκφραση ανάπτυξης που παρουσιάζεται στη βιβλιογραφία) Οι συντελεστές υπολογίζονται σε αυτή τη μορφή ως

Παραδοχές για την ισχύ των σειρών Fourier Η συνάρτηση x(t) έχει περιορισμένο αριθμό ακροτάτων σε μία περίοδο Η συνάρτηση x(t) έχει περιορισμένο αριθμό ασυνεχειών σε μία περίοδο Η συνάρτηση x(t) είναι απολύτως ολοκληρώσιμη μέσα στην περίοδο Η τρεις παραπάνω παραδοχές για τη σύγκλιση των σειρών ονομάζονται συνθήκες του Dirichlet (Dirichlet’s conditions) Με την ισχύ των ανωτέρω είναι δυνατή η ανάπτυξη οποιασδήποτε συνάρτησης σε σειρές απείρων τριγωνομετρικών όρων

Παράδειγμα ανάπτυξης σειράς αn = bn = 1, T = 1 Η σειρά αναπτύσσεται ως εξής Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση αναπτύσσεται σε τριγωνομετρικά σήματα συχνοτήτων ω0, 2ω0, 3ω0, …  ακέραια πολλαπλάσια της βασικής συχνότητας 1

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (1) Λύση

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (1)

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (2) Λύση Ολοκλήρωση κατά μέρη

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (2) Για n άρτιο: Για n περιττό:

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5) Λύση Ολοκλήρωση κατά μέρη

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5)

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5)

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5) Για n άρτιο Για n περιττό

Αντιστοιχία χρόνου – χώρου Όταν η ανάπτυξη αφορά σε ανεξάρτητη μεταβλητή χώρου  εκφράσεις συναρτήσει του μήκους κύματος μήκος κύματος - wavelength περίοδος - period ταχύτητα φωτός – speed of light Χρόνος Χώρος Γωνιακή συχνότητα Angular frequency Γωνιακή χωρική συχνότητα Angular spatial frequency (Γραμμική) συχνότητα (Linear) frequency Κυματαριθμός wavenumber Ανεξάρτητη μεταβλητή χρόνου Ανεξάρτητη μεταβλητή χώρου

Αντιστοιχία χρόνου – χώρου Σχέσεις ανάμεσα στις μεταβλητές χρόνου και χώρου

Συναρτήσεις βάσης Fourier Ανάπτυγμα πραγματικής συνάρτησης f(t) ορισμένης στο διάστημα [0,T ] σε σειρά Fourier απλούστερη μορφή: Βάση Fourier (συναρτήσεις βάσης):

Παράδειγμα αναπτύγματος συνάρτησης +1 –1 f (x) Παράδειγμα αναπτύγματος συνάρτησης σε σειρά Fourier ανάλυση κάθε όρου χωριστά για k = 0, 1, 2, 3, 4, …

+1 –1 f (x) k = 0 συνάρτηση βάσης +1 –1

+1 –1 f (x) k = 0 όρος σειράς +1 –1

+1 –1 f (x) k = 1 συναρτήσεις βάσης +1 –1 +1 –1

+1 –1 f (x) k = 1 όροι σειράς +1 –1 +1 –1

+1 –1 f (x) k = 2 συναρτήσεις βάσης +1 –1 +1 –1

+1 –1 f (x) k = 2 όροι σειράς +1 –1 +1 –1

+1 –1 f (x) k = 3 συναρτήσεις βάσης +1 –1 +1 –1

+1 –1 f (x) k = 3 όροι σειράς +1 –1 +1 –1

+1 –1 f (x) k = 4 συναρτήσεις βάσης +1 –1 +1 –1

+1 –1 f (x) k = 4 όροι σειράς +1 –1 +1 –1

+1 –1 f (t)

Σχέσεις ορθογωνικότητας Ο υπολογισμός των συντελεστών των σειρών Fourier πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των σχέσεων μεταξύ συναρτήσεων Ξεκινώντας από τη διανυσματική ανάλυση, η επέκταση στις συναρτήσεις μπορεί να πραγματοποιηθεί θεωρώντας τη συνάρτηση ως διάνυσμα με άπειρο πλήθος συνιστωσών (διάνυσμα απείρων διαστάσεων) Η τιμή κάθε συνιστώσας του διανύσματος ορίζεται σε συγκεκριμένο διάστημα  πεδίο ορισμού της συνάρτησης [α, b] Οι έννοιες των διανυσματικών γινομένων οδηγούν στις σχέσεις ορθογωνικότητας μεταξύ των συναρτήσεων

Διανύσματα Συμβολίζεται με βέλος Κάθε διάνυσμα εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός μίας τοπικής διανυσματικής βάσης (μοναδιαία διανύσματα) και των συνιστωσών ως προς κάθε βάση Τα διανύσματα βάσης δε βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (γραμμικά ανεξάρτητα)  αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία διανυσμάτων και συνιστωσών Συνιστώσες βάσης Διάνυσμα βάσης

Διανύσματα Άθροιση διανυσμάτων  παράλληλη μετάθεση Η παράλληλη μετάθεση είναι ιδιότητα του 5ου αξιώματος του Ευκλείδη  «από δοσμένο σημείο διέρχεται μόνο μία ευθεία παράλληλη προς δοσμένη ευθεία»

Ορισμός συστήματος αναφοράς Επιλογή σημείου αρχής Ο και ορισμός διανυσματικής βάσης Διάνυσμα θέσης οποιουδήποτε σημείου P Διάνυσμα καρτεσιανών συντεταγμένων ως προς τη διανυσματική βάση

Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Η μαθηματική έκφραση της γωνίας και της απόστασης στη γεωμετρία καλύπτεται από την έννοια του εσωτερικού γινομένου Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων Α και Β προκύπτει από τη διανυσματική διαφορά των διανυσμάτων θέσης Το μήκος ενός διανύσματος προκύπτει από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου

Ορθοκανονικές βάσεις Στη Γεωδαισία τα συστήματα αναφοράς που χρησιμοποιούνται είναι ορθοκανονικά  άξονες σχηματίζουν ορθές γωνίες Το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ορθοκανονικής βάσης είναι μηδενικό Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων σε ορθοκανονικές βάσεις τριών διαστάσεων

Εξωτερικό γινόμενο - Εμβαδόν Το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων συνδέεται με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα διανύσματα u και v Το εξωτερικό γινόμενο είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των u και v με μέγεθος ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου

Μικτό γινόμενο - Όγκος Το μικτό γινόμενο διανυσμάτων συνδέεται με τον όγκο του παραλληλεπιπέδου που σχηματίζουν τα διανύσματα u, v και w

Εσωτερικό γινόμενο συναρτήσεων Γενικεύοντας στην περίπτωση των συναρτήσεων (διανύσματα απείρων διαστάσεων) ορίζονται ως ορθογώνιες συναρτήσεις που το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδενικό Σε αντιστοιχία με το μοναδιαίο διάνυσμα μία συνάρτηση ονομάζεται κανονική ή κανονικοποιημένη στο διάστημα [α, b], όταν Γενικεύοντας με τη χρήση του τελεστή δ του Kronecker (θυμηθείτε το σήμα delta) για οποιεσδήποτε συναρτήσεις φ ισχύει

Ανάπτυγμα σε ορθοκανονική σειρά Αντίστοιχα με την ανάπτυξη διανυσμάτων σε συνιστώσες ως προς μία ορθοκανονική βάση μοναδιαίων διανυσμάτων: Μία συνάρτηση μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά ορθοκανονικών συναρτήσεων  ορθοκανονική σειρά στο πεδίο ορισμού [α, b] Ορθοκανονικές συναρτήσεις βάσης Fourier Πολλαπλασιάζοντας με φm Γενικευμένοι συντελεστές Fourier

Προσεγγίσεις ελαχίστων τετραγώνων Για να προσεγγιστεί μία συνάρτηση με σειρά σε συνδυασμό με τις ιδιότητες της ορθογωνικότητας πρέπει Αποδεικνύεται ότι το μέσο τετραγωνικό σφάλμα γίνεται ελάχιστο όταν: Ορθοκανονικό σύστημα συναρτήσεων στο πεδίο [α, b] Τμηματικά συνεχείς στο πεδίο [α, b] Πεπερασμένος αριθμός συναρτήσεων βάσης και άγνωστων συντελεστών Προσέγγιση της Μέσο τετραγωνικό σφάλμα προσέγγισης

Ταυτότητα του Parseval Όταν το Μ  ∞ τότε και ισχύει: Στην περίπτωση αυτή (ταυτότητα Parseval) το RMS  0 Όταν το Μ  ∞ (άπειροι όροι στη σειρά) τότε η σειρά συγκλίνει και το RMS της σύγκλισης γίνεται το ελάχιστο Ειδικά για τις σειρές Fourier ισχύει η ταυτότητα του Parseval στη μορφή:

Μιγαδικές εκφράσεις σειρών Το ανάπτυγμα των σειρών Fourier γράφεται σε πιο συμπαγή μορφή χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των μιγαδικών αριθμών ( ) Αντί για βάσεις ημιτόνων και συνημιτόνων η συμπαγής μορφή της ανάπτυξης Fourier περιέχει μόνο εκθετική βάση ως προς τις κυκλικές συχνότητες ωn Εκθετική βάση

Μιγαδικές εκφράσεις σειρών Η γεωμετρική ερμηνεία των μιγαδικών συντελεστών βασίζεται στη διαδικασία μετασχηματισμού της αρχικής μορφής της σειράς Fourier Αντικαθιστώντας τις ταυτότητες σύμφωνα με τα παραπάνω και το σχήμα

Μιγαδικές εκφράσεις σειρών Η γραφική αναπαράσταση των μιγαδικών συντελεστών cn ως προς τη συχνότητα ονομάζεται φάσμα εύρους (amplitude spectrum) Η γραφική αναπαράσταση της γωνίας φάσης φn των cn ως προς τη συχνότητα ονομάζεται φάσμα φάσης (phase spectrum) Δείκτης n ακέραιος  εύρος και φάση φάσματος διακριτές τιμές στις συχνότητες nω0 Αναφέρονται και ως διακριτά φάσματα συχνότητας (discrete frequency spectra) ή γραμμικά φάσματα (linear spectra)

Σύνδεση πραγματικών και μιγαδικών εκφράσεων Συνδυαστικά:

Ανάπτυγμα σειράς στο επίπεδο (2D) Η αρμονική ανάλυση στο επίπεδο αντιστοιχεί στην εύρεση των συντελεστών μίας συνάρτησης δύο μεταβλητών στο πεδίο ορισμού Ισοδύναμο με διπλή σειρά Fourier  πρώτα κατά x και στη συνέχεια κατά y ή και το αντίστροφο Ty Γωνιακές συχνότητες κατά x και y Tx

Ανάπτυγμα σειράς στο επίπεδο (2D) Η αρμονική ανάπτυξη στο επίπεδο της συνάρτησης 2 μεταβλητών Συναρτήσεις βάσης Fourier Ty Tx

Ανάπτυγμα σειράς στο επίπεδο (2D) Για τον υπολογισμό των συντελεστών της σειράς χρησιμοποιείται ο ορισμός του εσωτερικού γινομένου συναρτήσεων

Ανάπτυγμα σειράς στο επίπεδο (2D) Για τη μιγαδική μορφή του αναπτύγματος στο επίπεδο (2Δ) Ήδη στις 2 διαστάσεις γίνεται κατανοητή η απλοποίηση των εξισώσεων με τη χρησιμοποίηση της μιγαδικής έκφρασης του αναπτύγματος Το γεγονός αυτό θα φανεί εντονότερα στη διαδικασία των μετασχηματισμών και ειδικότερα στην περίπτωση του ταχύ μετασχηματισμού Fourier (FFT)

Ανάπτυγμα σειράς σε n διαστάσεις Mε συμβολισμό πινάκων: πεδίο ορισμού: (ορθογώνιο υπερ-παραλληλεπίπεδο) (όγκος υπερ-παραλληλεπιπέδου)

Ανάπτυγμα σειράς στον κύκλο Η αρμονική ανάλυση στον κύκλο επιτυγχάνεται από τους γενικούς τύπους εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή t αντικατασταθεί με τη γωνία θ Το πεδίο ορισμό στον κύκλο (0 < θ ≤ 2π) είναι εξ’ ορισμού περιοδικό και ισχύουν: θ

Αρμονική ανάλυση στη σφαίρα – Σφαιρικές αρμονικές Η σημαντικότερη οικογένεια αρμονικών συναρτήσεων που αφορούν στο πεδίο βαρύτητας είναι οι σφαιρικές αρμονικές (spherical harmonics) Απαραίτητος ο μετασχηματισμός σε σφαιρικές συντεταγμένες

Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές Σφαιρικές αρμονικές Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές Για την εύρεση των τιμών των επιφανειακών σφαιρικών αρμονικών απαιτείται ένας νέος διαχωρισμός της συνάρτησης σε συναρτήσεις ανεξάρτητων μεταβλητών Οι λύσεις αυτών των συναρτήσεων αποδεικνύεται ότι είναι της μορφής Οι συναρτήσεις ονομάζονται προσαρτημένες συναρτήσεις Legendre πρώτου είδους βαθμού n και τάξης m (associated Legendre functions of the first kind of degree n and order m)

Ανάπτυξη σε σφαιρικές αρμονικές Σφαιρικές αρμονικές Ανάπτυξη σε σφαιρικές αρμονικές Κάθε γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω εξισώσεων θα αποτελεί επίσης λύση της εξίσωσης του Laplace (anm και bnm συντελεστές  ο υπολογισμός τους περιγράφεται αργότερα) Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα ισχύει για τη συνάρτηση V Εσωτερικά της συνοριακής επιφάνειας Εξωτερικά της συνοριακής επιφάνειας

Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές n = 6, m = 0 n = 6, m = 6 n = 6, m = 4

Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές Παραδείγματα σφαιρικών αρμονικών n=0 n=4 m=0 m=n

Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές Παραδείγματα σφαιρικών αρμονικών

Ανάπτυξη αποχών γεωειδούς n = 30 n = 720

Επέκταση συνάρτησης στο διάστημα εκτός του [0, Τ] T 2T 3T –T –2T H επέκταση είναι συνάρτηση περιοδική, με περίοδο Τ για κάθε ακέραιο n ΑΙΤΙΑ ΣΥΝΗΘΟΥΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΗΣ: «Η ανάλυση σε σειρές Fourier ασχολείται με περιοδικές συναρτήσεις»

Ανακεφαλαίωση Φασματική ανάλυση Σειρές Fourier Ανάπτυξη σε πραγματική και μιγαδική μορφή Αναπτύγματα στο επίπεδο, στον κύκλο και στη σφαίρα Παραδείγματα ανάπτυξης συναρτήσεων