Βασικές έννοιες της Μηχανικής ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές έννοιες της Μηχανικής Α. Θεοδουλίδης

Ορισμός της τάσης Τάση στο σημείο Q:

Κατανομή τάσεων σε διάφορες τομές κατά μήκος φορτισμένου μέλους Ορισμός της τάσης Κατανομή τάσεων σε διάφορες τομές κατά μήκος φορτισμένου μέλους

Ορισμός της τάσης Τάσεις σε μέλη με αξονική φόρτωση

Ορισμός της τάσης Ρ = δύναμη Α = εμβαδό διατομής Μονάδες μέτρησης στο μετρικό σύστημα

Διατμητική τάση Μέση διατμητική τάση:

Τάσεις σε κεκλιμένο επίπεδο υπό αξονική φόρτιση Αξονικές δυνάμεις Θεώρηση στο κεκλιμένο επίπεδο

Τάσεις σε κεκλιμένο επίπεδο υπό αξονική φόρτιση

Τάση και τροπή στην αξονική φόρτιση Α: Οριο γραμμικότητας, Β: Όριο διαρροής, C: Όριο αντοχής, D: Σημείο Αστοχίας

Μηχανικές ιδιότητες και τυπική συμπεριφορά μεταλλικών κραμάτων

Ελαστικότητα - πλαστικότητα

Μηχανικές ιδιότητες και τυπική συμπεριφορά μεταλλικών κραμάτων Πλαστική περιοχή Ελαστική περιοχή

Μηχανικές ιδιότητες και τυπική συμπεριφορά μεταλλικών κραμάτων σ = ορθή τάση, ε = γραμμική παραμόρφωση, Ε = μέτρο ελαστικότητας

Τάση και τροπή στην αξονική φόρτιση Τυπικό δοκίμιο εφελκυσμού

Νόμος του Hooke – Μέτρο ελαστικότητας Διαρροή και θραύση Συμπεριφορά διαφόρων χαλύβων

Μηχανικές ιδιότητες και τυπική συμπεριφορά μεταλλικών κραμάτων ν = λόγος Poisson

Λόγος Poisson Γενικευμένος νόμος του Hooke

Διατμητική τροπή G = Μέτρο διάτμησης

Τάσεις υπό γενική φόρτιση

Γενική τρισδιάστατη εντατική κατάσταση Με κατάλληλο (μοναδικό) προσανατολισμό του συστήματος αξόνων (κύριες τάσεις)

Μετασχηματισμός των τάσεων Γενική τρισδιάστατη εντατική κατάσταση σε σημείο Q εκφρασμένη σε διαφορετικά συστήματα αξόνων.

Επίπεδη εντατική κατάσταση (plane stress) Η περίπτωση που δύο από τις επιφάνειες του στοιχειώδους κυβικού στοιχείου είναι ελεύθερες τάσεων αναφέρεται ως επίπεδη εντατική κατάσταση. Παραδείγματα επίπεδης εντατικής κατάστασης έχουμε στην περίπτωση φόρτισης λεπτών ελασμάτων ή στην επιφάνεια δοκών. Επίπεδη εντατική κατάσταση Παραδείγματα επίπεδης εντατικής κατάστασης

Μετασχηματισμός των τάσεων Επίπεδη εντατική κατάσταση σε σημείο Q εκφρασμένη σε διαφορετικά συστήματα αξόνων.

Μετασχηματισμός των τάσεων

Μετασχηματισμός των τάσεων (1) (2) (3) Οι σχέσεις (1) και (3) αποτελούν παραμετρικές εξισώσεις κύκλου και γράφονται στη μορφή:

Μετασχηματισμός των τάσεων Η τελευταία σχέση γράφεται και στη μορφή: και Όπου: Μέγιστη τάση σx Μηδενική τxy Η τιμή της γωνίας θp που αντιστοιχεί στα σημεία Α και Β δίδεται από τη σχέση: Ελάχιστη τάση σx Μηδενική τxy

Μετασχηματισμός των τάσεων Από την τελευταία σχέση προκύπτουν δύο τιμές για την γωνία θp που διαφέρουν μεταξύ τους κατά 90ο. Κύριοι άξονες και κύριες τάσεις

Μετασχηματισμός των τάσεων Η γωνία θs στην οποία μεγιστοποιείται η διατμητική τάση υπολογίζεται από τη σχέση: Γωνία μεγιστοποίησης διατμητικής τάσης: Μέγιστη διατμητική τάση:

Κατασκευή κύκλου Mohr επίπεδης εντατικής κατάστασης Κύκλος Mohr επίπεδης εντατικής κατάστασης (σx,σy,τxy) Εύρεση σημείων Χ και Υ Χάραξη ευθυγράμμου τμήματος ΧΥ και εύρεση σημείου C Χάραξη κύκλου Mohr Εύρεση κυρίων αξόνων και κυρίων τάσεων

Είδη αστοχίας Οι ναυπηγικές κατασκευές συνήθως αστοχούν: Λόγω διαρροής Λόγω λυγισμού Λόγω κοπώσεως Λόγω ψαθυρής θραύσης

Κριτήρια αστοχίας – Όλκιμα υλικά Κριτήριο μέγιστης διατμητικής τάσης (Tresca): Διαρροή επέρχεται λόγω ολίσθησης κατά την διεύθυνση της μέγιστης διατμητικής τάσης. Κριτήριο Von Mises: Διαρροή επέρχεται όταν η ενέργεια παραμόρφωσης ανά μονάδα όγκου υπερβαίνει την ενέργεια παραμόρφωσης που αντιστοιχεί στη διαρροή. Επίπεδη εντατική κατάσταση

Κριτήρια αστοχίας – Ψαθυρά υλικά Κριτήριο μέγιστης ορθής τάσης: Κριτήριο Mohr:

Είδη αστοχίας Λυγισμός πλευρικού ελάσματος

Είδη αστοχίας Λυγισμός λόγω διάτμησης στην περιοχή της πλώρης (Καρύδης, 2002)

Είδη αστοχίας Αστοχία ελάσματος πυθμένα στην περιοχή εγκάρσιας φρακτής Αποκόλληση πλευρικού ελάσματος (Καρύδης, 2002)

Είδη αστοχίας Αυξημένη διάβρωση (Καρύδης, 2002)

Προυποθέσεις ισχύος της απλής θεωρίας κάμψης (simple beam theory) Πρισματική δοκός (ομοιόμορφες τομές / μεγάλο παράλληλο τμήμα) Οι επίπεδες τομές παραμένουν επίπεδες Εγκάρσιες παραμορφώσεις αμελητέες Το υλικό είναι ελαστικό και το μέτρο ελαστικότητας σε εφελκυσμό και θλίψη είναι ίδιο Δεν υπάρχει αλληλεπίδραση των διατμητικών τάσεων/παραμορφώσεων με τις καμπτικές

Βασικές εξισώσεις απλής θεωρίας κάμψης Όπου q = φορτίο ανά τρέχον μέτρο Q = διατμητική δύναμη Μ = καμπτική ροπή w = βέλος κάμψης Ι = ροπή αδράνειας της διατομής SM = ροπή αντίστασης της διατομής Ε = μέτρο ελαστικότητας

Υπολογισμός της θέσης του ουδέτερου άξονα ή στην περίπτωση διατομής με ένα υλικό:

Κατανομή διατμητικών τάσεων σε δοκό με ορθoγωνική συμπαγή διατομή Q = τέμνουσα δύναμη m  0 όταν y  c και m max όταν y  0

Βιβλιογραφία Beer, F. et al. ”Mechanics of Materials”, Mac Graw Hill, 2012. Timoshenko, S, “Strength of Materials”, Part II-Advanced Theory and Problems”, D. Van Nostrand Company, 1947. Βουθούνης, Π., «Αντοχή των υλικών», Αθήνα 1993 Βουθούνης, Π., «Μηχανική απαραμόρφωτου στερεού-Στατική», Αθήνα 2007.