2. ομογενείς δ.ε. 1ης τάξης ως προς τις μεταβλητές τους.

Slides:



Advertisements
Παρόμοιες παρουσιάσεις
ΜΕΤΑΛΛΕΥΤΙΚΗ ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΚΑΙ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕΤΑΛΛΕΥΜΑΤΩΝ Τζίμας Σπύρος Μηχανικός Μεταλλείων – Μεταλλουργός ΕΜΠ.
Advertisements

ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 10.
ΤΜΗΜΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ Το Τεχνικό Επιμελητήριο Ελλάδας (ΤΕΕ) ιδρύθηκε το 1923, είναι Νομικό Πρόσωπο Δημοσίου Δικαίου με αιρετή Διοίκηση. Κατά τους κανόνες.
Ο Άνθρωπος είναι ένα ον το οποίο φτιάχνει πολιτισμό και έχει βαθύ στοχασμό, συναισθήματα και σεβασμό στη ζωή των άλλων. Ορισμός.
ΣΥΣΤΑΣΗ - ΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΕΝΤΡΩΜΕΝΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Οι δήμοι και οι περιφέρειες συγκροτούν τον πρώτο και δεύτερο βαθμό τοπικής αυτοδιοίκησης.
ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ.
Δηλαδή, οι συναρτήσεις Μ(x,y) και N(x,y) αποτελούνται από εκφράσεις που έχουν τον ίδιο βαθμό ως προς x και y. Παραδείγματα: f(x,y) = 3x 4 -0,5x 2 y 2 +xy.
Π ΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Δ ΥΤΙΚΗΣ Μ ΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 2013 Μάθημα 2 ο Δ. Γ. Τσαλικάκης.
ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ.
ΜΑΘΗΜΑ 2.  Εργασία (άνθρωπος)  Φύση/Έδαφος (γη)  Κεφάλαιο (χρήμα)  Επιχειρηματικότητα (ιδέα, διοίκηση)
Κάθετες και πλάγιες. Κάθετα και πλάγια τμήματα Έστω ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής. ε Κ Β Α Από το Α διέρχεται μοναδική κάθετη. Έστω ζ μια άλλη ευθεία.
Υπεύθυνη καθηγήτρια: Ε. Γκόνου Μαθητές: Ρωμανός Πετρίδης, Βαγγέλης Πίπης Π.Γ.Ε.Σ.Σ ….Θανέειν πέπρωται άπασι.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ-3 η εβδομάδα Συνέχεια συναρτήσεων δυο μεταβλητών Ισοσταθμικές καμπύλες-Ασκήσεις.
Φυσική Β΄ Λυκείου Άσκηση 1 (άσκηση 4, εργ. οδ. Α΄ Λυκείου)
Διακριτά Μαθηματικά Μαθηματική Λογική.
ΤΟ ΝΕΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΔ 126/2016.
ΟΙ ΑΡΓΥΡΟΙ ΚΑΙ ΧΡΥΣΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ
F(x,y,y΄, y΄΄, y΄΄΄,y΄΄΄΄, …, y(n)) = 0
ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Democritus University of Thrace Department of Production.
Παράγωγος κατά κατεύθυνση
ΤΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΚΟΙΝΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΟΡΘΟΛΟΓΙΚΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΙΑΤΡΟΦΙΚΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ
Το ερώτημα "τι είναι επιστήμη;" δεν έχει νόημα χωρίς κάποιο χρονικό προσδιορισμό Όταν τις δεκαετίες του 80 και του 90 κατέρρεε το αποκαλούμενο ανατολικό.
με σταθερούς συντελεστές
Ενότητα 2: Κινητική Κώστας Παπαδημητρίου Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
γραμμικές διαφορικές εξισώσεις
Ενημέρωση για αλλαγές στο Γυμνάσιο
Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος
Ομογενείς δ.ε..
(χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικές 1ης τάξης)
Ορισμένο Ολοκλήρωμα Τι εκφράζει το ορισμένο ολοκλήρωμα;
ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΄Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
Αρχή συστήματος συντεταγμένων: Το σημείο 0,0,0 (x, y, z)
Ανάληψη Υποχρέωσης (Π. Δ
Αντιμετώπιση Μαθησιακών Δυσκολιών στα Μαθηματικά
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ
Κρίσιμο συμβάν στη διδασκαλία των συναρτήσεων y=ax
Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος
ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ (II) Παράδειγμα (ΟΠΑΑΧ).
ΤΟΠΙΚΟ ΣΥΜΦΩΝΟ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Α. Κουτσούρης
Οι αλλαγεΣ Στο ΓυμναΣιο
Σύστημα πρόσβασης στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση
ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΤΑΙΡΙΚΗ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗ
F(x,y(x),y΄(x), y΄΄(x), y΄΄΄(x), …, y(n)(x)) = 0
3. ακριβείς δ.ε. 1ης τάξης.
Οι Συναρτήσεις y=αx2 και y=αx2+βx+γ με α≠0 στο Γυμνάσιο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
الباب الرابع : الارتباط و الانحدار الخطي البسيط
اعداد الأستاذ/ عبدالرؤوف أحمد يوسف
(χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικές 1ης τάξης)
Αποτελέσματα έρευνας που πραγματοποιήθηκε στο σχολείο μας
מעבר אור מתווך שקוף לתווך שקוף
2. ομογενείς δ.ε. 1ης τάξης ως προς τις μεταβλητές τους.
Ιστορία 8η Σέρλοκ Χολμς.
به نام آنکه هستی نام ازو یافت
وړاندې کوونکى : انجنيرسميع الله ”پتيال ”
ΝΟΜΟΣ ΥΠ' ΑΡΙΘΜ. 4495/17 (167 Α/ ) Έλεγχος και προστασία του Δομημένου Περιβάλ­λοντος και άλλες διατάξεις και αλλαγές με το ν.4513/18 (101 Α/2018)
ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΡΟΕΔΡΩΝ Π.Φ.Σ. 5 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018.
11ο γυμνάσιο ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΓΟΝΕΩΝ – ΚΗΔΕΜΟΝΩΝ Α΄ΤΑΞΗΣ …στη μεγαλύτερη βαθμίδα! … μεγαλύτερες απαιτήσεις! …νάτην και η εφηβεία!!
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
Мероприятие, посвященное восстанию студентов
“ХХІ ғасыр өскіндері” интеллектуальдық сайыс 5-6 сынып
Екі векторды векторлық көбейту
Σύντομος οδηγός υποψηφίου δημάρχου/δημοτικού συμβούλου
Σύντομος οδηγός υποψηφίου δημάρχου/δημοτικού συμβούλου
Σύντομος οδηγός υποψηφίου συμβούλου/προέδρου κοινότητας
F(x,y(x),y΄(x), y΄΄(x), y΄΄΄(x), …, y(n)(x)) = 0
Σύντομος οδηγός υποψηφίου δημάρχου/δημοτικού συμβούλου
7η ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΟΥ ΕΠ - ΥΜΕΠΕΡΑΑ
Μεταγράφημα παρουσίασης:

2. ομογενείς δ.ε. 1ης τάξης ως προς τις μεταβλητές τους

f(tx,ty) = tnf(x,y), n{0,1,2,…} ομογενείς διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης ως προς τις μεταβλητές τους Ορισμός: Μία συνάρτηση με τύπο q=f(x,y) λέγεται ομογενής n-οστού βαθμού ως προς τις μεταβλητές της x,y αν f(tx,ty) = tnf(x,y), n{0,1,2,…} δηλαδή, η συνάρτηση q=f(x,y) αποτελείται από εκφράσεις που έχουν τον ίδιο βαθμό ως προς x και y. Παραδείγματα: f(x,y) = 3x4-0,5x2y2+xy3-y4 4ου βαθμού ως προς x και y g(x,y) = x2y-3- 4x-4y3-23x-2y+x-1 -1 βαθμού ως προς x και y h(x,y) = 1+xy-1+x2y-2 = x0y0+xy-1+x2y-2 μηδενικού βαθμού ως προς x και y

f(tx,ty)=t0f(x,y)=f(x,y) P(tx,ty)=tκP(x,y) και Q(tx,ty)=tκ Q(x,y) Λυμένη μορφή y΄(x)=f(x,y) και η f(x,y) είναι μια συνάρτηση ομογενής μηδενικού βαθμού ως προς τις μεταβλητές της δηλαδή, f(tx,ty)=t0f(x,y)=f(x,y) (ii) Διαφορική μορφή P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 και οι συναρτήσεις P(x,y), Q(x,y) είναι ομογενείς του ΙΔΙΟΥ βαθμού ως προς τις μεταβλητές τους δηλαδή, P(tx,ty)=tκP(x,y) και Q(tx,ty)=tκ Q(x,y)

