ČVRSTOĆA 14 UVIJANJE
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG PRESJEKA Pri analizi osnovnih opterećenja prizmatičnog štapa uvijanjem ili torzijom nazivamo slučaj kada se u bilo kojem presjeku štapa dinama vanjskih sila, koje djeluju s jedne strane promatranog presjeka, svodi na moment Mt, koji odgovara vektoru paralelnom s uzdužnom osi štapa. Taj se moment naziva moment uvijanja ili moment torzije. Pretpostavljamo da se vlastita težina štapa može zanemariti, te imamo čisto uvijanje. Uvjet ravnoteže u tom slučaju glasi: Vanjske momente smatramo algebarskim veličinama, dajući im u zavisnosti od smisla rotacije pozitivan, odnosno negativan predznak.
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG PRESJEKA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG PRESJEKA Ako je npr. osovina opterećena vanjskim momentima prema slici njeno je opterećenje u presjeku x izraženo momentom torzije Mt, koji je jednak algebarskoj sumi svih vanjskih momenata lijevo ili desno od presjeka x. Njegov se predznak utvrđuje od slučaja do slučaja. U teoriji uvijanja postavljaju se dva glavna pitanja: a) Određivanje tangencijalnih naprezanja , koja djeluju u nekom presjeku, b) određivanje deformacija, kuta torzije . Teorija elastičnosti daje odgovore na ta dva pitanja za neke specijalne slučajeve, kada presjek ima jednostavan geometrijski oblik (kružnica, elipsa, pravokutnik). Čvrstoća daje elementarno rješenje samo za kružni presjek štapa.
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG PRESJEKA Pri analizi napregnutog štapa opterećenog na uvijanje analizu temeljimo na ovim pretpostavkama: a) Poprečni presjeci štapa u procesu deformacije ostaju ravni i okomiti na uzdužnu os štapa. b) Polumjeri u tim presjecima ostaju pravocrtni (ne iskrivljuju se) i okreću se za isti kut. c) Pomake smatramo malim, a materijal štapa homogenim i izotropnim. Ispitivanja pokazuju da je za štapove kružnog presjeka teorija osnovana na tim pretpostavkama u skladu s eksperimentalnim rezultatima.
EKSPERIMENTALNI REZULTATI PRI UVIJANJU Na osnovu rezultata laboratorijskih ispitivanja određena je za uvijanje štapa od mekog čelika zavisnost između momenata uvijanja i kuta torzije kao što to predočuje dijagram. Iz dijagrama, vidi se da Mt od 0 do A raste linearno u zavisnosti od φ. Točka A odgovara granici proporcionalnosti materijala.
ODREĐIVANJE KUTA TORZIJE I POTENCIJALNE ENERGIJE UVIJANJA Da bismo našli zavisnost između kuta torzije i momenta torzije uvodimo pojam relativnog kuta torzije . Taj je kut jednak odnosu kuta torzije i duljine štapa (osovine): Za osovinu konstantnog presjeka:
ODREĐIVANJE KUTA TORZIJE I POTENCIJALNE ENERGIJE UVIJANJA Prema izrazu za moment torzije i izraza za relativni kut torzije imamo izraz za moment torzije (u radijanima): gdje je ct koeficijent krutosti štapa, odnosno osovine pri uvijanju, a GIp krutost presjeka štapa pri uvijanju (torziona krutost). Vidimo da GIp ima u teoriji uvijanja istu ulogu kao aksijalna krutost EI pri rastezanju. Dimenzija je [PL2] odnosno u jedinicama Nmm2.
ODREĐIVANJE KUTA TORZIJE I POTENCIJALNE ENERGIJE UVIJANJA Relacija za kut torzije prikazana grafički u koordinatama predočuje linearnu zavisnost Mt = f(φ) , kao što je pokazano na slici, te imamo:
ODREĐIVANJE KUTA TORZIJE I POTENCIJALNE ENERGIJE UVIJANJA Nađimo izraz za potencijalnu energiju uvijanja. Uzmimo da je kut torzije štapa, na koji djeluje moment Mt, jednak φ0 . Pri povećanju Mt za vrijednost dMt dobit će kut φ0 beskonačno malen prirast dφ0 (prema slici). Ako pretpostavimo da se Mt ne mijenja u granicama dφ, možemo elementarni rad ili energiju koja se troši za dodatno uvijanje štapa izraziti:
ODREĐIVANJE KUTA TORZIJE I POTENCIJALNE ENERGIJE UVIJANJA Integriranjem (sumiranjem) elementarnih vrijednosti u granicama promjene φ0 od nule do φ dobivamo potencijalnu energiju uvijanja: S pomoću izvedenih izraza možemo za Ep napisati još dva izraza: Prvi izražava zavisnost Ep od kuta torzije φ, a drugi od momenta torzije Mt.
STATIČKI DIJAGRAMI PRI UVIJANJU Razmotrimo najjednostavniji slučaj opterećenja osovine vanjskim momentom Mt koji djeluje u krajnjem presjeku. Nanesemo li u prikladnom mjerilu ispod odgovarajućih presjeka vrijednosti iznad nulte linije, paralelne s uzdužnom osi osovine, dobit ćemo dijagram momenata uvijanja u obliku pravokutnika.
STATIČKI DIJAGRAMI PRI UVIJANJU Za osovinu duljine x kut torzije ima vrijednost: Odatle slijedi da dijagram ima linearan oblik, tj. površina dijagrama je u obliku trokuta. Dijagram relativnog kuta torzije određuje se prema veličini:
UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA Ispitivanja u laboratoriju pokazuju da se poprečni presjeci neokruglih štapova pri uvijanju znatno iskrivljuju, pojavljuju se deplanacije presjeka.
UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA Na slici shematski je prikazana raspodjela tangencijalnih naprezanja u presjeku pravokutnog oblika i to duž osi simetrije, duž dijagonala i duž konturnih strana pravokutnika.
UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA Najveće tangencijalno naprezanje pojavljuje se na sredini duljih strana presjeka i može se izraziti jednadžbom: U toj formuli su h i b dimenzije presjeka, pri čemu je h > b, dok je α koeficijent čija vrijednost zavisi od odnosa h/b. h/b 1 1,5 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0 α 0,208 0,231 0,246 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 β 0,141 0,196 0,229 0,263 0,281 γ 1,000 0,858 0,796 0,753 0,745 0,743
UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA Najveće naprezanje može se dovoljnom točnošću odrediti i s pomoću približne formule:
UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA Kut torzije na jedinicu duljine štapa pravokutnog presjeka određuje se po formuli: U svim razmatranim slučajevima jedinični kut torzije proporcionalan je momentu torzije i zato se može izraziti u obliku:
UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA C je konstanta koja karakterizira torzionu krutost štapa. Kod štapa kružnog presjeka: a za štap pravokutnog presjeka: