تئوری الاستیسیته Theory of Elasticity كريم عابدي

فصل چهارم: روش هاي انرژي

فصل چهارم: روش هاي انرژي 1) تعاريف بنيادي الف) كار (Work) هرگاه نقطه اثر نيروي F كه به سيستمي اعمال مي شود به اندازه جزئي جابجا شود، گفته مي شود كه مقدار جزئي كار dw انجام یافته است: ب) كار مجازي (Virtual Work) هرگاه نقطه اثر نيروي حقيقي اعمالي به سيستم ، يك جابجايي تصوري يا ذهني را طي كند، در اين صورت مقدار جزئي كار انجام مي گيرد كه به آن كار مجازي اطلاق مي شود:

فصل چهارم: روش هاي انرژي پ) كار مكمل مجازي (‍Complementary Virtual Work) هرگاه ميدان تغيير مكان يك سيستم تحت نيرو را با و تغييرمكان نقطه مشخصي از آن را با نشان دهيم، اگر در هنگام پديد آمدن ميدان تغييرمكان واقعی، نيروي مجازي را در نقطه مشخص i در نظر بگيريم ( )، با جابجايي نقطه اثر اين نيروي مجازي، مقداري كار مجازي صورت مي گيرد كه كار مكمل مجازي ناميده مي شود كه به صورت زير نمايش داده مي شود:

فصل چهارم: روش هاي انرژي 2) اصل تغيير مكان های مجازي (Principle of Virtual Displacements) جسم الاستيك شكل زير را در نظر مي گيريم كه محدوده حدي يا خارجي اين جسم كاملاً به دو قسمت عمده مجزا تقسيم مي شود: قسمت اول كه با St نشان داده مي شود، قسمتي است كه بر روي آن نيروهاي خارجي اعمال شده است. البته محدوده نيروي صفر نيز به عنوان محدوده نيرو يا وضعيت حدي نيرويي تلقي مي شود. قسمت دوم كه با Su نشان داده مي شود و منظور قسمتي است كه به عنوان تكيه گاه از آن نام برده مي شود و عموماً داراي تغيير مكان صفر يا جابجايي از پيش تعيين شده مي باشد.

فصل چهارم: روش هاي انرژي حال چنانچه صحبت از يك ميدان تغييرمكان مجازي در جسم فوق باشد، ‌اين ميدان را به صورتي مجسم مي كنيم كه در روي مرز حدي Su كه قيود تكيه گاهي سيستم قرار گرفته است، شرايط حدي سينماتيكي ارضاء شود. چنين ميدان تغييرمكان مجازي را ميدان مجاز يا قابل قبول (admissible) نامند. به منظور مطالعه و بررسي پيرامون استنتاج رابطه مناسبي بر اساس استفاده از مفهوم كار مجازي، ‌ابتدا فرض مي شود كه مؤلفه هاي يك ميدان تغييرمكان جزئي قابل قبول براي جسم الاستيك B كه در شكل زير نشان داده شده است، به ترتيب به صورت و يا در صورت لزوم به شكل تعريف شده باشند كه هريك از اين سه مؤلفه، تابع مختصات x1 و x2 و x3 خواهند بود.

فصل چهارم: روش هاي انرژي هرگاه عنصري از جسم شكل بالا را درنظر بگيريم، با پديد آوردن ميدان تغييرمكان مجازی، تنش هاي واقعی موجود در روي اين المان به دليل تغييرشكل مجازي پديد آمده، مقداري كار مجازي انجام مي دهند. چنانچه كل جسم را تحت اثر نيروهاي اعمالي خارجي در حال تعادل فرض كنيم، كار مجازي صورت گرفته شده كل، به دليل صفر بودن منتجه تنش در روي هر الماني از آن صفر مي باشد. به عبارت دیگر کار مجازي كل كه با نمايش داده مي شود، به صورت زير به دست مي آيد: معادله مذكور را مي توان به صورت زير نوشت:

فصل چهارم: روش هاي انرژي با استفاده از قضيه ديورژانس، جمله اول سمت راست را می توان به انتگرال روی سطح تبدیل کرد. به عبارت دیگر داریم: St مساحت قسمتي از سطح جسم است كه در روي آن نيرو تعريف شده است. معادله بالا را مي توان به صورت زير نيز نوشت: عبارت فوق عبارت كار مجازي يك سيستم الاستيك تحت نيرو بر اثر اعمال ميدان جابجايي مجازي است.

فصل چهارم: روش هاي انرژي اگر دقت كنيم كه نيروهاي خارجي اعمالي به سيستم، متشكل از نيروهاي سطحي qi و نيروهاي حجمي Bi است، كار مجازي خارجي را مي توان به صورت زير فرموله كرد (كار مجازي توسط نيروهاي خارجي اعم از نيروهاي سطحي و نيروهاي حجمي): انرژي ارتجاعي مجازي را نيز مي توان به صورت زير نشان داد: بنابراين داريم:

فصل چهارم: روش هاي انرژي معادله نهايي را مي توان در قالب قضيه زير بيان نمود: هرگاه يك جسم الاستيك تحت اثر نیروهای وارده در حال تعادل باشد و تغيير مكان اختياري مجازي سازگار با شرايط تكيه گاهي خود را تجربه نمايد، در اين صورت كار مجازي انجام يافته توسط نيروهاي خارجي اعمالي به آن، مساوي كار مجازي انجام يافته توسط نيروهاي داخلي آن مي باشد. چنين اصلي مستقل از خواص ماده است و در طي تحمل تغيير مكان مجازي، ‌نيروها ثابت هستند. معادله را مي توان به عنوان شرط لازم و كافي براي ارضاي شرايط تعادل در يك جسم تلقي كرد. به عبارت ديگر قضيه اصل تغییرمکان های مجازي به صورت زير نيز قابل بيان مي باشد: شرط لازم و كافي براي تعادل يك جسم الاستيك، برابر بودن كار خارجي مجازي صورت گرفته شده توسط نيروهاي اعمالي به آن با كار داخلي مجازي انجام يافته توسط ميدان تنش آن در طي تجربه كردن يك ميدان تغیير مكان مجازي قابل قبول است.

فصل چهارم: روش هاي انرژي 3) اصل نيروهاي مجازي (Principle of Virtual Forces) با ارائه اصل تغيير مكان های مجازي، به وضوح ديديم كه چگونه مي توان با در نظر گرفتن يك ميدان تغيير مكان مجازي قابل قبول و استفاده از اصل مزبور، به حل مسائل ارتجاعي پرداخت. اکنون شکل دیگری از اصل کار مجازی را که تحت عنوان اصل نیروهای مجازی شناخته می شود، مورد دقت قرار می دهیم و نشان خواهیم داد که چگونه با در نظر گرفتن یک سیستم نیروی مجازی متعادل در روی یک جسم ارتجاعی می توان به یک میدان تغییرمکان سازگار دست یافت. شكل زير يك جسم ارتجاعي را نشان مي دهد كه اين جسم علاوه بر اينكه تحت اثر يك سيستم نيروي حقيقي قرار دارد كه اين سيستم نيرو باعث يك ميدان تنش كاملاً متعادل مي شود، تحت اثر يك سيستم نيروي مجازي نيز قرار گرفته است كه اين سيستم نيز متعادل بوده و منجر به يك ميدان تنش مجازي متعادل مي شود (سیستم نیروی حقیقی در شکل نشان داده نشده است):

فصل چهارم: روش هاي انرژي سیستم نیروی مجازی را به طور سمبولیک با و میدان تنش مربوطه را با نشان می دهیم. از آنجا که مطابق فرض، سیستم نیروی مجازی در حال تعادل است، لذا معادله تعادل زیر صادق مي باشد: هرگاه طرفین معادله فوق را در مولفه میدان حقیقی تغییرمکان ضرب کرده و روی حجم سیستم انتگرال گیری کنیم، خواهیم داشت: كه را كار مجازي مكمل كل سيستم مي نامند. معادله فوق را به صورت زير مي نويسيم:

فصل چهارم: روش هاي انرژي با استفاده از قضيه ديورژانس، جمله اول سمت راست را به انتگرال روی سطح تبدیل نموده و در ضمن با توجه به تقارن جمله دوم را به شکل جدیدی به صورت زیر ارائه می کنیم: که در آن SSt مساحت قسمتي از سطح جسم است كه در روي آن تعريف شده است و بالاخره، كه در آن داريم: كار مجازي مكمل خارجی انرژي ارتجاعي مجازي مكمل

