Προβλήματα μεταφοράς, μεταφόρτωσης και ανάθεσης Κεφάλαιο 6

Θέματα Κεφαλαίου Το μοντέλο μεταφοράς Υπολογιστική Επίλυση ενός Προβλήματος Μεταφοράς Το μοντέλο μεταφόρτωσης Το μοντέλο ανάθεσης Υπολογιστική Επίλυση ενός Προβλήματος Ανάθεσης Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Επισκόπηση Αποτελούν μέρος μιας ευρύτερης κατηγορίας προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού που είναι γνωστά ως προβλήματα ροής δικτύου Έχουν ειδικά μαθηματικά χαρακτηριστικά, τα οποία επιτρέπουν την ανάπτυξη πολύ αποτελεσματικών, μοναδικών μεθόδων επίλυσης (παραλλαγές της παραδοσιακής διαδικασίας Simplex). Λεπτομερής περιγραφή της μεθόδου παρατίθεται στην ειδική ιστοσελίδα του βιβλίου. Το κεφάλαιο επικεντρώνεται στη διαμόρφωση και λύση του μοντέλου με τη χρήση του Excel και του QM για τα Windows. Στον δικτυακό τόπο του βιβλίου η ενότητα B καλύπτει τις μεθόδους λύσεων μεταφοράς και εκχώρησης. Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Το μοντέλο μεταφοράς: Χαρακτηριστικά Ένα προϊόν μεταφέρεται από έναν αριθμό πηγών σε έναν αριθμό προορισμών με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Κάθε πηγή είναι ικανή να παρέχει έναν καθορισμένο αριθμό μονάδων του προϊόντος και κάθε προορισμός έχει καθορισμένη ζήτηση για το προϊόν Το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού έχει περιορισμούς για την προσφορά σε κάθε πηγή και την ζήτηση σε κάθε προορισμό Όλοι οι περιορισμοί είναι ισότητες σε ένα ισορροπημένο μοντέλο μεταφοράς όπου η προσφορά ισούται με τη ζήτηση. Οι περιορισμοί περιλαμβάνουν ανισότητες στα μη ισορροπημένα μοντέλα όπου η προσφορά δεν ισούται με τη ζήτηση. Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφοράς Διατύπωση Προβλήματος και Δεδομένα Πόσοι τόνοι σιταριού που πρέπει να μεταφέρονται από κάθε σιλό σε κάθε μύλο σε μηνιαία βάση για να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος μεταφοράς. Σιλό Σιτηρών Προσφορά Μύλος Ζήτηση 1. Κάνσας Σίτι 150 A. Σικάγο 220 2. Ομάχα 175 B. Σέντ Λιούις 100 3. Ντε Μόιν 275 C. Σινσινάτι 300 Σύνολο 600 τόνοι Σύνολο 600 τόνοι Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφοράς Δίκτυο Οδών Μεταφοράς Σχήμα 6.1 Δίκτυο οδών μεταφοράς για τις μεταφορές σιταριού Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφοράς Διαμόρφωση Μοντέλου Ελαχιστοποίηση Z = $6x1A + 8x1B + 10x1C + 7x2A + 11x2B + 11x2C + 4x3A + 5x3B + 12x3C υπό περιορισμούς: x1A + x1B + x1C = 150 x2A + x2B + x2C = 175 x3A + x3B + x3C = 275 x1A + x2A + x3A = 200 x1B + x2B + x3B = 100 x1C + x2C + x3C = 300 xij  0 xij = τόνοι σιταριού από κάθε σιλό, i, i = 1, 2, 3, Προς κάθε μύλο j, j = A,B,C Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφοράς Υπολογιστική Λύση μέσω Excel (1 από 4) Αντικειμενική συνάρτηση =C7+D7+E7 Πίνακας κόστους στα κελιά K5:M7 Μεταβλητές απόφασης στα κελιά C5:E7 =D5+D6+D7 Εικόνα 6.1 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφοράς Υπολογιστική Λύση μέσω Excel(2 από 4) Περιορισμοί προσφοράς Περιορισμοί ζήτησης Copyright © 2016 Pearson Education, Inc. Εικόνα 6.2

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφοράς Υπολογιστική Λύση μέσω Excel (3 από 4) Εικόνα 6.3 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφοράς Υπολογιστική Λύση μέσω Excel(4 από 4) Κάνσας Σίτι (150) Σικάγο (200) Ομάχα (175) Σεντ Λούις (100) Ντε Μόιν (275) Σινσινάτι (300) Σχήμα 6.2 Λύση δικτύου μεταφοράς για το παράδειγμα της αποστολής σιταριού Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφοράς Υπολογιστική Λύση μέσω Excel QM (1 από 3) Εικόνα 6.4 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφοράς Υπολογιστική Λύση μέσω Excel QM (2 από 3) 1. Πατήστε “Excel QM” και μετά στο “By chapter” για πρόσβαση στο μενού επιλογών 2.Εισάγετε τις τιμές των δεδομένων για τα προβλήματα. Αρχικά αυτός ο πίνακας είναι κενός Copyright © 2016 Pearson Education, Inc. Εικόνα 6.5

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφοράς Υπολογιστική Λύση μέσω Excel QM (3 από 3) Επιλέξτε την καρτέλα “Data” και μετά “Solver” Εικόνα 6.6 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφοράς Υπολογιστική Λύση μέσω QM για τα Windows (1 από 4) Χρησιμοποιήστε οποιαδήποτε μέθοδο εκκίνησης Εικόνα 6.7 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφοράς Υπολογιστική Λύση μέσω QM για τα Windows (2 από 4) Σημειώνεται ότι υπάρχουν «πολλαπλές βέλτιστες λύσεις» Εικόνα 6.8 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφοράς Υπολογιστική Λύση μέσω QM για τα Windows (3 από 4) Εικόνα 6.9 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφοράς Υπολογιστική Λύση μέσω QM για τα Windows (4 από 4) Αλλαγή κόστους Πρόσθετη νέα σειρά για την περίπτωση όπου ζήτηση ≥ προσφορά Ανάλυση ευαισθησίας του παραδείγματος μεταφοράς Εικόνα 6.10 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Το μοντέλο μεταφόρτωσης Χαρακτηριστικά Επέκταση του μοντέλου μεταφοράς. Ενδιάμεσα σημεία μεταφόρτωσης προστίθενται ανάμεσα στις πηγές και τους προορισμούς. Αγαθά μπορεί να μεταφέρονται από : Πηγές μεταξύ των σημείων μεταφόρτωσης στους προορισμούς Από τη μια πηγή στην άλλη Από το ένα σημείο μεταφόρτωσης στο άλλο Από τον έναν προορισμό στον άλλον Απευθείας από πηγές σε προορισμούς Κάποιον συνδυασμό των παραπάνω S1 S2 D1 T1 T2 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφόρτωσης Διατύπωση Προβλήματος και Δεδομένα Επέκταση του μοντέλου μεταφοράς στο οποίο προστίθενται ενδιάμεσα σημεία μεταφόρτωσης μεταξύ πηγών και προορισμών. Shipping Costs 1. Νεμπράσκα 2. Κολοράντο Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Σχήμα 6.3 Δίκτυο διαδρομών μεταφόρτωσης Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφόρτωσης Δίκτυο διαδρομών μεταφόρτωσης 3 Κάνσας Σίτι 6 Σικάγο 1 Νεμπράσκα 4 Ομάχα 7 Σεντ Λούις 2 Κολοράντο 5 Ντε Μόιν 8 Σινσινάτι Σχήμα 6.3 Δίκτυο διαδρομών μεταφόρτωσης Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφόρτωσης Διαμόρφωση Μοντέλου Μεγιστοποίηση Z = $16x13 + 10x14 + 12x15 + 15x23 + 14x24 + 17x25 + 6x36 + 8x37 + 10x38 + 7x46 + 11x47 + 11x48 + 4x56 + 5x57 + 12x58 υπό περιορισμούς: x13 + x14 + x15 = 300 x23 + x24 + x25 = 300 x36 + x46 + x56 = 200 x37 + x47 + x57 = 100 x38 + x48 + x58 = 300 x13 + x23 - x36 - x37 - x38 = 0 x14 + x24 - x46 - x47 - x48 = 0 x15 + x25 - x56 - x57 - x58 = 0 xij  0 Περιορισμοί προσφοράς για αγροκτήματα στην Νεμπράσκα και το Κολοράντο. Περιορισμοί ζήτησης στους μύλους του Σικάγο, Σέντ Λιούις και Σινσινάτι. Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφόρτωσης Υπολογιστική Λύση μέσω Excel (1 από 3) Αντικειμενική συνάρτηση =SUM(B6:B7) =SUM(B6:D6) Πίνακες κόστους =SUM(C13:C15) =SUM(C13:E13) Περιορισμοί για ροές μεταφόρτωσης, δηλαδή εισερχόμενες ποσότητες = εξερχόμενες ποσότητες Εικόνα 6.11 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφόρτωσης Υπολογιστική Λύση μέσω Excel (2 από 3) Περιορισμοί μεταφόρτωσης στα κελιά C20:C22 Εικόνα 6.12 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Μεταφόρτωσης Λύση Δικτύου για την Αποστολή Σιταριού (3 από 3) Κάνσας Σίτι 3 6 Σικάγο (200) Νεμπράσκα 1 (300) 300 200 Ομάχα 4 7 Σεντ Λούις (100) Κολοράντο 2 (300) 300 100 300 5 Ντε Μόιν 8 Σινσινάτι (300) Σχήμα 6.4 Λύση δικτύου μεταφόρτωσης για το παράδειγμα της αποστολής σιταριού Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Το μοντέλο ανάθεσης Χαρακτηριστικά Ειδική μορφή μοντέλου γραμμικού προγραμματισμού, που είναι παρόμοιο με το μοντέλο μεταφοράς. Η προσφορά σε κάθε πηγή και η ζήτηση σε κάθε προορισμό περιορίζονται σε μία μονάδα Σε ένα ισορροπημένο μοντέλο η προσφορά ισούται με την ζήτηση. Σε ένα μη ισορροπημένο μοντέλο η προσφορά δεν ισούται με την ζήτηση. Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Ανάθεσης Διατύπωση Προβλήματος και Δεδομένα Problem: Ορισμός τεσσάρων ομάδων διαιτητών για τους τέσσερις αγώνες κατά τρόπο που θα ελαχιστοποιήσει τη συνολική απόσταση που πρέπει να καλύψουν οι διαιτητές. Η προσφορά είναι πάντα μία ομάδα διαιτητών και η ζήτηση είναι μόνο για μία ομάδα διαιτητών σε κάθε αγώνα. Τοποθεσίες αγώνων Διαιτητές Ράλεϊ Ατλάντα Ντέρχαμ Κλέμσον Α 210 90 180 160 Β 100 70 130 200 C 175 105 140 170 D 80 65 105 120 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Ανάθεσης Διαμόρφωση Μοντέλου Ελαχιστοποίηση Z = 210xAR + 90xAA + 180xAD + 160xAC + 100xBR +70xBA + 130xBD + 200xBC + 175xCR + 105xCA +140xCD + 170xCC + 80xDR + 65xDA + 105xDD + 120xDC υπό περιορισμούς: xAR + xAA + xAD + xAC = 1 xij  0 xBR + xBA + xBD + xBC = 1 xCR + xCA + xCD + xCC = 1 xDR + xDA + xDD + xDC = 1 xAR + xBR + xCR + xDR = 1 xAA + xBA + xCA + xDA = 1 xAD + xBD + xCD + xDD = 1 xAC + xBC + xCC + xDC = 1 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Ανάθεσης Υπολογιστική Λύση μέσω Excel (1 από 3) Αντικειμενική συνάρτηση Μεταβλήτες απόφασης, C5:F8 =C5+D5+E5+F5 =D5+D6+D7+D8 Πίνακας αποστάσεων σε μίλια Εικόνα 6.13 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Ανάθεσης Υπολογιστική Λύση μέσω Excel (2 από 3) Εικόνα 6.14 Simplex LP Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Ανάθεσης Υπολογιστική Λύση μέσω Excel (3 από 3) Copyright © 2016 Pearson Education, Inc. Εικόνα 6.15

