ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ (Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ)
Παράγραφος 3.1-3.2 (Σελ.43) Ε.1. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ, ΓΑ ενός τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τμήματα ΑΔ=ΑΒ και ΑΕ=ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΒΕ=ΓΔ. Δεδομένα: ΑΒ=ΑΔ, ΑΓ=ΑΕ Ζητούμενα: ΒΕ=ΓΔ Georgia Chatzistergiou 2
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΔΓ. (Γ) Β 𝚨 𝚬=𝚪 𝚨 𝚫 (Κατακορυφήν) Παράγραφος 3.1-3.2 (Σελ.43) Ε.1. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ, ΓΑ ενός τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τμήματα ΑΔ=ΑΒ και ΑΕ=ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΒΕ=ΓΔ. Δεδομένα: ΑΒ=ΑΔ, ΑΓ=ΑΕ Ζητούμενα: ΒΕ=ΓΔ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΔΓ. Τα τρίγωνα έχουν: (Π) ΑΒ=ΑΔ (Δεδομένα) (Γ) Β 𝚨 𝚬=𝚪 𝚨 𝚫 (Κατακορυφήν) (Π) ΑΓ=ΑΕ (Δεδομένα) Georgia Chatzistergiou 3
Παράγραφος 3.1-3.2 (Σελ.43) Ε.2. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ και στις προεκτάσεις τους θεωρούμε τμήματα ΒΚ=ΓΛ=ΑΜ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο. Δεδομένα: ΑΒ=ΑΓ=ΒΓ=x AM=BK=ΓΛ=y Ζητούμενα: ΚΛ=ΛΜ=ΚΜ Georgia Chatzistergiou 4
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΜΚ και ΒΚΛ. Παράγραφος 3.1-3.2 (Σελ.43) Ε.2. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ και στις προεκτάσεις τους θεωρούμε τμήματα ΒΚ=ΓΛ=ΑΜ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο. Δεδομένα: ΑΒ=ΑΓ=ΒΓ=x AM=BK=ΓΛ=y Ζητούμενα: ΚΛ=ΛΜ=ΚΜ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΜΚ και ΒΚΛ. Georgia Chatzistergiou 5
ΑΒ=Α΄Β΄, ΒΓ=´ô, ΑΓ=Α΄Γ΄ Παράγραφος 3.1-3.2 (Σελ.43) Ε.3. Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Δεδομένα: ΑΒ=Α΄Β΄, ΒΓ=´ô, ΑΓ=Α΄Γ΄ 𝚨 = 𝚨 ′, 𝚩 = 𝚩 ′, 𝚪 = 𝚪 ′ Ζητούμενα: 𝛍 𝛂 = 𝛍 𝛂 ′ , 𝛍 𝛃 = 𝛍 𝛃 ′ ,𝛍 𝛄 = 𝛍 𝛄 ′ Georgia Chatzistergiou 6
ΑΒ=Α΄Β΄, ΒΓ=´ô, ΑΓ=Α΄Γ΄ Παράγραφος 3.1-3.2 (Σελ.43) Ε.3. Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Δεδομένα: ΑΒ=Α΄Β΄, ΒΓ=´ô, ΑΓ=Α΄Γ΄ 𝚨 = 𝚨 ′, 𝚩 = 𝚩 ′, 𝚪 = 𝚪 ′ Ζητούμενα: 𝛍 𝛂 = 𝛍 𝛂 ′ , 𝛍 𝛃 = 𝛍 𝛃 ′ ,𝛍 𝛄 = 𝛍 𝛄 ′ Georgia Chatzistergiou 7
Παράγραφος 3.1-3.2 (Σελ.43) Ε.4. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος της 𝚨 στην οποία θεωρούμε τα τμήματα ΑΕ=ΑΒ και ΑΖ=ΑΓ. Να αποδείξετε ότι Α 𝚪 Ε=Α 𝚭 Β. Δεδομένα: ΑΕ=ΑΒ, ΑΖ=ΑΓ 𝚨 𝟏 = 𝚨 𝟐 Ζητούμενα: 𝚨 𝚪 𝚬=𝚨 𝚭 𝚩 Georgia Chatzistergiou 8