فصل چهارم: روش هاي انرژي این عبارت به نام اصل نیروهای مجازی شناخته می شود که در آن کار مجازی مکمل خارجی انجام شده توسط یک سیستم نیروی متعادل است وقتی که نقطه اثر این سیستم نیروی مجازی، تغییر مکان حقیقی را تحمل کرده باشد. انرژی ارتجاعی مجازی مکمل سیستم می باشد. را می توان به عنوان کار مجازی مکمل انجام یافته توسط تنش های مجازی داخلی در طی کرنش حقیقی سیستم تلقی کرد. بنابراين اصل نيروهاي مجازي به صورت زير است: شرط لازم و كافي براي سازگار بودن ميدان تغيير شكل يك سيستم الاستيك، مساوي بودن كار مجازي مكمل انجام يافته بر روي آن توسط يك سيستم نيروي مجازي در حال تعادل، با كار داخلي مجازي مكمل انجام يافته توسط تنش هاي مجازي در طي تحمل ميدان كرنش واقعي است. در مرحله تحمل نيروهاي مجازي، تغيير شكل سيستم ثابت است.

فصل چهارم: روش هاي انرژي 4) قانون بتي در يك جسم الاستيك خطي با دو سيستم متفاوت بارگذاري، كار انجام يافته توسط سيستم اول نيروها در طي تغيير مكان هاي حاصل از سيستم دوم مساوي است با كار انجام یافته توسط سيستم دوم نيروها در طي تغيير مكان هاي حاصل از سيستم اول. برای اثبات قانون بتی، جسم ارتجاعی را که دارای رفتار خطی است، مورد توجه قرار داده و فرض می کنیم که این جسم تحت اثر سیستم نیروهای و بار دیگر تحت اثر سیستم نیروهای قرار می گیرد. دو سیستم نیروی اعمال شده، کاملا مستقل از همدیگر فرض می شوند. با اعمال هر یک از دو سیستم نیرو به جسم، دو میدان تغییرمکان کاملا متفاوت پدید می آید که این میدان ها را به ترتیب با و مشخص می کنیم. با اعمال سیستم اول نیروها در حالتی که با اندیس i شماره گذاری شده باشد ، تغییرمکان نقطه اثر سیستم اول را با و تغییرمکان نقطه اثر سیستم دوم نیروها را با نشان می دهیم. بالعکس با اعمال سیستم دوم نیروها در حالتی که با اندیس j شماره گذاری شده باشد ، تغییرمکان نقطه اثر سیستم اول را با و تغییرمکان نقطه اثر سیستم دوم نیروها را با نشان می دهیم.

فصل چهارم: روش هاي انرژي اکنون تغییرمکان حاصل از اعمال سیستم اول نیروها را به عنوان تغییرمکان مجازی برای سیستم دوم نیروها و برعکس تغییرمکان حاصل از اعمال سیستم دوم نیروها را به عنوان تغییرمکان برای سیستم اول نیروها تلقی کرده و اصل تغییرمکان مجازی را به کار می بریم. برای سیستم اول نیروها و تغییرمکان متناظر این نیروها که از سیستم دوم نیروها حاصل می شود، معادله اصل تغییرمکان مجازی به صورت زیر در می آید: که در این معادله تانسور تنش حاصل از اعمال سیستم بارگذاری اول و تانسور کرنش حاصل از اعمال سیستم دوم بارگذاری است. برای سیستم دوم نیروها و تغییرمکان متناظر این نیروها که از سیستم اول نیروها حاصل می شود، معادله اصل تغییرمکان مجازی به صورت زیر در می آید: که در این معادله تانسور تنش حاصل از اعمال سیستم بارگذاری دوم و تانسور کرنش حاصل از اعمال سیستم اول بارگذاری است.

