Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου Συντεταγμένες στο επίπεδο Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου

Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα ΟΙ να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία 𝑂𝑥 . Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα το 𝚶𝚰 = 𝒊 και τον συμβολίζουμε με 𝑥′𝑥 . Η ημιευθεία Οx λέγεται θετικός ημιάξονας Οx , ενώ η 𝑂 𝑥 ′ λέγεται αρνητικός ημιάξονας 𝑂 𝑥 ′ . Αν, τώρα, πάνω στον άξονα 𝑥′𝑥 πάρουμε ένα σημείο Μ, επειδή 𝑂𝑀 ∥ 𝜄 , θα υπάρχει ακριβώς ένας πραγματικός αριθμός x τέτοιος ώστε 𝑂𝑀 =𝑥∙ 𝑖 . Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου

Καρτεσιανό Επίπεδο 𝒋 =𝟏 y x 𝒊 ⊥ 𝒋 𝒊 =𝟏 𝒋 =𝟏 Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες 𝑥 ′ 𝑥 και 𝑦 ′ 𝑦 με κοινή αρχή Ο και μοναδιαία διανύσματα τα 𝑖 και 𝑗 . Λέμε τότε ότι έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή απλούστερα ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή ακόμα ένα καρτεσιανό επίπεδο και το συμβολίζουμε με 𝑶𝒙𝒚 . Πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο παίρνουμε ένα σημείο Μ. Από το Μ φέρνουμε την παράλληλη στον 𝑦 ′ 𝑦 , που τέμνει τον 𝑥 ′ 𝑥 στο 𝑀 1 , και την παράλληλη στον 𝑥 ′ 𝑥 , που τέμνει τον 𝑦 ′ 𝑦 στο 𝑀 2 . Αν x είναι η τετμημένη του 𝑀 1 ως προς τον άξονα 𝑥 ′ 𝑥 και y η τετμημένη του ως προς τον άξονα 𝑦 ′ 𝑦 , τότε ο x λέγεται τετμημένη του Μ και ο y τεταγμένη του Μ. Η τετμημένη και η τεταγμένη λέγονται συντεταγμένες του Μ. Έτσι σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγμένων. y x 𝒊 ⊥ 𝒋 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου 𝒊 =𝟏

Συντεταγμένες Διανύσματος 𝑦∙ 𝑗 y 𝑎 Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και 𝑎 ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμα 𝑂𝐴 . Αν 𝐴 1 και 𝐴 2 είναι οι προβολές του Α στους άξονες 𝑥 ′ 𝑥 και 𝑦 ′ 𝑦 αντιστοίχως, έχουμε: 𝑶𝑨 = 𝑶 𝑨 𝟏 + 𝑶 𝑨 𝟐 (1) Αν x, y είναι οι συντεταγμένες του A , τότε ισχύει 𝑂 𝐴 1 =𝑥 𝑖 και 𝑂 𝐴 2 =𝑦 𝑗 . Επομένως η ισότητα (1) γράφεται 𝒂 =𝒙 𝒊 +𝒚 𝒋 Συντομογραφία 𝜶 = 𝒙,𝒚 A(x, y) 𝐴 2 𝑎 𝑎 =𝑥 𝑖 +𝑦 𝑗 𝒋 O 𝐴 1 𝜾 x x∙ 𝑖 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου “Κάθε διάνυσμα 𝒂 του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή 𝒂 =𝒙 𝒊 +𝒚 𝒋 ”

Ισότητα Διανυσμάτων 𝒂 = 𝜷 ⇔ 𝒂 = 𝟎 ⇔ 𝒙 𝟏 = 𝒙 𝟐 𝒂 = 𝒙 𝟏 𝒊 + 𝒚 𝟏 𝒋 “Έστω 𝑎 = 𝑥 1 𝑖 + 𝑦 1 𝑗 και 𝛽 = 𝑥 2 𝑖 + 𝑦 2 𝑗 . Ισχύει ότι 𝛼 = 𝛽 αν και μόνο αν 𝒙 𝟏 = 𝒙 𝟐 και 𝒚 𝟏 = 𝒚 𝟐 𝒙 𝟏 = 𝒙 𝟐 𝒂 = 𝒙 𝟏 𝒊 + 𝒚 𝟏 𝒋 𝒂 = 𝜷 ⇔ και 𝜷 = 𝒙 𝟐 𝒊 + 𝒚 𝟐 𝒋 𝒚 𝟏 = 𝒚 𝟐 𝒙 𝟏 =𝟎 𝒂 = 𝟎 ⇔ και 𝒚 𝟏 =𝟎 Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες”. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου

Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων Έστω 𝜶 = 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 και 𝜷 = 𝒙 𝟐 , 𝒚 𝟐 . Ισχύει ότι: 𝛼 + 𝛽 = 𝑥 1 + 𝑥 2 , 𝑦 1 + 𝑦 2 𝜆∙ 𝛼 = 𝜆∙ 𝑥 1 , 𝜆∙ 𝑦 1 𝜆∙ 𝛼 +𝜇∙ 𝛽 = 𝜆∙ 𝑥 1 +𝜇∙ 𝑥 2 , 𝜆∙ 𝑦 1 +𝜇∙ 𝑦 2 Προσθέτουμε τα x με τα x και τα y με τα y Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό λ και με τα x και με τα y Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου

Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων 𝜶 = 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 και 𝜷 = 𝒙 𝟐 , 𝒚 𝟐 𝑎 + 𝛽 = 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 + 𝒙 𝟐 , 𝒚 𝟐 = 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 , 𝒚 𝟏 + 𝒚 𝟐 𝑎 + 𝛽 = -2 +4 -3 +5 , , -2 (-3) +4 +5 -5 , +9 , Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου

Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων Έστω 𝜶 = 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 𝜆∙ 𝑎 =𝝀∙ 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 = 𝝀∙ 𝒙 𝟏 , 𝝀∙𝒚 𝟏 𝝀∙ 𝒂 = -3 -2 , 5 -3 (-2) -3 5 , 6 , -15 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου

Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α 𝑥 Α , 𝑦 Α και B 𝑥 Β , 𝑦 Β . Αν Μ 𝑥 Μ , 𝑦 Μ το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ τότε: 𝑥 Μ = 𝑥 Α + 𝑥 Β 2 και 𝑦 Μ = 𝑦 Α + 𝑦 Β 2 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου

Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α 𝑥 Α , 𝑦 Α και B 𝑥 Β , 𝑦 Β . Τότε το διάνυσμα ΑΒ θα έχει συντεταγμένες ΑΒ = 𝑥 Β −𝑥 Α , 𝑦 Β −𝑦 Α Αρχή Τέλος -3 , -2 Α -5 , 3 Β ΑΒ = -5 -3 3 -2 -2 , 5 , y της αρχής x του τέλους Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου x της αρχής y του τέλους

Μέτρο Διανύσματος Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου

Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Έστω 𝜶 = 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 και 𝜷 = 𝒙 𝟐 , 𝒚 𝟐 . Ως ορίζουσα των διανυσμάτων 𝛼 και 𝛽 ορίζουμε την ποσότητα Πρώτη γραμμή, συντεταγμένες του 𝜶 διανύσματος 𝑑𝑒𝑡 𝑎 , 𝛽 = 𝑥 1 𝑦 1 𝑥 2 𝑦 2 = 𝑥 1 𝑦 2 - 𝑥 2 𝑦 1 Δευτερεύουσα Διαγώνιος Κύρια Διαγώνιος Δεύτερη γραμμή, συντεταγμένες του 𝜷 διανύσματος Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου

Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Έστω 𝜶 = 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 και 𝜷 = 𝒙 𝟐 , 𝒚 𝟐 . Ισχύει ότι 𝛼 ∥ 𝛽 αν και μόνο αν 𝑑𝑒𝑡 𝑎 , 𝛽 =0 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου

Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος • Έστω 𝛼 = 𝑥,𝑦 ένα μη μηδενικό διάνυσμα και A το σημείο του επιπέδου για το οποίο ισχύει ΟΑ = 𝛼 . Τη γωνία φ , που διαγράφει ο ημιάξονας αν στραφεί γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ, την ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα 𝜶 με τον άξονα 𝒙 ′ 𝒙 . Είναι φανερό ότι 𝟎≤𝝋≤𝟐𝝅 Για τη γωνία φ , όπως είναι γνωστό από την Τριγωνομετρία, αν το 𝛼 δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα 𝑦 ′ 𝑦 , ισχύει 𝜺𝝋𝝋= 𝒚 𝒙 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου

Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου

Ισχύει ότι 𝛼 ∥ 𝛽 αν και μόνο αν 𝜆 1 = 𝜆 2 Έστω 𝜶 = 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 και 𝜷 = 𝒙 𝟐 , 𝒚 𝟐 . Ισχύει ότι 𝛼 ∥ 𝛽 αν και μόνο αν 𝜆 1 = 𝜆 2 Προσοχή!!! Για να κάνουμε χρήση του συντελεστή διεύθυνσης πρέπει πρώτα να έχουμε διασφαλίσει ότι τα διανύσματα δεν είναι κατακόρυφα, δλδ παράλληλα στον άξονα 𝒚 ′ 𝒚 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου