ΚΑΙ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΄΄ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ΄΄ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΡΙΑ Π. ΖΕΒΛΗ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ:Ν. ΚΑΡΑΜΠΕΤΑΚΗΣ ΕΠΙΚ.ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α.Π.Θ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2006

Β. ΤΑ ΙΔΙΟΜΟΡΦΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥΣ Α. ΤΑ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΧΩΡΟΥ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥΣ Το δισδιάστατο Roesser μοντέλο Τα Fornasini- Marchesini μοντέλα Το Attasi μοντέλο Τοπική ελεγξιμότητα, παρατηρησιμότητα Εφαρμογή δισδιάστατου μοντέλου της μορφής χώρου καταστάσεων Β. ΤΑ ΙΔΙΟΜΟΡΦΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥΣ Η προς τα εμπρός λύση του γενικευμένου ιδιόμορφου μοντέλου H προς τα πίσω λύση του γενικευμένου ιδιόμορφου μοντέλου Η συμμετρική λύση του γενικευμένου ιδιόμορφου μοντέλου Τοπική ελεγξιμότητα, εφικτότητα και αναδομησιμότητα Εφαρμογή δισδιάστατου ιδιόμορφου μοντέλου

Α. Το δισδιάστατο Roesser μοντέλο Οριακές συνθήκες για j+1 i+1 i j Οριακές συνθήκες στο Roesser μοντέλο

Β1. Το πρωτο Fornasini-Marchesini μοντέλο (F-MM I) Οριακές συνθήκες για j+1 i+1 i j Οριακές συνθήκες στο F-MM I

Β2. Το δεύτερο Fornasini-Marchesini μοντέλο (F-MM ΙI) Οριακές συνθήκες για j+1 i+1 i j Οριακές συνθήκες στο F-MM IΙ

με Γ. Το Attasi μοντέλο Οριακές συνθήκες για j+1 i+1 i j Οριακές συνθήκες στο Attasi μοντέλο

Ισοδυναμία δισδιάστατων μοντέλων χώρου καταστάσεων Σύγκριση F-MM I και Roesser μοντέλου Ορίζουμε και Λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση του F-MM I , παίρνουμε: και Μορφή του Roesser μοντέλου: Κατά συνέπεια το F-MM I μπορεί να ανασχηματιστεί σε Roesser μοντέλο αν θέσουμε όπου:

Πραγματοποιώντας τις πράξεις καταλήγουμε στην: Αντίστροφα, είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι αν θεωρήσουμε ότι ισχύουν οι σχέσεις : τότε με τις εξής ισοδυναμίες: Με την αντικατάσταση των πιο πάνω σχέσεων στο Roesser μοντέλο έχουμε: Πραγματοποιώντας τις πράξεις καταλήγουμε στην: Επομένως το Roesser μοντέλο μπορεί να γραφτεί στην μορφή του F-MM I με τις σχέσεις που ορίσαμε πιο πάνω.

για κάθε ΟΡΙΣΜΟΣ: για ή Ο πίνακας μετάβασης του πίνακα Ο πίνακας μετάβασης του πίνακα (state-transition matrix) ορίζεται ως εξής: για ή για κάθε

ΟΡΙΣΜΟΣ: Ο 2-D μετασχηματισμός-z μιας διακριτής 2-D συνάρτησης συμβολίζεται με ικανοποιεί τις συνθήκες: για ή και ορίζεται απο τη σχέση: ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν τότε ισχύει: και όπου ΠΟΡΙΣΜΑ: Αν τότε ισχύει:

Ι. Απόκριση του Roesser μοντέλου χώρου καταστάσεων ΘΕΩΡΗΜΑ: Η λύση δίνεται από την σχέση: όπου Η απόκριση του συστήματος δίνεται από την πιο κάτω σχέση