Παράδειγμα Μοντέλου Ανάθεσης Λύση Δικτύου Ανάθεσης Σχήμα 6.5 Λύση δικτύου ανάθεσης για το παράδειγμα των διαιτητών αγώνων της ACC Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Μοντέλου Ανάθεσης Υπολογιστική Λύση μέσω Excel QM Copyright © 2016 Pearson Education, Inc. Εικόνα 6.16

Παράδειγμα Μοντέλου Ανάθεσης Υπολογιστική Λύση μέσω QM για τα Windows (1 από 2) Copyright © 2016 Pearson Education, Inc. Εικόνα 6.17

Παράδειγμα Μοντέλου Ανάθεσης Υπολογιστική Λύση μέσω QM για τα Windows (2 από 2) Εικόνα 6.18 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Λύσης Προβλήματος Περιγραφή Προβλήματος Μεταφοράς Μια τσιμεντοβιομηχανία μεταφέρει τσιμέντο από τρία εργοστάσια σε τρία εργοτάξια. Οι δυνατότητες παραγωγής (προσφορά) των τριών εργοστασίων, οι απαιτήσεις της ζήτησης στα τρία εργοτάξια και τα κόστη της μεταφοράς ανά τόνο έχουν ως εξής: Διαμορφώστε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για το πρόβλημα αυτό και λύστε το χρησιμοποιώντας το Excel. Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Λύσης Προβλήματος Διαμόρφωση Μοντέλου Ελαχιστοποίηση Z = $8x1A + 5x1B + 6x1C + 15x2A + 10x2B + 12x2C +3x3A + 9x3B + 10x3C υπό περιορισμούς: x1A + x1B + x1C = 120 x2A + x2B + x2C = 80 x3A + x3B + x3C = 80 x1A + x2A + x3A  150 x1B + x2B + x3B  70 x1C + x2C + x3C  100 xij  0 Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Παράδειγμα Λύσης Προβλήματος Υπολογιστική Λύση Μέσω Excel Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.

Printed in the United States από America. All rights reserved. No part από this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission από the publisher. Printed in the United States από America. Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.