فصل چهارم: روش هاي انرژي با در نظر داشتن رابطه کلی تنش-کرنش و متقارن بودن تانسور Cijkl نسبت به دو اندیس اول و آخر می توان نوشت: بنابر این سمت راست معادلات اصل کار مجازی در دو حالت مذکور عبارتند از: مشاهده می شود که طرفین سمت راست این روابط یکسان می باشند. بنابر این داریم:

فصل چهارم: روش هاي انرژي معادله فوق تحت عنوان قانون بتي به صورت زير بيان مي شود: در يك جسم ارتجاعي خطي با دو سيستم بارگذاري متعادل متفاوت 1 و 2 که تغيير مكان هاي حاصل نيز به ترتيب با 1 و 2 علامت گذاري مي شود، كار انجام يافته توسط سيستم نيروهاي 1 در طي تغيير مكان هاي حاصل از سيستم بارگذاري 2، مساوي است با كار انجام يافته توسط سيستم نيروهاي 2 در طي تغيير مكان هاي حاصل از سيستم بارگذاري 1. حالت خاص قانون بتي، به عنوان معادله متقابل ماكسول شناخته مي شود كه به صورت زير تعريف مي گردد: در يك جسم ارتجاعي خطي، تغيير مكان نقطه i‌براثر اعمال نيروي واحد در نقطه j مساوي است با تغيير مكان نقطه j بر اثر اعمال نيروي واحد در نقطه i (تغيير مكان ها در راستاي نيروهاي تعميم يافته اندازه گيري مي شوند).

فصل چهارم: روش هاي انرژي 5) اصل انرژي پتانسيل مينيمم در این قسمت به معرفی تابعک (تابع تابع) انرژی پتانسیل کلی می پردازیم و سپس نشان خواهیم داد که این تابعک در حالت تعادل، دارای کمترین مقدار نسبت به حالت های تصوری دیگر خواهد بود. این بیان تحت عنوان قضیه انرژی پتانسیل مینیمم مشهور است و یکی از مهمترین قضایای انرژی است که از آن در حل مسائل ارتجاعی استفاده می گردد. جسم ارتجاعی زیر را در نظر می گیریم:

فصل چهارم: روش هاي انرژي اگر در جسم ارتجاعي نشان داده شده، انرژي ارتجاعي واحد حجم در يك نقطه غيرخاص را با U0 نشان دهيم، مقدار U0 بستگي به تانسور كرنش در نقطه مذكور خواهد داشت. به عبارت ديگر داريم: با دقت در اين كه تانسور كرنش برحسب ميدان تغيير مكان ui قابل ارائه است، به سادگي مي توان بيان داشت كه انرژي ارتجاعي، وابسته به ميدان تغيير مكان است. از اين رو نتيجه مي گيريم كه چگالي انرژي ارتجاعي به صورت يك تابعك (تابع تابع) ظاهر مي شود كه با تغيير ميدان تغيير مكان، مقدار آن تغيير مي كند.

فصل چهارم: روش هاي انرژي فرض كنيم كه در ميدان تغيير مكان يك سيستم، تغييري به شكل زير به وجود مي آيد، آنگاه خواهيم داشت: به عبارت ديگر خواهيم داشت: با توجه به رابطه مي توان نتيجه گرفت كه: مي توان رابطه فوق را چنين تفسير كرد كه اگر تغييرات تانسور كرنش به عنوان يك ميدان كرنش مجازي تلقي شود، در اين صورت تغيير در انرژي ارتجاعي جسم، چيزي جز انرژي ارتجاعي مجازي نخواهد بود.

فصل چهارم: روش هاي انرژي حال چنانچه در سیستم مورد نظر، قبل از اعمال سیستم نیروهای q، انرژی پتانسیل نیروها را صفر فرض کنیم، از آنجا که نقطه اثر نیروها در فرایند اعمال به جسم به اندازه u جابجا شده و به همین ترتیب نیروهای حجمی نیز نقطه اثر خود را تغییر می دهند، لذا در صورتی که انرژی پتانسیل نیروهای خارجی اعم از سطحی و حجمی با V نشان داده شود، می توان نوشت: با در نظر داشتن معادله مذکور، تغییرات انرژی پتانسیل که حاصل از تغییرات در جابجایی جسم می باشد (نیروها در طی این تغییرات ثابت در نظر گرفته می شوند) و با علامت δV نوشته می شود، از معادله زیر محاسبه می گردد: اگر تغييرات در ميدان تغيير مكان را به عنوان تغيير مكان مجازي تلقي نماييم، در اين صورت تغييرات در انرژي پتانسيل نيروها چيزي به جز كار مجازي خارجي نخواهد بود. با تركيب معادلات مربوط به و با توجه به ثابت بودن نيروها در طي تغييرات ميدان تغيير مكان مي توان نتيجه گرفت:

فصل چهارم: روش هاي انرژي اما با توجه به معادله اصل تغيير مكان هاي مجازي خواهيم داشت: بنابراين اگر بنويسيم: و را انرژي پتانسيل كلي سيستم بناميم، در اين صورت شرايط تعادل وقتي ارضاء مي شود كه معادله زير برقرار باشد: یعنی انرژی پتانسیل مانا (Stationary)می شود. معادله فوق داراي بياني به صورت زير است: در بين تمام وضعيت هاي ممكن تغيير شكل سازگار با شرايط مرزي Su، تنها تغيير شكل حقيقي سيستم (تغییر شکلی که تعادل را ارضا می کند) منجر به مانا شدن انرژي پتانسيل كلی سيستم مي شود.

فصل چهارم: روش هاي انرژي برای بررسی در مورد حداقل یا حداکثر بودن انرژي پتانسيل كلي در شرایطی که این انرژی مانا است، وضعیت تعادل و وضعیت مجاور آن را در نظر می گیریم. هرگاه تانسور کرنش را برای وضعیت تعادل با eij و برای وضعیت مجاور با نشان دهیم و انرژی پتانسیل کلی مربوط به دو وضعیت مذکور را با 0∏ و ∏ مشخص نماییم، در این صورت می توان نوشت: یا داریم:

فصل چهارم: روش هاي انرژي تابع را مي توان به صورت زیر بسط داد: با جایگذاری معادله فوق در معادله اصلی مربوط به Δ∏ خواهیم داشت: با توجه به اصل تغییرمکان های مجازی عبارت زیر مساوی صفر است:

فصل چهارم: روش هاي انرژي بنابراین Δ∏ به صورت زیر در میآید : هرگاه انرژی ارتجاعی یک سیستم را در حالتی که آزاد از نیرو باشد، صفر فرض کنیم، در این صورت چگالی انرژی ارتجاعی آن در مجاورت وضعیت بدون بار یا وضعیت δeij از معادله زیر به دست می آید: برای استخراج معادله فرض می شود که تنش σij در وضعیت کرنش صفر، برابر صفر است. یعنی:

فصل چهارم: روش هاي انرژي هرگاه همواره مثبت باشد، در نتیجه نیز همواره مثبت خواهد بود. بنابراین اگر مثبت باشد، نتیجه می گیریم که عبارت زیر همواره مثبت خواهد بود: بنابراین Δ∏ نیز همواره مثبت خواهد بود. به عبارت دیگر در می یابیم که انرژی پتانسیل کلی وضعیت مجاور تعادل، نسبت به انرژی پتانسیل کلی وضعیت تعادل افزون تر است و در نتیجه می توان اظهار داشت که در وضعیت تعادل، انرژی پتانسیل کلی در حداقل مقدار خودش است. بنابراين مي توان قضيه زير را بيان نمود: در بين تمام وضعيت هاي ممكن تغييرشكل سازگار با شرايط مرزي تغيير مكاني، تنها تغيير شكل حقيقي سيستم (كه معادلات تعادل را ارضاء مي كند) منجر به حداقل شدن مقدار انرژي پتانسيل كلي مي شود.

فصل چهارم: روش هاي انرژي 6) قضيه اول كاستيليانو پیش از این نشان دادیم که هرگاه برای یک سیستم ارتجاعی، تابعک انرژی ارتجاعي داخلی U0 وجود داشته باشد، مولفه های تنش با مشتق گیری از این تابعک به شکل زیر حاصل می گردد: معادله فوق به صورت قضیه زیر بیان می شود: قضيه: مشتق تابعك چگالي انرژي ارتجاعي U0 نسبت به هريك از مؤلفه هاي كرنش آن، مساوي با مؤلفه تنش هم نام آن مؤلفه كرنش است. اینک با استفاده از قضیه انرژی پتانسیل کلی مینیمم، به استخراج معادله ای نظیر معادله فوق برای نیروها و تغییرمکان های یک سیستم می پردازیم.