ΙΙ. Απόκριση του Roesser μοντέλου χώρου καταστάσεων συναρτήσει των 2-D ιδιοτιμών Ορισμός: Το 2-D χαρακτηριστικό πολυώνυμο , ενός πίνακα ορίζεται ως εξής: η 2-D χαρακτηριστική εξίσωση του Οι 2-D ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι το ζευγάρι το οποίο ικανοποιεί ταυτόχρονα τις πιο κάτω εξισώσεις: i. για ii. = 0 για iii. όπου για κάθε ζευγάρι ακεραίων Αν το 2-D χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι παραγοντοποιήσιμο: όπου Τότε το σύνολο των 2-D ιδιοτιμών του είναι: όπου

Αν το 2-D χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι παραγοντοποιήσιμο τότε η λύση του Roesser μοντέλου με οριακές συνθήκες δίνεται από τον τύπο: για , όπου και η ορίζεται από τη σχέση Η απόκριση του συστήματος:

ΙΙΙ. Απόκριση του Fornasini- Marchesini Ι μοντέλου Θεώρημα Η λύση του F-MM I με οριακές συνθήκες έχει την μορφή για και όπου παίρνουμε την γενική απόκριση για το Fornasini- Marchesini Ι: για

Ο πίνακας μετάβασης για το Fornasini- Marchesini ΙΙ ΟΡΙΣΜΟΣ: Ο πίνακας μετάβασης για το Fornasini- Marchesini ΙΙ (state-transition matrix) ορίζεται ως εξής: για κάθε , για ή για κάθε

IV. Απόκριση του Fornasini- Marchesini ΙΙ μοντέλου Θεώρημα Η λύση του F-MM II με οριακές συνθήκες δίνεται από την σχέση: για Η γενική απόκριση του συστήματος: για

Ιδιότητες των δισδιάστατων μοντέλων χώρου καταστάσεων Τοπική ελεγξιμότητα του Roesser Μοντέλου στο χώρο καταστάσεων Ορισμός: Για το ορθογώνιο ορίζεται ως εξής: Ορισμός: Το Roesser μοντέλο στο χώρο καταστάσεων είναι τοπικά ελέγξιμο στο ορθογώνιο αν και μόνο αν, για οριακές συνθήκες: για και και κάθε διάνυσμα ( ), υπάρχει ακολουθία εισόδων u έτσι ώστε να ισχύει

Θεώρημα: Το Roesser μοντέλο στο χώρο καταστάσεων είναι τοπικά ελέγξιμο στο ορθογώνιο αν και μόνο αν ισχύει: όπου είναι ο πίνακας ελεγξιμότητας και ορίζεται: και Θεώρημα : Το Roesser μοντέλο είναι τοπικά ελέγξιμο στο ορθογώνιο αν και μόνο ο πίνακας είναι θετικά ορισμένος

Τοπική ελεγξιμότητα στα Fornasini-Marchesini Μοντέλα Ορισμός: Το F-MM Ι (αντιστ. το F-MM ΙΙ) είναι τοπικά ελέγξιμο στο ορθογώνιο με και με για κάθε σύνολο οριακών συνθηκών και κάθε διάνυσμα , υπάρχει ακολουθία εισόδων , u έτσι ώστε . Θεώρημα: Το F-MM I είναι τοπικά ελέγξιμο στο ορθογώνιο αν και μόνο αν ισχύει: , όπου Θεώρημα: Το F-MM II είναι τοπικά ελέγξιμο στο ορθογώνιο αν και μόνο αν ισχύει:

Τοπική παρατηρησιμότητα (Local Observability) του Roesser Μοντέλου στο χώρο καταστάσεων Ορισμός: Το Roesser μοντέλο είναι τοπικά παρατηρήσιμο στο ορθογώνιο αν και μόνο αν δεν υπάρχει αρχικό διάνυσμα κατάστασης έτσι ώστε για μηδενικές εισόδους για και μηδενικές οριακές συνθήκες για και για το διάνυσμα εξόδου να είναι και αυτό μηδέν

Το Roesser μοντέλο είναι τοπικά παρατηρήσιμο στο ορθογώνιο Θεώρημα: Το Roesser μοντέλο είναι τοπικά παρατηρήσιμο στο ορθογώνιο αν και μόνο αν ο πίνακας παρατηρησιμότητας έχει πλήρη τάξη γραμμών: όπου Θεώρημα: Το Roesser μοντέλο είναι τοπικά παρατηρήσιμο στο ορθογώνιο είναι θετικά ορισμένος. αν και μόνο ο πίνακας

Τοπική παρατηρησιμότητα (Local Observability) στο Fornasini-Marchesini Μοντέλο ΙI Ορισμός: Το F-MM II είναι τοπικά παρατηρήσιμο στο ορθογώνιο , αν και μόνο αν δεν υπάρχει τοπικό αρχικό διάνυσμα κατάστασης έτσι ώστε για μηδενικές εισόδους u , με και μηδενικές οριακές συνθήκες , για και , για , το διάνυσμα εξόδου να είναι και αυτό μηδέν ,για Θεώρημα: . . Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι το F-MM IΙ τοπικά παρατηρήσιμο στο ορθογώνιο είναι :

Εφαρμογή μοντέλου μορφής χώρου καταστάσεων Θεωρούμε την εξίσωση: με αρχικές και οριακές συνθήκες Heat Exchanger και για και Με την μέθοδο διακριτοποίησης προκύπτει: με συνθήκη ευστάθειας: ορίζουμε και στην μορφή του Roesser μοντέλου : όπου

Θέλουμε να βρούμε την λύση του με οριακές συνθήκες και διάνυσμα εισόδου , και Ας θεωρήσουμε ότι , και Τότε: Ελέγχουμε αν ισχύει η συνθήκη ευστάθειας: Η γενική απόκριση του μοντέλου για και

Το RM είναι τοπικά ελέγξιμο στο ορθογώνιο ; , τοπικά ελέγξιμο Το RM είναι τοπικά παρατηρήσιμο; τοπικά παρατηρήσιμο

Τα δισδιάστατα γενικευμένα ιδιόμορφα μοντέλα Το δισδιάστατο γενικευμένο ιδιόμορφο μοντέλο (General Singular Model) Το πρώτο γενικευμένο ιδιόμορφο Fornasini - Marchesini μοντέλο: Το δεύτερο γενικευμένο ιδιόμορφο Fornasini - Marchesini μοντέλο Το γενικευμένο ιδιόμορφο Attasi μοντέλο: Το δισδιάστατο γενικευμένο ιδιόμορφο Roesser μοντέλο ,

Η ισοδυναμία των ιδιόμορφων μοντέλων Σύγκριση γενικευμένο ιδιόμορφου μοντέλου και ιδιόμορφου Roesser μοντέλου Ορίζοντας για και τότε το γενικευμένο ιδιόμορφο μοντέλο μπορεί να γραφτεί στην μορφή του ιδιόμορφου Roesser μοντέλου: . Αντίστροφα: Ο πίνακας E στο Roesser μοντέλο γράφεται και σαν , όπου και Τότε το Roesser μοντέλο μπορεί να γραφτεί στην μορφή του ιδιόμορφου γενικευμένου μοντέλου με την βοήθεια των σχέσεων:

Οριακές συνθήκες για τα δισδιάστατα ιδιόμορφα μοντέλα Οι οριακές συνθηκες και για λέγονται επιτρεπτές στο ορθογώνιο αν για δοσμένη ακολουθία εισόδου u υπάρχει ακολουθία διανυσμάτων κατάστασης που ικανοποιεί την εξίσωση του γενικευμένου ιδιόμορφου , μοντέλου για όλα τα και , Ικανή και αναγκαία συνθήκη: όπου

Η προς τα εμπρός λύση (forward solution) του GSM για για Οι αρχικές συνθήκες στο ορθογώνιο Εφαρμόζοντας τον 2-D μετασχηματισμό-z στο GSM παίρνουμε: Το γενικευμένο ιδιόμορφο μοντέλο (GSM) έχει μοναδική λύση για κάθε είσοδο και επιτρεπτές αρχικές συνθήκες αν και μόνο αν Αν θεωρήσουμε ότι για κάποια τότε ο αντίστροφος πίνακας μπορεί να γραφτεί ως ανάπτυγμα Laurent στο άπειρο , Αναγκαία και ικανή συνθήκη: = +

q <- για για και/ ή n για και/ ή για και/ ή 2 q <- Χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο 2-D μετασχηματισμό-z παίρνουμε την προς τα εμπρός λύση του GSM: Τότε η γενική απόκριση του γενικευμένου ιδιόμορφου μοντέλου δίνεται από την:

H προς τα πίσω λύση (backward solution) του GSM για Οι τελικές συνθήκες στο ορθογώνιο To ανάπτυγμα Laurent στο μηδέν του πίνακα δίνεται από τη σχέση: = Θεωρούμε τον δυϊκό πίνακα του : = = Τότε το ανάπτυγμα Laurent στο άπειρο του αντίστροφου δυϊκού πίνακα γράφεται: όπου και για και Εφαρμόζοντας τον 2-D μετασχηματισμό-z παίρνουμε:

Χρησιμοποιώντας τον 2-D αντίστροφο μετασχηματισμό και λαμβάνοντας υπόψη ότι για ή παίρνουμε την forward λύση του δυϊκού μοντέλου Θεώρημα: Αν είναι η λύση του δυϊκού γενικευμένου ιδιόμορφου μοντέλου μοντέλου για μη-μηδενική είσοδο , τότε η ακολουθία διανυσμάτων κατάστασης είναι η λύση του του γενικευμένου ιδιόμορφου μοντέλου για μη μηδενική είσοδο .

Θεώρημα: Αν ισχύει , τότε η μοναδική backward λύση του GSM με επιτρεπτές τελικές συνθήκες δίνεται από την σχέση: H απόκριση δίνεται:

Ορίζουμε τώρα τους πίνακες: και τα διανύσματα: Η συμμετρική λύση του γενικευμένου ιδιόμορφου μοντέλου (symmetric solution) Οι οριακές συνθήκες γράφονται στην μορφή: για όπου και είναι πίνακες με πλήρη τάξη γραμμών και τα , είναι δοσμένα διανύσματα . Ορίζουμε τώρα τους πίνακες: και τα διανύσματα:

τότε για , όπου Το 2-D γενικευμένο ιδιόμορφο μοντέλο μπορεί να ξαναγραφτεί στην μορφή: Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση αυτή με τον πίνακα

προκύπτει Σύμφωνα με την παραπάνω οι οριακές συνθήκες πρέπει να ικανοποιούν τις εξισώσεις: και Αν ισχύει , τότε η μοναδική συμμετρική λύση του του γενικευμένου ιδιόμορφου μοντέλου με επιτρεπτές οριακές συνθήκες δίνεται από την σχέση: + + + + +

Ιδιότητες του δισδιάστατου γενικευμένου ιδιόμορφου μοντέλου Ιδιότητες του δισδιάστατου γενικευμένου ιδιόμορφου μοντέλου 1.Τοπική ελεγξιμότητα του γενικευμένου ιδιόμορφου μοντέλου (Local controllability) Ορισμός: Το γενικευμένο ιδιόμορφο μοντέλο (GSM) είναι τοπικά ελέγξιμο στο ορθογώνιο αν για κάθε σύνολο επιτρεπτών οριακών συνθηκών, υπάρχει ακολουθία διανυσμάτων εισόδου u , για τέτοια ώστε η κατάσταση Το γενικευμένο ιδιόμορφο μοντέλο είναι τοπικά ελέγξιμο, αν για κάθε , υπάρχει πολυωνυμικό διάνυσμα , έτσι ώστε το να είναι πολυωνυμικό διάνυσμα. όπου και

Θεώρημα: Θεώρημα: Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες: (1) Το γενικευμένο ιδιόμορφο μοντέλο είναι τοπικά ελέγξιμο. (2)Υπάρχουν πολυωνυμικοί πίνακες έτσι ώστε: (3) όπου Θεώρημα: Το γενικευμένο ιδιόμορφο μοντέλο είναι τοπικά ελέγξιμο στο ορθογώνιο αν και μόνο αν ισχύει όπου = και και και με με

2. Τοπική εφικτότητα του γενικευμένου ιδιόμορφου μοντέλου (Local Reachability) Ορισμός: Το γενικευμένο ιδιόμορφο μοντέλο είναι τοπικά εφικτό (locally reachable) στο ορθογώνιο αν για αποδεκτές οριακές συνθήκες και για κάθε διάνυσμα , υπάρχει ακολουθία διανυσμάτων εισόδου: όπου και , έτσι ώστε να ισχύει . Θεώρημα: Το γενικευμένο ιδιόμορφο μοντέλο είναι τοπικά εφικτό στο ορθογώνιο αν και μόνο αν Ορισμός: Το γενικευμένο ιδιόμορφο μοντέλο είναι τοπικά εφικτό αν για κάθε διάνυσμα υπάρχει πολυωνυμικό διάνυσμα έτσι ώστε το να είναι πολυωνυμικό διάνυσμα, όπου και

Θεώρημα Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες: (1) Το γενικευμένο ιδιόμορφο μοντέλο είναι τοπικά εφικτό. (2) Υπάρχει διάνυσμα έτσι ώστε να ισχύει , για όλα τα όπου (3) Υπάρχει ένα μη-πολυωνυμικό διάνυσμα , έτσι ώστε όπου είναι ένα μη μηδενικό πολυωνυμικό διάνυσμα και είναι ένα μη μηδενικό πραγματικό διάνυσμα. (4) όπου , , v ¹

3.Τοπική αναδομησιμότητα του γενικευμένου ιδιόμορφου μοντέλου (Local Reconstructibility) Ορισμός: Το GSM ονομάζεται τοπικά αναδομήσιμο (local reconstructible) αν μπορεί να οριστεί το τοπικό διάνυσμα κατάστασης όταν το διάνυσμα εισόδου και το διάνυσμα εξόδου του GSM είναι γνωστά για , όπου είναι ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων μικρότερα του (0,0) και ορίζεται ως εξής : Θεώρημα: Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες: (1) Το γενικευμένο ιδιόμορφο μοντέλο είναι τοπικά αναδομήσιμο (reconstructible). (2) Υπάρχουν πολυωνυμικοί πίνακες έτσι ώστε: όπου (3) Για όλα τα , ισχύει

Εφαρμογή δισδιάστατου ιδιόμορφου μοντέλου. Μη αναδρομικές μάσκες (Nonrecursible Masks) Θεωρούμε την μη-αναδρομική μάσκα: Η αντίστοιχη διαφορική εξίσωση της μη αναδρομικής μάσκας δίνεται από την Χρησιμοποιώντας τον δισδιάστατο μετασχηματισμό–z η πιο πάνω εξίσωση γίνεται Τότε η συνάρτηση μεταφοράς:

Το Roesser ιδιόμορφο μοντέλο είναι ισοδύναμο με το γενικευμένο ιδιόμορφο μοντέλο: Να βρούμε την απόκριση του μοντέλου, για μηδενικές οριακές συνθήκες στο ορθογώνιο και διάνυσμα εισόδου

το ανάπτυγμα του Laurent στο άπειρο Τότε η απόκριση του μοντέλου στο ορθογώνιο δίνεται από την

Το GSM, είναι τοπικά ελέγξιμο στο ορθογώνιο ; = τοπικά ελέγξιμο Το GSM είναι τοπικά εφικτό; δεν είναι τοπικά εφικτό Το GSM είναι τοπικά αναδομήσιμο; = τοπικά αναδομήσιμο