ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105) ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

ΜΑΘΗΜΑ 7ο - ΑΠ Συνάρτηση και παράγωγος συνάρτησης ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: εφαρμόζετε τους βασικούς κανόνες παραγώγισης, κατανοείτε την έννοια του οριακού εσόδου MR, αντιλαμβάνεστε το θεωρητικό υπόβαθρο της λειτουργίας του μονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισμού στην αγορά ενός αγαθού.

Ορισμός (ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ) Έστω δύο σύνολα Χ και Y. Λέμε ότι μια συνάρτηση από το Χ στο Υ, είναι μια απεικόνιση (κανόνας) που αντιστοιχεί σε κάθε σημείο του Χ ένα και μόνο ένα σημείο του Y. Το σύνολο Χ ονομάζεται πεδίο ορισμού και το σύνολο Υ πεδίο τιμών. Η συνάρτηση συμβολίζεται f: X→ Y, y=f(x), x,y Є R

Ορισμοί (ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ) Η κλίση της συνάρτησης f(x) στο σημείο x=α ονομάζεται παράγωγος της f στο α και συμβολίζεται: 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Η παράγωγος της συνάρτησης σε σημείο είναι αριθμός. Η παράγωγος συνάρτηση είναι συνάρτηση Αν 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 τότε 𝑓 ′ 𝑥 =𝑛 𝑥 𝑛−1

Κανόνες παραγώγισης Αν ℎ 𝑥 =𝑐𝑓 𝑥 τότε ℎ ′ 𝑥 =𝑐 𝑓 ′ 𝑥 Κανόνας 1 Γινόμενο αριθμού και συνάρτησης Αν ℎ 𝑥 =𝑐𝑓 𝑥 τότε ℎ ′ 𝑥 =𝑐 𝑓 ′ 𝑥 Κανόνας 2 Πρόσθεση και αφαίρεση συναρτήσεων Αν ℎ 𝑥 =𝑓 𝑥 ±𝑔 𝑥 τότε ℎ ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 ±𝑔′(𝑥) Κανόνας 3 Σύνθετη συνάρτηση Αν y=f 𝑔 𝑥 θέτουμε u=g(x), οπότε y=f(u) και 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑋 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Κανόνας 4 Γινόμενο συναρτήσεων Αν y=uv τότε 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 +𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Κανόνας 5 Πηλίκο συναρτήσεων Αν 𝑦= 𝑢 𝑣 τότε 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 −𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑣 2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Να βρεθεί η παράγωγος συνάρτηση των συναρτήσεων: (α) y= 2x4 (β) y= x3 + 7x2 -2x + 3 (γ) y=(2x + 3)10 (δ)y = x2(2x+1)3 (ε) y=1/(3x+7)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (α) y =2x4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 2 𝑥 4 =2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 4 =2𝑿4 𝑥 3 =8 𝑥 3 (εφαρμογή κανόνα 1) (β) ) y= x3 + 7x2 -2x + 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 3 +7 𝑥 2 −2𝑥+3 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 3 +7 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2 −2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 3 =3 𝑥 2 +14𝑥−2 (εφαρμογή κανόνων 1 και 2)

(εφαρμογή κανόνων 1 και 3) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (γ) y=(2x + 3)10 η συνάρτηση είναι σύνθετη δηλαδή μπορεί να γραφεί ως y=u10 όπου u=2x+3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑿 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑢 𝑢 10 𝑿 𝑑 𝑑𝑥 2𝑥+3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =10 𝑢 9 𝑿 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =20 2𝑥+3 9 (εφαρμογή κανόνων 1 και 3)

(εφαρμογή κανόνων 3 και 4) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (δ) y = x2(2x+1)3 η συνάρτηση είναι το γινόμενο των συναρτήσεων u=x2 και v=(2x+1)3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑑 𝑑𝑥 2𝑥+1 3 + 2𝑥+1 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑿 3 2𝑥+1 2 𝑿 𝑑 𝑑𝑥 2𝑥+1 + 2𝑥+1 3 𝑿 2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =6 𝑥 2 2𝑥+1 2 +2𝑥 2𝑥+1 3 (εφαρμογή κανόνων 3 και 4)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (ε) y=1/(3x+7) η συνάρτηση είναι το πηλίκο των συναρτήσεων u=1 και v=3x+7 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑥+7 𝑑 𝑑𝑥 1 −1 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥+7 3𝑥+7 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0−3 3𝑥+7 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 3 3𝑥+7 2 (εφαρμογή κανόνα 5)