فصل چهارم: روش هاي انرژي جسمي را در نظر بگيريد كه تحت اثر نيروهاي F1 تا FN در حال تعادل بوده و تغییرشکل حقیقی خود را دارا باشد. هرگاه تغییرمکان نقطه اثر این سیستم نیرو را با u1 تا uN نشان دهیم، روشن است که انرژی ارتجاعی U تابعی از کلیه متغیرهای u1 تا uN خواهد بود و از اینرو می توان نوشت: تغییرات انرژی پتانسیل کلی به صورت زیر نمایش داده می شود: δVبه صورت زیر نمایش داده می شود: از طرف دیگر داریم:

فصل چهارم: روش هاي انرژي پس از جایگذاری خواهیم داشت: و چون تغییرات δui اختیاری است، نتیجه می گیریم که: معادله مذكور همان قضيه اول كاستيليانو است كه به صورت زير بيان مي شود: مشتق تابعك انرژي ارتجاعي يك جسم الاستيك نسبت به هر يك از اجزاء تغيير مكان آن، برابر نيروي اعمال شده هم راستا با آن تغيير مكان در نقطه مورد نظر است. * از اين قضيه براي استخراج ضرايب ماتريس نرمي در روش نيروها استفاده مي شود.

فصل چهارم: روش هاي انرژي 7) اصل انرژي پتانسيل مكمل مينيمم در این قسمت به معرفی تابعک (تابع تابع) انرژی پتانسیل مکمل می پردازیم و سپس نشان خواهیم داد که این تابعک در حالت تعادل دارای کمترین مقدار نسبت به حالت های تصوری دیگر خواهد بود. این بیان تحت عنوان قضیه انرژی پتانسیل مکمل مینیمم مشهور است و یکی از مهمترین قضایای انرژی است که از آن در حل مسائل ارتجاعی استفاده می گردد. در يك جسم ارتجاعي، انرژي مكمل در واحد حجم در يك نقطه خاص را با U0* نشان مي دهيم. مقدار U0*بستگي به تانسور تنش در نقطه مذكور خواهد داشت. به عبارت ديگر داريم: فرض كنيم كه در ميدان نیروی يك سيستم، تغييري به شكل زير به وجود مي آيد، آنگاه خواهيم داشت:

فصل چهارم: روش هاي انرژي در این صورت خواهيم داشت: با توجه به رابطه مي توان نتيجه گرفت كه: مي توان رابطه فوق را چنين تصوير كرد كه اگر تغييرات تانسور تنش به عنوان يك ميدان تنش مجازي تلقي شود، در اين صورت تغيير در انرژي ارتجاعي مكمل جسم، چيزي جز انرژي مجازي مكمل نخواهد بود. چگالي انرژي ارتجاعي U0 و چگالي انرژي ارتجاعي مكمل U0* را مي توان در نمودار تنش-كرنش به صورت زير نشان داد:

فصل چهارم: روش هاي انرژي بديهي است كه براي اجسام ارتجاعي خطي خواهيم داشت: تغيير در انرژي پتانسيل V كه حاصل تغييري متعادل در سيستم نيروهاي اعمالي است (در حاليكه جابجايي ها ثابت مي مانند)، به صورت زير تعيين مي شود: که در آن Su قسمتی از سطح می باشد که در روی آن ui تعریف شده است. از تلفیق دو رابطه حاصل برای و خواهیم داشت:

فصل چهارم: روش هاي انرژي مشخص است که با استفاده از اصل نیروهای مجازی داریم: با فرض به عنوان انرژی پتانسیل کلی مکمل خواهیم داشت: بنابراين مي توان بيان كرد كه: در بين تمام وضعيت هاي ممكن ميدان تنش كه شرايط تعادل و شرايط مرزي Stرا ارضاء مي كنند، تنها وضعيتي بيانگر سيستم حقيقي تنش است (یعنی شرایط سازگاری را ارضا می کند) كه منجر به مانا شدن انرژي پتانسيل مكمل كلي شود.

فصل چهارم: روش هاي انرژي برای بررسی در مورد حداقل یا حداکثر بودن انرژي پتانسيل مکمل كلي در شرایطی که این انرژی مانا است، وضعیت تعادل و وضعیت مجاور آن را در نظر می گیریم. هرگاه تانسور تنش را برای وضعیت تعادل با σij و برای وضعیت مجاور با نشان دهیم و انرژی پتانسیل کلی مکمل مربوط به دو وضعیت مذکور را با و مشخص نماییم، در این صورت می توان نوشت: یا داریم:

فصل چهارم: روش هاي انرژي تابع را مي توان به صورت زیر بسط داد: با جایگذاری معادله فوق در معادله اصلی مربوط به خواهیم داشت: با توجه به اصل نیروهای مجازی عبارت زیر مساوی صفر است:

فصل چهارم: روش هاي انرژي بنابراین به صورت زیر در میآید : هرگاه انرژی ارتجاعی مکمل یک سیستم را در حالتی که آزاد از نیرو باشد، صفر فرض کنیم، در این صورت چگالی انرژی ارتجاعی مکمل آن در مجاورت وضعیت بدون بار یا وضعیت δσij از معادله زیر به دست می آید: برای استخراج معادله فرض می شود که کرنش eij در وضعیت تنش صفر، برابر صفر است. یعنی:

فصل چهارم: روش هاي انرژي هرگاه همواره مثبت باشد، در نتیجه نیز همواره مثبت خواهد بود. بنابراین اگر مثبت باشد، نتیجه می گیریم که عبارت زیر همواره مثبت خواهد بود: بنابراین نیز همواره مثبت خواهد بود. به عبارت دیگر در می یابیم که انرژی پتانسیل مکمل کلی وضعیت مجاور تعادل نسبت به انرژی پتانسیل مکمل کلی وضعیت تعادل افزون تر است و در نتیجه می توان اظهار داشت که در وضعیت تعادل، انرژی پتانسیل مکمل کلی در حداقل مقدار خودش است. بنابراين مي توان قضيه زير را بيان نمود: در بين تمام سيستم هاي مجاز تنش كه شرايط تعادل و شرايط مرزي نیرویی را ارضاء مي كنند، تنها سيستم حقيقي تنش (یعنی سیستمی که شرایط سازگاری را ارضا می کند)، منجر به حداقل شدن انرژي پتانسيل مكمل كلي مي شود.

فصل چهارم: روش هاي انرژي 8) قضيه دوم كاستيليانو پیش از این نشان دادیم که هرگاه برای یک سیستم ارتجاعی، تابعک انرژی ارتجاعي مکمل داخلی وجود داشته باشد، مولفه های کرنش با مشتق گیری از این تابعک به شکل زیر حاصل می گردد: معادله فوق به صورت قضیه زیر بیان می شود: قضيه: مشتق تابعك چگالي انرژي ارتجاعي مکمل نسبت به هريك از مؤلفه هاي تنش آن، مساوي با مؤلفه کرنش هم نام آن مؤلفه تنش است. هرگاه رفتار ماده ارتجاعی، خطی باشد، در این صورت به راحتی می توان نوشت: به عبارت دیگر برای اجسام ارتجاعی خطی داریم:

فصل چهارم: روش هاي انرژي اینک با استفاده از قضیه انرژی پتانسیل مکمل کلی مینیمم، به استخراج معادله ای نظیر معادله فوق برای نیروها و تغییرمکان های یک سیستم می پردازیم. جسمي را در نظر بگيريد كه تحت اثر تغییر مکان های u1 تا uN تغییر شکل داده باشد و برای ایجاد این سیستم تغییرمکان، سیستم نیروهای F1 تا FN به کار رفته باشد. روشن است که انرژی ارتجاعی مکمل تابعی از کلیه نیروهای F1 تا FN خواهد بود و از اینرو می توان نوشت: تغییرات انرژی پتانسیل کلی مکمل به صورت زیر نمایش داده می شود: δVبه صورت زیر نمایش داده می شود: از طرف دیگر داریم:

فصل چهارم: روش هاي انرژي پس از جایگذاری خواهیم داشت: و چون تغییرات δFi اختیاری است، نتیجه می گیریم که: برای اجسام ارتجاعی خطی نیز خواهیم داشت: معادله مذكور همان قضيه دوم كاستيليانو است كه به صورت زير بيان مي شود: مشتق تابعك انرژي ارتجاعي (مکمل) يك جسم الاستيك خطی نسبت به هر يك از اجزاء نیروهای اعمال شده، برابر تغییرمکان هم راستا با آن نیرو در نقطه مورد نظر است. * از اين قضيه براي استخراج ضرايب ماتريس سختی در روش تغییرمکان ها استفاده مي شود.

با تشکر از توجه شما …