ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ ОЛИЙ ВА ЎРТА МАХСУС ТАЪЛИМ ВАЗИРЛИГИ ФАРҒОНА ПОЛИТЕХНИКА ИНСТИТУТ ҚУРИЛИШ ФАКУЛЬТЕТИ “Архитектура” кафедраси доценти А.А.Холмурзаевнинг “Чизма геометрия ва муҳандислик графика” фанидан ишчи ўқув дастурида режалаштирилган “Ортогонал проекцияларни қайта қуриш” мавзусидаги ТАҚДИМОТИ

Мавзу: ОРТОГОНАЛ ПРОЕКЦИЯЛАРНИ ҚАЙТА ТУЗИШ УСУЛЛАРИ Режа: 1. Умумий маълумотлар 2. Текис–параллел ҳаракатлантириш усули 3. Айлантириш усули

1. Умумий маълумотлар Геометрик шаклнинг проекцияларидаги ҳолатлари унинг фазода проекциялар текисликларига нисбатан жойлашувига боғлиқ. Умумий вазиятдаги геометрик шаклларнинг проекциялари проекциялар текисликларига қисқариб проекцияланади (1,а,б–расм). Агар геометрик шаклнинг проекцияси оригиналига тенг бўлиб проекцияланса, бу шаклга оид метрик характеристикаларни, масалан, ΔABC томонларининг ҳақиқий ўлчамлари, учларидаги бурчакларнинг қийматлари ва бошқа характеристикаларни аниқлаш мумкин (1,в–расм). 1–расм

Геометрик шаклнинг берилган ортогонал проекциялари асосида янги проекцияларини ясаш ортогонал проекцияларни қайта тузиш дейилади. Умумий вазиятда берилган геометрик шаклларни хусусий вазиятга келтириш асосан икки усулда бажарилади. Умумий вазиятда берилган геометрик шаклни фазода ҳаракатлантириб, проекциялар текислигига нисбатан хусусий вазиятга келтириш текис–параллел ҳаракатлантириш усули дейилади. Айлантириш усули. Бунда проекциялар текисликлари ўз ҳолатларини ўзгартирмайди. Проекцияланувчи шакл уларга қулай ҳолга келгунча бирор ўқ атрофида айлантирилади. Геометрик шаклнинг фазовий вазияти ўзгартирилмасдан проекциялар текисликлари системасини унга нисбатан хусусий вазиятга келгунча янги проекциялар текисликлари билан алмаштириш - проекциялар текисликларини алмаштириш усули дейилади. 1. Умумий маълумотлар

Текис–параллел ҳаракатлантириш усули Бу усулда фазода берилган геометрик шаклнинг ҳар бир нуқтаси проекциялар текислигига параллел бўлган горизонтал ёки фронтал текисликларда ҳаракатлантирилади. Шунинг натижасида ҳосил бўлган янги проекцияси проекциялар текислигига нисбатан вазияти ўзгаради. 2-а,б–расмда A нуқта H1 горизонтал текисликда ҳаракатлантирилиб A1 вазиятга келтирилган. Бунда A нуқта A1 вазиятга қандай траектория (тўғри ёки эгри чизиқлар) бўйлаб ҳаракатлантирилишидан қатъий назар, унинг A″ фронтал проекцияси (A1″ вазиятга) текисликнинг H1V изи бўйича ҳаракатланади. Шунингдек 3-а,б–расмдаги B нуқта V1 фронтал текисликда B1 вазиятга ҳар қандай траектория бўйича ҳаракатлантирилмасин, унинг B′ проекцияси V1H изи бўйича ҳаракатланиб, B′1 вазиятни эгаллайди. 2–расм 3–расм

Текис–параллел ҳаракатлантириш усули 1–масала. Умумий вазиятда берилган AB кесмани V текисликка параллел вазиятга келтирилсин AB∥V бўлиши учун чизмада A′B′∥Ox бўлиши керак. Демак, бу мисолни ечиш учун H текисликда (4-а–расм) ихтиёрий A1′ нуқта танлаб, у орқали Ox ўқига параллел l′ тўғри чизиқ ўтказамиз ва унга A1′B1′=A′B′ кесмани ўлчаб қўямиз. Кесманинг янги фронтал проекциясини параллел ҳаракатлантириш хусусиятига мувофиқ аниқлаймиз: Kесманинг A″ ва B″ проекциялари мос равишда H1V ва H2V бўйича Ox ўқига параллел равишда ҳаракатланади ва A1″, B1″ вазиятларга келади. Натижада, V текисликка параллел A1B1(A1′B1′,A1″B1″) тўғри чизиқ кесмасининг проекциялари ҳосил бўлади. 4–расм

Текис–параллел ҳаракатлантириш усули Масала. Умумий вазиятдаги AB(A′B′,A″B″) кесма H текисликка перпендикуляр вазиятга келтирилсин (5–расм). Ечиш. Дастлаб AB кесмани ҳаракатлантириб, V текисликка параллел A1B1(A′1B′1,A1″B1″) вазиятга келтирамиз. Сўнгра ихтиёрий B2″ нуқта танлаб оламиз ва бу нуқтадан b2″⊥Ox тўғри чизиқ ўтказамиз ва унга A2″B2″=A1″B1″ кесмани ўлчаб қўямиз. Кесманинг горизонтал проекцияси b1′ чизиқ бўйича ҳаракатланиб, A2″≡B2″≡ b2″ бўлиб проекцияланади. 5–расм

Текис–параллел ҳаракатлантириш усули 3–масала. Умумий вазиятда берилган P(PH, PV) текислик H текислигига перпендикуляр вазиятга келтирилсин (6–расм). Ечиш. P текисликнинг ихтиёрий f(f′, f″) фронтали ўтказилади. Сўнгра Ox ўқида ихтиёрий нуқтадан f1″⊥Ox қилиб ўтказамиз ва чизмада кўрсатилган  масофада текис-ликнинг фронтал изи P1V⊥Ox (ёки P1V∥f1″) қилиб ўтказамиз. Текисликнинг P1H горизонтал изи P1х ва f 1′ нуқталардан ўтади. 6–расм

Текис–параллел ҳаракатлантириш усули 4–масала. D(D′, D″) нуқтадан ∆ABC(∆A′B′C′, ∆A″B″C″) текисликкача бўлган масофа аниқлансин (7-расм). Ечиш. 1. ∆ABC ни параллел ҳаракатлантириб, проекциялар текисликларининг бирига, масалан, V текисликка перпендикуляр вазиятга келтирамиз. Бунинг учун мазкур учбурчакни A1′11′нинг h(h′, h″) горизонталини V текисликка перпендикуляр вазиятга келтириб, A1′11′=A′1′ ва ∆A1′B1′С1′=∆A′B′С′ қилиб ясалади. D′ нуқтанинг D1′ вазияти ҳам планиметрик ясашларга асосан ясалади. Бунда учбурчакнинг янги фронтал проекцияси C1″A1″B1″ кесма тарзида проекцияланади. Параллел ҳаракатлантиришнинг қоидаларига асосан D нуқтанинг янги D′1 ва D″1 проекцияларини аниқлаймиз. 2. Масофанинг ҳақиқий ўлчами D1″ нуқтадан C1″A1″B1″ кесмага туширилган D1″E1″ перпендикуляр билан ўлчанади. Изланган масофанинг горизонтал проекцияси D1′E1′ эса Ox ўқига параллел бўлади.

Текис–параллел ҳаракатлантириш усули 4–масала. D(D′, D″) нуқтадан ∆ABC(∆A′B′C′, ∆A″B″C″) текисликкача бўлган масофа аниқлансин (7-расм). 7–расм

Айлантириш усули Геометрик шаклларни проекциялар текислигига перпендикуляр ўқ атрофида айлантириш. Нуқтани айлантириш. H ва V текисликлар системасида ихтиёрий A нуқта ва i айланиш ўқи берилган бўлсин (8-а-расм). Агар A нуқтани i⊥V айланиш ўқи атрофида ҳаракатлантирсак, мазкур нуқта V текисликка параллел V1 текисликда радиуси OA га тенг айлана бўйича ҳаракатланади. Шунингдек, A нуқтанинг ҳаракатланиш траекториясининг горизонтал проекцияси V1 текисликнинг V1Н изи бўйича ҳаракат қилади. Чизмада V1 текислик V текисликка параллел бўлгани учун A нуқтанинг фронтал проекцияси айлана бўйича, горизонтал проекцияси V1Н∥Ox бўйича ҳаракат қилади (8-b-расм). 8-a-расм 8-b-расм

Айлантириш усули B нуқтанинг H текисликка перпендикуляр i ўқи атрофида айлантирилиши 9-a-расмда кўрсатилган. B нуқта B1 вазиятга радиуси OB га тенг айлана бўйича H текисликка параллел бўлган Н1 текисликда ҳаракатланади. Бунда Н1 текислик H текисликка параллел бўлгани учун B нуқта ҳаракатланиш траекториясининг горизонтал проекцияси айлана бўйича, фронтал проекцияси Н1 текисликнинг Н1V изи бўйича Ox га параллел бўлиб ҳаракатланади. (9-b-расм). 9-a-расм 9-b-расм

Айлантириш усули 1–масала. Умумий вазиятдаги AB(A′B′, A″B″) кесмани V текисликка параллел вазиятга келтирилсин. (10-расм). Ечиш. AB кесманинг бирор, масалан B учидан i⊥H айлантриш ўқи ўтказилади. Сўнгра бу ўқ атрофиа кесманинг A′B′ горизонтал проекциясини A′B′∥Ox вазиятга келгунча айлантирамиз. Бунда AB кесманинг A″ нуқтаси Н1V∥Ox бўйича ҳаракатланиб, A″1 вазиятни эгаллайди. Шаклда ҳосил бўлган AB кесманинг янги A′1B′1 ва A″1B″1 проекциялари унинг V текисликка параллеллигини кўрсатади. Шаклдаги α бурчак AB кесмани H текислик билан ҳосил этган бурчаги бўлади. 10–расм

Айлантириш усули 2–масала. AB(A′B′, A″B″) кесмани i⊥H ўқ атрофида α бурчакка айлантириш талаб қилинсин. (11–расм) Ечиш. Кесмани α бурчакка айлантириш учун унинг A′ ва B′ проекцияларини берилган i ўқи атрофида A′O′1 ва B′O′2 радиуслари бўйича α бурчакка айлантириш кифоя қилади. Айлантириш усулининг қоидасига мувофиқ кесма учларининг A″ ва B″ проекциялари Н1V||Ox ва Н2V∥Ox бўйича ҳаракатланади. Натижада, ҳосил бўлган A1B1(A′1B′1,A″1B″1)кесма AB кесманинг α бурчакка айлантирилган вазияти бўлади. Бу мисолни қуйидагича ечиш ҳам мумкин: AB кесманинг A′B′ горизонтал проекциясига i айланиш ўқининг горизонтал проекцияси i′ дан унга перпендикуляр ўтказилади. (11-расм). Ҳосил бўлган E′O′ айлантириш радиусни талаб қилинган α бурчакка айлантирилади ва E′1O′ га перпендикуляр қилиб, ′ чизиқ ўтказилади. Бу чизиққа шаклдаги A′E′=A′1E′1 ва E′B′=E′1B′1 кесмалар ўлчаб қўйилади. Сўнгра A′1 B′1 нинг фронтал проекцияси A″1B″1 ясалади. Натижада AB кесманинг α бурчакка айлантирилган вазиятининг янги A′1B′1 ва A″1B″1 проекциялари ҳосил бўлади. 11–расм

Айлантириш усули 3–масала. Умумий вазиятдаги P(PH,PV) текисликни i(i′, i″)⊥H ўқ атрофида айлантириб фронтал проекцияловчи текислик вазиятига келтириш талаб этилсин (12–расм). Ечиш. P текисликнинг h(h′,h″) горизонтали i(i′, i″) ўқи орқали ўтказилади ва горизонталнинг i′ ўқи билан кесишиш нуқтаси O(O′,O″) топилади. Текислик билан унинг h(h′,h″) горизонтали O′ атрофида айлантирилиб, проекцияловчи, яъни h1′⊥Ox вазиятга келтирилади. Горизонталнинг h″ фронтал проекцияси эса h1″≡11″ вазиятда бўлади. Текисликнинг янги P1V фронтал изи P1Х ва 11″ нуқталардан ўтади. 12–расм

Геометрик шаклни проекциялар текислигига параллел ўқ атрофида айлантириш Умумий вазиятда жойлашган текис геометрик шаклларни проекциялар текисликларига параллел бўлган ўқлар атрофида айлантириб, баъзи метрик масалаларни ечиш мумкин. Бунда, айланиш ўқи сифатида умумий вазиятда жойлашган геометрик шаклнинг асосий чизиқлари – горизонтал ёки фронталларидан фойдаланилади. Геометрик шаклни унинг горизонтали атрофида айлантириб, H текисликка параллел вазиятга, шунингдек, уни фронтали атрофида айлантириб, V текисликка параллел вазиятга келтириш мумкин. 13–расм

Геометрик шаклни проекциялар текислигига параллел ўқ атрофида айлантириш Геометрик шакл проекциялар текислигига параллел ўқ атрофида айлантирилганда унинг ҳар бир нуқтаси айланиш ўқига перпендикуляр бўлган текисликда айлана бўйлаб ҳаракатланади. Масалан, A нуқтани h горизонтал атрофида айлантирилганда радиуси OA га тенг айлана бўйича M⊥h текисликда ҳаракатланади. Бунда, унинг горизонтал проекцияси горизонталнинг h′ горизонтал проекциясига перпендикуляр тўғри чизиқ бўйича ҳаракатланади. 14–расм

Геометрик шаклни проекциялар текислигига параллел ўқ атрофида айлантириш Чизмада тасвирланган A(A′, A″) нуқтани A1(A1′,A1″) вазиятга келгунча айлантириш учун айланиш маркази O(O′, O″) нуқтани аниқлаш керак (15-расм). Бу нуқта айланиш ўқи h нинг M текислик билан кесишиш нуқтаси бўлади. Чизмада айлантириш радиуси R нинг ҳақиқий ўлчамни аниқлаш учун H текисликда тўғри бурчакли ∆O′A′A0 ясаймиз. Бунинг учун AO радиуснинг A′O′ горизонтал проекциясини тўғри бурчакли учбурчакнинг бир катети, OA кесма учлари аппликаталарининг ∆z айирмасини иккинчи катети қилиб оламиз. Бу учбурчакнинг гипотенузаси изланган айлантириш радиуси R бўлади. A нуқтанинг айлантирилгандан кейинги янги вазиятининг A′1 горизонтал проекцияси айланиш маркази O′ нуқтада бўлган ва O′A0=R радиусли айлана ёйининг M(MH) текисликнинг изи билан кесишган A1′ нуқтаси бўлади. A нуқтанинг янги A1″ фронтал проекцияси эса h″ тўғри чизиқда бўлади. 15–расм

Геометрик шаклни проекциялар текислигига параллел ўқ атрофида айлантириш 2–масала. Умумий вазиятдаги ∆ABC(∆A′B′C′, ∆A″B″C″) нинг ҳақиқий ўлчами аниқлансин. Ечиш. Учбурчак горизонтали h(h′, h″) ўтказилади. ∆ABC нинг ҳақиқий ўлчамини аниқлаш учун унинг B(B′,B″) ва C(C′, C″) учлари айлантириш радиусларининг ҳақиқий ўлчамлари аниқланади. Чизмада B нуқтанинг айлантириш радиусини аниқлаш учун унинг O′B′ ва O″B″ проекцияларидан фойдаланиб, тўғри бурчакли ∆O′oB′B′o ни ясаймиз. Бу учбурчакнинг O′B′o гипотенузаси B нуқтанинг айлантириш радиуси бўлади. B нуқтанинг янги вазияти айлантириш марказининг горизонтал проекцияси O′ дан радиуси O′Bo га тенг қилиб ўтказилган ёйнинг ҳаракат текислигининг MH изи билан кесишган Bo нуқтаси бўлади. 16–расм

ЭЪТИБОРИНГИЗ УЧУН РАХМАТ