επίλυση Θέτουμε αν η λυμένη μορφή της δ.ε. y΄(x)=f(x,y), για να επιλύσουμε την δ.ε την ανάγουμε σε μια δ.ε. χωριζόμενων μεταβλητών! επίλυση Θέτουμε αν η λυμένη μορφή της δ.ε. y΄(x)=f(x,y), μπορεί να γραφεί y΄(x)=f(x,y)=g(y/x) (1) Τότε, με την προηγούμενη αντικατάσταση έχουμε y=xz, x0  y΄=z+xz΄ Η δ.ε. (1) γίνεται z+xz΄=g(z)  xz΄=g(z)-z 

y΄(x)=f(x,y)=g(x/y) (2) και γίνεται χωριζόμενων μεταβλητών ! Παρατήρηση: αν η λυμένη μορφή της δ.ε. y΄(x)=f(x,y), μπορεί να γραφεί y΄(x)=f(x,y)=g(x/y) (2) τότε, χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση x/y=u, y0 και εργαζόμαστε ανάλογα.

Άσκηση: Να λυθεί το πρόβλημα των αρχικών τιμών (x2+2xy)dx+xydy=0 και y(1)=0 Αν, P(x,y)=x2+2xy και Q(x,y)=xy, τότε, P(tx,ty)=(tx)2+2txty=t2(x2+2xy)=t2P(x,y) Q(tx,ty)=txty=t2Q(x,y) Η δ.ε. γράφεται Λυμένη Μορφή Επειδή, x0, έχουμε

χωριζόμενων μεταβλητών ! Αντικατάσταση, και η (Ι) γίνεται χωριζόμενων μεταβλητών !

γενική λύση! Η γενική λύση της δ.ε. δίνεται έμμεσα από την παραπάνω εξίσωση ! Τέλος, για x=0, y=1 από την γενική λύση έπεται ότι ln1=0+c  c=0. Επομένως, η αποτελεί λύση του δοθέντος προβλήματος αρχικών συνθηκών. 8

Άσκηση: Να βρεθεί η γενική λύση της σ.δ.ε. (xdx+ydy)(x2+y2) = x3dx λύση: x3dx+xy2dx+x2ydy+y3dy = x3dx xy2dx+(x2y+y3)dy = 0 (I) είναι της μορφής M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 M(x,y)=xy2, N(x,y)=x2y+y3 Ομογενής ως προς τις μεταβλητές της x,y βαθμού 3ου ! Μ(tx,ty) = xt(yt)2= t3xy2=t3M(x,y) N(tx,ty)=(xt)2ty+(ty)3=t3(x2y+y3)=t3N(x,y) Επιπλέον,

τότε, x=uy άρα dx=udy+ydu και η (Ι) xy2dx+(x2y+y3)dy = 0, γίνεται Θέτουμε, τότε, x=uy άρα dx=udy+ydu και η (Ι) xy2dx+(x2y+y3)dy = 0, γίνεται uy3(udy+ydu)+(u2y3+y3)dy = 0 (u2y3+u2y3+y3)dy+uy4du = 0 y3(2u2+1)dy+uy4du = 0 διαιρούμε με το y3 (II) (2u2+1)dy+uydu = 0

χωριζόμενων μεταβλητών επειδή y0 και 2u2+10  y(2u2+1)0 διαιρώ και τα δύο μέλη της (ΙΙ) με το y(2u2+1) χωριζόμενων μεταβλητών άρα,

Επομένως I1 = 1/4 ln|2u2+1|+c2, c2R Άρα, ln|y| +c1=-I1 ln|y|=-¼ ln(2u2+1)+c3, όπου c3 = c2- c1 4ln|y| +ln(2u2+1) = 4c3 lny4 + ln(2u2+1) = ln[y4(2u2+1)] = lnc0, όπου lnc0=4c3 άρα, y4(2u2+1)=c0

άρα, y4(2u2+1)=c0 u=x/y, y0 δηλαδή, y4[2(x2/y2)+1] = c0 και επομένως 2x2y2 + y4 = c0 γενική λύση! Η ζητούμενη συνάρτηση y=y(x) δίνεται έμμεσα από την παραπάνω εξίσωση !!

διάλειμμα - interval 14

Άσκηση: Να βρεθεί μια καμπύλη στο επίπεδο Οxy έτσι ώστε: (i) να περνά από το σημείο Α(0,1) (ii) η εφαπτομένη της καμπύλης σε ένα τυχαίο σημείο της Μ να τέμνει τον άξονα Οy σε ένα σημείο Ν έτσι ώστε το τρίγωνο ΟΜΝ να είναι ισοσκελές με ΟΜ=ΟΝ. y=f(x) Α(0,1) Ισοσκελές!

 υποθέτουμε ότι η καμπύλη (συνάρτηση) που ζητάμε έχει τύπο y=f(x) λύση:  υποθέτουμε ότι το τυχαίο σημείο Μ έχει συντεταγμένες x και y (συγκεκριμένοι αριθμοί), δηλαδή Μ(x,y) Επειδή το τρίγωνο ΟΜΝ είναι ισοσκελές ΟΜ=ΟΝ, άρα, από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΜ, έχουμε (I) (ΟΜ)=(ΟΝ)= y x

Επιπλέον, η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της καμπύλης με τύπο y=f(x) στο σημείο Μ(x,y) είναι: (II) Υ = y + (Χ-x)f΄(x) Ν(0,y1) ε Οι συντεταγμένες του σημείου Ν είναι Ν(0,y1) δηλαδή, y1=(ON) και από την (Ι) έχουμε:

διαφορική εξίσωση 1ης τάξης Επειδή η (ε) περνά από το σημείο Ν, έπεται ότι οι συντε- ταγμένες του θα επαληθεύουν την (ΙI), δηλαδή και επειδή οι συντεταγμένες x,y είναι άγνωστοι όροι, η παραπάνω εξίσωση γράφεται: διαφορική εξίσωση 1ης τάξης Διαφορική μορφή δ.ε. Μ(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Επιπλέον, η (Ι) γράφεται Παρατηρούμε ότι η (Ι) αποτελεί την διαφορική μορφή μιας σ.δ.ε. 1ης τάξης η ο ποία είναι ομογενής ως προς τις μεταβλητές της 1ου βαθμού, με Πράγματι, Επιπλέον, η (Ι) γράφεται

χωριζόμενων μεταβλητών θέτουμε και επομένως η (ΙΙ) που ισοδύναμα γράφεται χωριζόμενων μεταβλητών

ισοδύναμα η παραπάνω εξίσωση γράφεται

και με την αντικατάσταση u=y/x έχουμε

Γενική λύση της δ.ε. Γενική λύση: κάθε συνάρτηση με τον προηγούμενο τύπο έχει γραφική παράσταση στο επίπεδο μια καμπύλη, τέτοια ώστε η εφαπτομένη της καμπύλης σε ένα τυχαίο σημείο της Μ να τέμνει τον άξονα Οy σε ένα σημείο Ν έτσι ώστε το τρίγωνο ΟΜΝ να είναι ισοσκελές με ΟΜ=ΟΝ.

αρχικές συνθήκες Από την προηγούμενη οικογένεια των καμπύλων στο επίπεδο αναζητούμε αυτή που διέρχεται από το σημείο Α(0,1). Ισοδύναμα, αναζητούμε το πρόβλημα των αρχικών συνθηκών x=0, y=1. Η προηγούμενη εξίσωση γίνεται : η εξίσωση της καμπύλης

γραφική παράσταση ισοσκελές τρίγωνο καμπύλη y=1-(x2/4) εφαπτομένη της καμπύλης ισοσκελές τρίγωνο καμπύλη y=1-(x2/4)