2. ομογενείς δ.ε. 1ης τάξης ως προς τις μεταβλητές τους

f(tx,ty) = tnf(x,y), n{0,1,2,…} ομογενείς διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης ως προς τις μεταβλητές τους Ορισμός: Μία συνάρτηση με τύπο q=f(x,y) λέγεται ομογενής n-οστού βαθμού ως προς τις μεταβλητές της x,y αν f(tx,ty) = tnf(x,y), n{0,1,2,…} δηλαδή, η συνάρτηση q=f(x,y) αποτελείται από εκφράσεις που έχουν τον ίδιο βαθμό ως προς x και y. Παραδείγματα: f(x,y) = 3x4-0,5x2y2+xy3-y4 4ου βαθμού ως προς x και y g(x,y) = x2y-3- 4x-4y3-23x-2y+x-1 -1 βαθμού ως προς x και y h(x,y) = 1+xy-1+x2y-2 = x0y0+xy-1+x2y-2 μηδενικού βαθμού ως προς x και y

f(tx,ty)=t0f(x,y)=f(x,y) P(tx,ty)=tκP(x,y) και Q(tx,ty)=tκ Q(x,y) Λυμένη μορφή y΄(x)=f(x,y) και η f(x,y) είναι μια συνάρτηση ομογενής μηδενικού βαθμού ως προς τις μεταβλητές της δηλαδή, f(tx,ty)=t0f(x,y)=f(x,y) (ii) Διαφορική μορφή P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 και οι συναρτήσεις P(x,y), Q(x,y) είναι ομογενείς του ΙΔΙΟΥ βαθμού ως προς τις μεταβλητές τους δηλαδή, P(tx,ty)=tκP(x,y) και Q(tx,ty)=tκ Q(x,y)

επίλυση Θέτουμε αν η λυμένη μορφή της δ.ε. y΄(x)=f(x,y), για να επιλύσουμε την δ.ε την ανάγουμε σε μια δ.ε. χωριζόμενων μεταβλητών! επίλυση Θέτουμε αν η λυμένη μορφή της δ.ε. y΄(x)=f(x,y), μπορεί να γραφεί y΄(x)=f(x,y)=g(y/x) (1) Τότε, με την προηγούμενη αντικατάσταση έχουμε y=xz, x0  y΄=z+xz΄ Η δ.ε. (1) γίνεται z+xz΄=g(z)  xz΄=g(z)-z 

y΄(x)=f(x,y)=g(x/y) (2) και γίνεται χωριζόμενων μεταβλητών ! Παρατήρηση: αν η λυμένη μορφή της δ.ε. y΄(x)=f(x,y), μπορεί να γραφεί y΄(x)=f(x,y)=g(x/y) (2) τότε, χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση x/y=u, y0 και εργαζόμαστε ανάλογα.

Άσκηση: Να λυθεί το πρόβλημα των αρχικών τιμών (x2+2xy)dx+xydy=0 και y(1)=0 Αν, P(x,y)=x2+2xy και Q(x,y)=xy, τότε, P(tx,ty)=(tx)2+2txty=t2(x2+2xy)=t2P(x,y) Q(tx,ty)=txty=t2Q(x,y) Η δ.ε. γράφεται Λυμένη Μορφή Επειδή, x0, έχουμε

χωριζόμενων μεταβλητών ! Αντικατάσταση, και η (Ι) γίνεται χωριζόμενων μεταβλητών !

γενική λύση! Η γενική λύση της δ.ε. δίνεται έμμεσα από την παραπάνω εξίσωση ! Τέλος, για x=0, y=1 από την γενική λύση έπεται ότι ln1=0+c  c=0. Επομένως, η αποτελεί λύση του δοθέντος προβλήματος αρχικών συνθηκών. 8

Άσκηση: Να βρεθεί η γενική λύση της σ.δ.ε. (xdx+ydy)(x2+y2) = x3dx λύση: x3dx+xy2dx+x2ydy+y3dy = x3dx xy2dx+(x2y+y3)dy = 0 (I) είναι της μορφής M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 M(x,y)=xy2, N(x,y)=x2y+y3 Ομογενής ως προς τις μεταβλητές της x,y βαθμού 3ου ! Μ(tx,ty) = xt(yt)2= t3xy2=t3M(x,y) N(tx,ty)=(xt)2ty+(ty)3=t3(x2y+y3)=t3N(x,y) Επιπλέον,

τότε, x=uy άρα dx=udy+ydu και η (Ι) xy2dx+(x2y+y3)dy = 0, γίνεται Θέτουμε, τότε, x=uy άρα dx=udy+ydu και η (Ι) xy2dx+(x2y+y3)dy = 0, γίνεται uy3(udy+ydu)+(u2y3+y3)dy = 0 (u2y3+u2y3+y3)dy+uy4du = 0 y3(2u2+1)dy+uy4du = 0 διαιρούμε με το y3 (II) (2u2+1)dy+uydu = 0

χωριζόμενων μεταβλητών επειδή y0 και 2u2+10  y(2u2+1)0 διαιρώ και τα δύο μέλη της (ΙΙ) με το y(2u2+1) χωριζόμενων μεταβλητών άρα,

Επομένως I1 = 1/4 ln|2u2+1|+c2, c2R Άρα, ln|y| +c1=-I1 ln|y|=-¼ ln(2u2+1)+c3, όπου c3 = c2- c1 4ln|y| +ln(2u2+1) = 4c3 lny4 + ln(2u2+1) = ln[y4(2u2+1)] = lnc0, όπου lnc0=4c3 άρα, y4(2u2+1)=c0

άρα, y4(2u2+1)=c0 u=x/y, y0 δηλαδή, y4[2(x2/y2)+1] = c0 και επομένως 2x2y2 + y4 = c0 γενική λύση! Η ζητούμενη συνάρτηση y=y(x) δίνεται έμμεσα από την παραπάνω εξίσωση !!

διάλειμμα - interval 14

Άσκηση: Να βρεθεί μια καμπύλη στο επίπεδο Οxy έτσι ώστε: (i) να περνά από το σημείο Α(0,1) (ii) η εφαπτομένη της καμπύλης σε ένα τυχαίο σημείο της Μ να τέμνει τον άξονα Οy σε ένα σημείο Ν έτσι ώστε το τρίγωνο ΟΜΝ να είναι ισοσκελές με ΟΜ=ΟΝ. y=f(x) Α(0,1) Ισοσκελές!

 υποθέτουμε ότι η καμπύλη (συνάρτηση) που ζητάμε έχει τύπο y=f(x) λύση:  υποθέτουμε ότι το τυχαίο σημείο Μ έχει συντεταγμένες x και y (συγκεκριμένοι αριθμοί), δηλαδή Μ(x,y) Επειδή το τρίγωνο ΟΜΝ είναι ισοσκελές ΟΜ=ΟΝ, άρα, από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΜ, έχουμε (I) (ΟΜ)=(ΟΝ)= y x

Επιπλέον, η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της καμπύλης με τύπο y=f(x) στο σημείο Μ(x,y) είναι: (II) Υ = y + (Χ-x)f΄(x) Ν(0,y1) ε Οι συντεταγμένες του σημείου Ν είναι Ν(0,y1) δηλαδή, y1=(ON) και από την (Ι) έχουμε:

διαφορική εξίσωση 1ης τάξης Επειδή η (ε) περνά από το σημείο Ν, έπεται ότι οι συντε- ταγμένες του θα επαληθεύουν την (ΙI), δηλαδή και επειδή οι συντεταγμένες x,y είναι άγνωστοι όροι, η παραπάνω εξίσωση γράφεται: διαφορική εξίσωση 1ης τάξης Διαφορική μορφή δ.ε. Μ(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Επιπλέον, η (Ι) γράφεται Παρατηρούμε ότι η (Ι) αποτελεί την διαφορική μορφή μιας σ.δ.ε. 1ης τάξης η ο ποία είναι ομογενής ως προς τις μεταβλητές της 1ου βαθμού, με Πράγματι, Επιπλέον, η (Ι) γράφεται

χωριζόμενων μεταβλητών θέτουμε και επομένως η (ΙΙ) που ισοδύναμα γράφεται χωριζόμενων μεταβλητών

ισοδύναμα η παραπάνω εξίσωση γράφεται

και με την αντικατάσταση u=y/x έχουμε

Γενική λύση της δ.ε. Γενική λύση: κάθε συνάρτηση με τον προηγούμενο τύπο έχει γραφική παράσταση στο επίπεδο μια καμπύλη, τέτοια ώστε η εφαπτομένη της καμπύλης σε ένα τυχαίο σημείο της Μ να τέμνει τον άξονα Οy σε ένα σημείο Ν έτσι ώστε το τρίγωνο ΟΜΝ να είναι ισοσκελές με ΟΜ=ΟΝ.

αρχικές συνθήκες Από την προηγούμενη οικογένεια των καμπύλων στο επίπεδο αναζητούμε αυτή που διέρχεται από το σημείο Α(0,1). Ισοδύναμα, αναζητούμε το πρόβλημα των αρχικών συνθηκών x=0, y=1. Η προηγούμενη εξίσωση γίνεται : η εξίσωση της καμπύλης

γραφική παράσταση ισοσκελές τρίγωνο καμπύλη y=1-(x2/4) εφαπτομένη της καμπύλης ισοσκελές τρίγωνο καμπύλη y=1-(x2/4)