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα Παράγραφος 3.1-3.2 (Σελ.43) Ε.4. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος της 𝚨 στην οποία θεωρούμε τα τμήματα ΑΕ=ΑΒ και ΑΖ=ΑΓ. Να αποδείξετε ότι Α 𝚪 Ε=Α 𝚭 Β. Δεδομένα: ΑΕ=ΑΒ, ΑΖ=ΑΓ 𝚨 𝟏 = 𝚨 𝟐 Ζητούμενα: 𝚨 𝚪 𝚬=𝚨 𝚭 𝚩 Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΑΕΓ. Georgia Chatzistergiou9
Παράγραφος 3.1-3.2 (Σελ.43) Α.1. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Κ σημείο εξωτερικό του τριγώνου. Αν στις προεκτάσεις των ΑΚ, ΒΚ, ΓΚ θεωρήσουμε τμήματα ΚΔ=ΑΚ, ΚΕ=ΒΚ, ΚΖ=ΓΚ, να αποδείξετε ότι ∠ΕΔΖ=∠ΒΑΓ (Ε 𝚫 Ζ=Β 𝚨 Γ). Δεδομένα: ΚΑ=ΚΔ, ΚΒ=ΚΕ, ΚΓ=ΚΖ Ζητούμενα: Β 𝚨 𝚪=𝚬 𝚫 𝚭 Georgia Chatzistergiou 10
Παράγραφος 3.1-3.2 (Σελ.43) Α.1. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Κ σημείο εξωτερικό του τριγώνου. Αν στις προεκτάσεις των ΑΚ, ΒΚ, ΓΚ θεωρήσουμε τμήματα ΚΔ=ΑΚ, ΚΕ=ΒΚ, ΚΖ=ΓΚ, να αποδείξετε ότι ∠ΕΔΖ=∠ΒΑΓ (Ε 𝚫 Ζ=Β 𝚨 Γ). Δεδομένα: ΚΑ=ΚΔ, ΚΒ=ΚΕ, ΚΓ=ΚΖ Ζητούμενα: Β 𝚨 𝚪=𝚬 𝚫 𝚭 Georgia Chatzistergiou 11
Παράγραφος 3.1-3.2 (Σελ.43) Α.2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών του ΒΑ και ΓΑ θεωρούμε ίσα τμήματα ΑΔ, ΑΕ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της βάσης ΒΓ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές. Δεδομένα: ΑΒ=ΑΓ, ΑΕ=ΑΔ, ΜΒ=ΜΓ Ζητούμενα: ΜΕ=ΜΔ Georgia Chatzistergiou 12
Παράγραφος 3.1-3.2 (Σελ.43) Α.2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών του ΒΑ και ΓΑ θεωρούμε ίσα τμήματα ΑΔ, ΑΕ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της βάσης ΒΓ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές. Δεδομένα: ΑΒ=ΑΓ, ΑΕ=ΑΔ, ΜΒ=ΜΓ Ζητούμενα: ΜΕ=ΜΔ Georgia Chatzistegiou 13
ΟΑ=ΟΒ (Ακτίνες Κύκλου) Παράγραφος 3.1-3.2 (Σελ.43) Α.3. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και χορδή του ΑΒ. Προεκτείνουμε την ΑΒ και προς τα δύο άκρα, κατά ίσα τμήματα ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: Ο 𝚪 Α=Ο 𝚫 Β. Δεδομένα: ΑΓ=ΒΔ ΟΑ=ΟΒ (Ακτίνες Κύκλου) 𝚨 𝟏 = 𝚩 𝟏 ⇔𝚶 𝚨 𝚪=𝚶 𝚩 𝚫 Ζητούμενα: 𝚶 𝚪 𝚨=𝚶 𝚫 𝚩 Georgia Chatzistergiou 14
ΟΑ=ΟΒ (Ακτίνες Κύκλου) Παράγραφος 3.1-3.2 (Σελ.43) Α.3. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και χορδή του ΑΒ. Προεκτείνουμε την ΑΒ και προς τα δύο άκρα, κατά ίσα τμήματα ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: Ο 𝚪 Α=Ο 𝚫 Β. Δεδομένα: ΑΓ=ΒΔ ΟΑ=ΟΒ (Ακτίνες Κύκλου) 𝚨 𝟏 = 𝚩 𝟏 ⇔𝚶 𝚨 𝚪=𝚶 𝚩 𝚫 Ζητούμενα: 𝚶 𝚪 𝚨=𝚶 𝚫 𝚩 Georgia Chatzistegiou 15