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑΚΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΡΤΗΣΕΙΣ Η συνάρτηση των εσόδων TR από την πώληση Q μονάδων ενός αγαθού με τιμή μονάδας P, δίνεται από τη σχέση TR=PQ. Ως οριακό έσοδο MR (marginal revenue) θεωρούμε τη μεταβολή που προκαλείται στα έσοδα όταν μεταβληθεί ελάχιστα η ζητούμενη ποσότητα. Δηλαδή : 𝑀𝑅= 𝑑 𝑇𝑅 𝑑𝑄

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Να υπολογιστεί το οριακό έσοδο MR της συνάρτησης TR= 100Q –2Q2, όταν Q=15 Υπολογίζουμε την παράγωγο της συνάρτησης 𝑀𝑅= 𝑑 𝑇𝑅 𝑑𝑄 = 𝑑 𝑑𝑄 100𝑄− 2𝑄 2 =100−4𝑄 Και θέτουμε όπου Q=15 οπότε θα είναι MR(15)=100-4(15)=100-60=40 Για το αν η προσέγγιση του οριακού εσόδου είναι αποδεκτή, μπορούμε να κάνουμε έναν έλεγχο μέσα από τη μοναδιαία μεταβολή του Q. Δηλαδή να υπολογίσουμε το Δ(TR) όταν έχουμε Δ(Q)=1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Αυτό σημαίνει ότι: Δ(TR)= TR(16)-TR(15)= [100(16)-2(16)2]- [100(15)-2(15)2]= 1600 – 512 – 1500 + 450 = 38 Επομένως 𝛥(𝑇𝑅) 𝛥𝑄 = 38 1 =38 Παρατηρούμε ότι η προσέγγιση του οριακού εσόδου μέσα από την παράγωγο της συνάρτησης εσόδων είναι πολύ κοντά στον αλγεβρικό υπολογισμό. Άρα μπορούμε να θεωρήσουμε έγκυρη την προσέγγισή μας. Γενικά ισχύει: 𝛥 𝑇𝑅 ≈𝑀𝑅 𝑋 𝛥𝑄

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Για τη συνάρτηση εσόδων από την πώληση ενός αγαθού TR= 100Q –Q2, να υπολογιστεί η μεταβολή των εσόδων TR όταν η ποσότητα είναι Q=60 και επέλθει αύξηση κατά 2 μονάδες στις πωλήσεις. 𝛥 𝑇𝑅 ≈𝑀𝑅 𝑿 𝛥𝑄 𝛥 𝑇𝑅 ≈ 100−2𝑄 𝑿 𝛥𝑄 𝛥 𝑇𝑅 ≈ 100−2𝑋60 𝑿 2 𝛥 𝑇𝑅 ≈ −20 𝑿 2 𝛥 𝑇𝑅 ≈−40

ΣΥΖΗΤΗΣΗ Στο απλό υπόδειγμα της ζήτησης ενός αγαθού θεωρήσαμε ότι υπάρχει γραμμική σχέση τιμής (P) και ποσότητας (Q): P=aQ + b Στη σχέση αυτή η κλίση της ευθείας είναι αρνητική (a<0) και ο σταθερός όρος είναι θετικός. Η περιγραφή αυτή της ζήτησης σε οικονομικούς όρους περιγράφει την περίπτωση του μονοπωλίου στην αγορά του αγαθού. Στην περίπτωση αυτή τα συνολικά έσοδα θα έχουν τη μορφή: TR=PQ=aQ2 + bQ Επομένως το οριακό έσοδο θα είναι MR= 2aQ+ b και το μέσο έσοδο θα είναι AR=TR/Q=P Δηλαδή σε συνθήκες μονοπωλίου η ποσότητα δεν επηρεάζει το μέσο έσοδο το οποίο είναι ίσο με την τιμή πώλησης του αγαθού. Το αντίθετο της περίπτωσης του μονοπωλίου είναι ο τέλειος ανταγωνισμός. Θεωρητικά σε μια τέτοια περίπτωση θα πρέπει P=b Επομένως TR=PQ=bQ και MR=b